British Mathematical Olympiad 2018-19 — Round 2

Prove triangle BPE is isosceles given perpendicular bisector conditions

Let $ABC$ be a triangle. Let $L$ be the line through $B$ perpendicular to $AB$. The perpendicular from $A$ to $BC$ meets $L$ at the point $D$. The perpendicular bisector of $BC$ meets $L$ at the point $P$. Let $E$ be the foot of the perpendicular from $D$ to $AC$.

Prove that triangle $BPE$ is isosceles.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Prove che il triangolo BPE è isosceles in condizioni di bisettore perpendicolare

Lasciate che $ABC$ sia un triangolo. Si deve $L$ essere la linea attraverso $B$ perpendicolare a $AB$. La perpendicolare da $A$ a $BC$ incontra $L$ al punto $D$. Il bisettore perpendicolare di $BC$ incontra $L$ al punto $P$. Il $E$ deve essere il piede della perpendicolare da $D$ a $AC$.

Prove che il triangolo $BPE$ è uguale.

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Find all n for which magical chess pieces can win

For some integer $n$, a set of $n^2$ magical chess pieces arrange themselves on a square $n^2\times n^2$ chessboard composed of $n^4$ unit squares. At a signal, the chess pieces all teleport to another square of the chessboard such that the distance between the centres of their old and new squares is $n$. The chess pieces win if, both before and after the signal, there are no two chess pieces in the same row or column. For which values of $n$ can the chess pieces win?

Topic: Combinatoria Metodo: Invarianti, Casework, Colorazione Abilita: Modellizzazione, Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Trova tutte le n per le quali i pezzi magici di scacchi possono vincere

Per alcuni numeri interi $n$, un insieme di pezzi magici di scacchi $n^2$ si organizzano su una scacchiera quadrata $n^2\times n^2$ composta da quadrati unitari $n^4$. A un segnale, tutti i pezzi di scacchi si teleportano su un altro quadrato della scacchiera in modo tale che la distanza tra i centri dei loro quadrati vecchi e nuovi sia $n$. I pezzi di scacchi vincono se, sia prima che dopo il segnale, non ci sono due pezzi di scacchi nella stessa riga o colonna. Per quali valori di $n$ possono vincere i scacchi?

src_bmo_2018-19_round2__Q02

Count non-empty subsets of {1,…,p-1} with sum divisible by p

Let $p$ be an odd prime. How many non-empty subsets of $\{1,2,3,\dots ,p-2,p-1\}$ have a sum which is divisible by $p$?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Conteggio, Simmetria Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: \dfrac{2^{p-1} + p - 2}{p} Fonte: apri PDF

Contare i sottogruppi non vuoti di {1,…,p-1} con somma divisibile per p

Lasciate che $p$ sia un primo parziale. Quanti sottoinsiemi non vuoti di $\{1,2,3,\dots ,p-2,p-1\}$ hanno una somma divisibile per $p$?

Risposta: \dfrac{2^{p-1} + p - 2}{p} src_bmo_2018-19_round2__Q03

Find all functions satisfying a monotonicity condition and functional equation

Find all functions $f$ from the positive real numbers to the positive real numbers for which $f(x)\le f(y)$ whenever $x\le y$ and $f(x^3)+f(x^2)+f(x)+f(1)=x^4+x^2+x+1$ for all $x>0$.

Topic: Equazioni funzionali, Algebra Metodo: Backward, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Astrazione Area: Algebra e Analisi Risposta: f(x) = x Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le funzioni che soddisfano una condizione di monotonicità ed equazione funzionale

Trova tutte le funzioni $f$ dai numeri reali positivi ai numeri reali positivi per i quali $f(x)\le f(y)$ ogni volta $x\le y$ e $f(x^3)+f(x^2)+f(x)+f(1)=x^4+x^2+x+1$ per tutti $x>0$.

Risposta: f(x) = x src_bmo_2018-19_round2__Q04