British Mathematical Olympiad 2018-19 — Round 1

Count increasing lists of five two-digit multiples of 3 using each digit exactly once

A list of five two-digit positive integers is written in increasing order on a blackboard. Each of the five integers is a multiple of 3, and each digit $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ appears exactly once on the blackboard. In how many ways can this be done? Note that a two-digit number cannot begin with the digit $0$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Contare l’aumento delle liste di cinque moltipli a due cifre di 3 utilizzando ciascuna cifra esattamente una volta

Una lista di cinque interi positivi a due cifre è scritta in ordine crescente su una lavagna. Ciascuno dei cinque enti è un multiple di 3, e ogni cifra $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ appare esattamente una volta sulla lavagna. In quanti modi si può farlo? Si noti che un numero a due cifre non può iniziare con la cifra $0$.

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Determine how many n in [3,2018] allow an n-ring of positive integers with bounded neighbour products

For each positive integer $n\ge 3$, we define an $n$-ring to be a circular arrangement of $n$ (not necessarily different) positive integers such that the product of any three neighbouring integers is in the range $3\le s\le 2018$ for the integers in the range. Determine the number of integers $n$ in the range $3\le n\le 2018$ for which it is possible to form an $n$-ring.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Invarianti, Induzione Abilita: Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Determine quante n in [3,2018] consentono un anello di interi positivi con prodotti limitati vicini

Per ogni intero positivo $n\ge 3$, definiamo un $n$-anello come un’arrangiamento circolare di integri positivi $n$ (non necessariamente diversi) in modo tale che il prodotto di tutti e tre integri vicini sia nell’intervallo $3\le s\le 2018$ per gli integri nell’intervallo. Determinare il numero di integri $n$ nell’intervallo $3\le n\le 2018$ per i quali è possibile formare un anello $n$.

src_bmo_2018-19_round1__Q02

Determine all products T obtainable by two pairs of integers each differing by 9

Ares multiplies two integers which differ by 9. Grace multiplies two integers which differ by 9. They obtain the same product $T$. Determine all possible values of $T$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Determina tutti i prodotti T ottenuti da due coppie di integri che differiscono ciascuna di 9

Ares moltiplica due numeri interi che differiscono di 9. Grace moltiplica due numeri interi che differiscono di 9. Essi ottengono lo stesso prodotto $T$. Determinare tutti i possibili valori di $T$.

src_bmo_2018-19_round1__Q03

Prove angle equality involving tangent lines to a semicircle

Let $\Gamma$ be a semicircle with diameter $AB$. The point $C$ lies on the diameter $AB$ and points $D$ and $E$ lie on the arc $BA$, with $E$ between $B$ and $D$. Let the tangents to $\Gamma$ at $D$ and $E$ meet at $F$.

Prove that $\angle EFD=\angle ACD+\angle ECB$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Prove l’eguaglianza angolare che coinvolge linee tangenti a un semicircolo

Il $\Gamma$ deve essere un semicircolo di diametro $AB$. Il punto $C$ si trova sul diametro $AB$ e i punti $D$ e $E$ si trovano sull’arco $BA$, con $E$ tra $B$ e $D$. Lasciate che le tangenti di $\Gamma$ a $D$ e $E$ si incontrino a $F$.

Prove che $\angle EFD=\angle ACD+\angle ECB$.

src_bmo_2018-19_round1__Q04

Find all possible dimensions of two similar cylinders with height sum 1 and volume sum 8pi

Two solid cylinders are mathematically similar. The sum of their heights is $1$. The sum of their volumes is $8\pi$. Find all possibilities for the dimensions of each cylinder.

Topic: Algebra, Geometria solida Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Geometria Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le dimensioni possibili di due cilindri simili con altezza somma 1 e volume somma 8pi

Due cilindri solidi sono matematicamente simili. La somma delle loro altezze è $1$. La somma dei loro volumi è $8\pi$. Trova tutte le possibilità per le dimensioni di ciascun cilindro.

src_bmo_2018-19_round1__Q05

Find highest power of 10 dividing the number of ant’s closed 2018-step journeys

Ada the ant starts at a point $O$ on a plane. At the start of each minute she chooses North, South, East, or West, and marches 1 metre in that direction. At the end of 2018 minutes she finds herself back at $O$. Let $n$ be the number of possible journeys which she could have made. What is the highest power of 10 which divides $n$?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca la potenza più alta di 10 dividendo il numero di viaggi chiusi delle formiche in 2018

Ada la formica inizia a un punto $O$ su un piano. All’inizio di ogni minuto sceglie Nord, Sud, Est o Ovest, e marcia 1 metro in quella direzione. Alla fine del 2018 si ritrova a $O$. Che il numero di viaggi possibili che avrebbe potuto fare sia $n$. Qual è la potenza massima di 10 che divide $n$?

src_bmo_2018-19_round1__Q06