British Mathematical Olympiad 2017-18 — Round 2

Circle tangent to BC at B through midpoint M meets AB at P; prove AB×BP=2BM²

Consider triangle $ABC$. The midpoint of $AC$ is $M$. The circle tangent to $BC$ at $B$ and passing through $M$ meets the line $AB$ again at $P$.

Prove that $AB\times BP=2B{M}^2$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Circolo tangente a BC a B attraverso il punto medio M incontra AB a P; prova AB×BP=2BM2

Considera il triangolo $ABC$. Il punto medio di $AC$ è $M$. Il cerchio tangente a $BC$ a $B$ e passando attraverso $M$ incontra di nuovo la linea $AB$ a $P$.

Prove che $AB\times BP=2B{M}^2$.

src_bmo_2017-18_round2__Q01

Circular cake game: for which n can Mad Hatter force Alice to eat all cakes

There are $n$ places set for tea around a circular table, and every place has a small cake on a plate. Alice arrives first, sits at the table, and eats her cake (but it isn’t very nice). Next the Mad Hatter arrives, and tells Alice that she will have a lonely tea party, and that she must keep on changing her seat, and each time she must eat the cake in front of her (if it has not yet been eaten). In fact the Mad Hatter is very bossy, and tells Alice that, for $i=1,2,\dots ,n-1$, when she moves for the $i$-th time, she must move $a_i$ places and he hands Alice the list of instructions $a_1,a_2,\dots ,a_{n-1}$. Alice does not like the cakes, and she is free to choose, at every stage, whether to move clockwise or anticlockwise. For which values of $n$ can the Mad Hatter force Alice to eat all the cakes?

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Invarianti Abilita: Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Gioco di torta circolare: per il quale il Cappellaio Pazzo può costringere Alice a mangiare tutte le torte

Ci sono posti $n$ per il tè intorno a un tavolo circolare, e ogni posto ha una piccola torta su un piatto. Alice arriva prima, si siede al tavolo e mangia la sua torta (ma non è molto bella). Successivamente arriva il Cappellaio Pazzo, e dice ad Alice che avrà una festa di tè solitaria, e che deve continuare a cambiare il suo posto, e ogni volta deve mangiare la torta di fronte a lei (se non è stato ancora mangiato). Infatti il Cappellaio Pazzo è molto boss, e dice ad Alice che, per $i=1,2,\dots ,n-1$, quando si muove per la $i$-time, deve spostare $a_i$ posti e lui consegna ad Alice la lista di istruzioni $a_1,a_2,\dots ,a_{n-1}$. A Alice non piacciono le torte, ed è libera di scegliere, in ogni fase, se muoversi in senso orario o in senso antiorario. Per quali valori di $n$ il Cappellaio Pazzo può costringere Alice a mangiare tutte le torte?

src_bmo_2017-18_round2__Q02

Determine if sum of cubes (m+1)³+…+(2m)³ is ever a perfect square

It is well known that, for each positive integer $n$, $1^3+2^3+\cdots +n^3=\frac{n^2(n+1{)}^2}{4}$ and so is a square. Determine whether or not there is a positive integer $m$ such that $(m+1{)}^3+(m+2{)}^3+\cdots +(2m{)}^3$ is a square.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Determine se la somma dei cubetti (m+1)3+…+(2m)3 è sempre un quadrato perfetto

È noto che, per ogni intero positivo $n$, $1^3+2^3+\cdots +n^3=\frac{n^2(n+1{)}^2}{4}$ e così è un quadrato. Determinare se esiste un intero positivo $m$ tale che $(m+1{)}^3+(m+2{)}^3+\cdots +(2m{)}^3$ sia quadrato.

src_bmo_2017-18_round2__Q03

Absorbing functions on reals with f^2018(z) integer; existence questions

Let $f$ be a function defined on the real numbers and taking real values. We say that $f$ is absorbing if $f(x)\le f(y)$ whenever $x\le y$ and $f^{2018}(z)$ is an integer for all real numbers $z$.

a) Does there exist an absorbing function $f$ such that $f(x)$ is an integer for only finitely many values of $x$?

b) Does there exist an absorbing function $f$ and an increasing sequence of real numbers $a_1<a_2<a_3<\cdots$ such that $f(x)$ is an integer only if $x=a_i$ for some $i$?

Note that if $k$ is a positive integer and $f$ is a function, then $f^k$ denotes the composition of $k$ copies of $f$. For example $f^3(t)=f(f(f(t)))$ for all real numbers $t$.

Topic: Equazioni funzionali, Algebra Metodo: Induzione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Assorbimento di funzioni su reali con f^2018(z) numero intero; domande di esistenza

Lasciate che $f$ sia una funzione definita sui numeri reali e assumendo valori reali. Diciamo che $f$ assorbe se $f(x)\le f(y)$ quando $x\le y$ e $f^{2018}(z)$ è un intero per tutti i numeri reali $z$.

a) Esiste una funzione di assorbimento $f$ tale che $f(x)$ sia un numero intero per solo numerosi valori finiti di $x$?

b) Esiste una funzione di assorbimento $f$ e una sequenza crescente di numeri reali $a_1<a_2<a_3<\cdots$ tale che $f(x)$ sia un intero solo se $x=a_i$ per alcuni $i$?

Si noti che se $k$ è un intero positivo e $f$ è una funzione, allora $f^k$ indica la composizione delle copie $k$ di $f$. Ad esempio $f^3(t)=f(f(f(t)))$ per tutti i numeri reali $t$.

src_bmo_2017-18_round2__Q04