British Mathematical Olympiad 2019-20 — Round 1

Find primes p<200 where p,p+2,p+6,p+8,p+12 all prime; unique prime q for q+2,q+6,q+8,q+12,q+14 all prime

Show that there are at least three prime numbers $p$ less than 200 for which $p+2$, $p+6$, $p+8$ and $p+12$ are all prime. Show also that there is only one prime number $q$ for which $q+2$, $q+6$, $q+8$, $q+12$ and $q+14$ are all prime.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Trova i primi p<200 dove p,p+2,p+6,p+8,p+12 sono tutti primi; primo q unico per q+2,q+6,q+8,q+12,q+14 tutti primi

Indicare che ci sono almeno tre numeri primi $p$ inferiori a 200 per i quali $p+2$, $p+6$, $p+8$ e $p+12$ sono tutti primi. Indicare inoltre che esiste un solo numero primo $q$ per il quale $q+2$, $q+6$, $q+8$, $q+12$ e $q+14$ sono tutti numeri primi.

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Find all possible values of a_1 in an integer sequence satisfying a recurrence

A sequence of integers $a_1,a_2,a_3,\dots$ satisfies the relation: $4a_{n+1}^2-4a_n{a}_{n+1}+a_n^2-1=0$ for all positive integers $n$. What are the possible values of $a_1$?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutti i possibili valori di a_1 in una sequenza di numeri interi che soddisfa una ricorrenza

Una sequenza di integri $a_1,a_2,a_3,\dots$ soddisfa la relazione: $4a_{n+1}^2-4a_n{a}_{n+1}+a_n^2-1=0$ per tutti gli integri positivi $n$. Quali sono i valori possibili di $a_1$?

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Two tangent circles with common tangent; prove AC perpendicular to BD

Two circles $S_1$ and $S_2$ are tangent at $P$. A common tangent, not through $P$, touches $S_1$ at $A$ and $S_2$ at $B$. Points $C$ and $D$, on $S_1$ and $S_2$ respectively, are outside the triangle $APB$ and are such that $P$ is on the line $CD$.

Prove that $AC$ is perpendicular to $BD$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Due cerchi tangenti con tangente comune; dimostrare che l’AC è perpendicolare a BD

Due cerchi $S_1$ e $S_2$ sono tangenti a $P$. Un tangente comune, non attraverso $P$, tocca $S_1$ a $A$ e $S_2$ a $B$. I punti $C$ e $D$, rispettivamente su $S_1$ e $S_2$, sono al di fuori del triangolo $APB$ e sono tali che $P$ sia sulla linea $CD$.

Prova che $AC$ è perpendicolare a $BD$.

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Penguins queue with ticket rules; find counts near tickets 2 and 33

There are 2019 penguins waddling towards their favourite restaurant. As the penguins arrive, they are handed tickets numbered in ascending order from 1 to 2019, and told to join the queue. The first penguin starts the queue. For each $n>1$ the penguin holding ticket number $n$ finds the greatest $m<n$ which divides $n$ and enters the queue directly behind the penguin holding ticket number $m$. This continues until all 2019 penguins are in the queue.

(a) How many penguins are in front of the penguin with ticket number 2?

(b) What numbers are on the tickets held by the penguins just in front of and just behind the penguin holding ticket 33?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Induzione, Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Pinguini in coda con le regole dei biglietti; trovare i conti vicino ai biglietti 2 e 33

Ci sono pinguini del 2019 che vagano verso il loro ristorante preferito. Quando arrivano i pinguini, vengono consegnati biglietti numerati in ordine ascendente dal 1 al 2019, e viene detto di unirsi alla coda. Il primo pinguino inizia la coda. Per ciascuna $n>1$ il numero di biglietto di detenzione del pinguino $n$ trova il più grande $m<n$ che divide $n$ e entra nella coda direttamente dietro il numero di biglietto di detenzione del pinguino $m$. Questo continua fino a quando tutti i pinguini del 2019 sono in coda.

(a) Quanti pinguini sono davanti al pinguino con il biglietto numero 2?

(b) Quali sono i numeri sui biglietti che i pinguini tengono proprio davanti e proprio dietro al pinguino che detiene il biglietto 33?

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Children with sweets around a table; find initial arrangements that can be made perfect

Six children are evenly spaced around a circular table. Initially, one has a pile of $n>0$ sweets in front of them, and the others have nothing. If a child has at least four sweets in front of them, they may perform the following move: eat one sweet and give one sweet to each of their immediate neighbours and to the child directly opposite them. An arrangement is called perfect if there is a sequence of moves which results in each child having the same number of sweets in front of them. For which values of $n$ is the initial arrangement perfect?

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Invarianti, Casework, Congruenze Abilita: Modellizzazione, Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Bambini con dolci intorno a un tavolo; trovare accordi iniziali che possano essere resi perfetti

Sei bambini sono spaziati uniformemente attorno a un tavolo circolare. Inizialmente, uno ha un mucchio di dolci davanti a sé, mentre gli altri non hanno nulla. Se un bambino ha davanti a sé almeno quattro dolci, può fare la seguente mossa: mangiare un dolce e dare un dolce a ciascuno dei suoi vicini immediati e al bambino direttamente di fronte. Una disposizione è chiamata perfetta se vi è una sequenza di mosse che comporta che ogni bambino abbia davanti a sé lo stesso numero di dolci. Per quali valori di $n$ è perfetta la disposizione iniziale?

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Find all functions f assigning integers to pairs of integers satisfying a given functional equation

A function $f$ is called good if it assigns an integer value $f(m,n)$ to every ordered pair of integers $(m,n)$ in such a way that for every pair of integers $(m,n)$ we have: $2f(m,n)=f(m-n,n-m)+m+n=f(m+1,n)+f(m,n+1)-1.$

Find all good functions.

Topic: Equazioni funzionali, Algebra Metodo: Casework, Induzione, Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le funzioni f che assegnano integri a coppie di integri che soddisfano una determinata equazione funzionale

Una funzione $f$ si chiama good se assegna un valore intero $f(m,n)$ a ogni coppia ordinata di integri $(m,n)$ in modo tale che per ogni coppia di integri $(m,n)$ abbiamo: $2f(m,n)=f(m-n,n-m)+m+n=f(m+1,n)+f(m,n+1)-1.$

Trova tutte le buone funzioni.

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