Sequence recurrence: find a1 so all terms are odd integers
A sequence has and satisfies for all positive integers . For which values of are all the terms of the sequence odd integers?
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Induzione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF
Recurrenza della sequenza: trovare a1 in modo che tutti i termini siano numeri interi odd
Una sequenza ha e soddisfa per tutti gli integri positivi . Per quali valori di tutti i termini della sequenza sono numeri interi pari?
Characterise point sets where every triangle has equal circumradius
Describe all collections of at least four points in the plane such that no three points are collinear and such that every triangle formed by three points in has the same circumradius.
(The circumradius of a triangle is the radius of the circle passing through all three of its vertices.)
Topic: Geometria piana Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF
Sett di punti di caratterizzazione in cui ogni triangolo ha uguale radius di circonferenza
Descrivere tutte le collezioni di almeno quattro punti del piano in modo tale che non ci siano tre punti collineari e in modo tale che ogni triangolo formato da tre punti di abbia lo stesso raggio di circonda.
(Il circonradio di un triangolo è il raggio del cerchio che attraversa tutti e tre i suoi vertici.)
Count balanced colourings of a 2019×2019 grid
A square grid is made up of unit cells. Each cell is coloured either black or white. A colouring is called \textit{balanced} if, within every subgrid made up of cells for , the number of black cells differs from the number of white cells by at most one. How many different balanced colourings are there?
(Two colourings are different if there is at least one cell which is black in exactly one of them.)
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework, Invarianti Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Contare i colori bilanciati di una griglia 2019×2019
Una griglia quadrata è composta da celle unità . Ogni cella è di colore nero o bianco. Un colorante è chiamato \textit{balanced} se, all’interno di ogni sottogrid costituito da cellule per , il numero di cellule nere differisce dal numero di cellule bianche di almeno una. Quante diverse colorazioni equilibrate ci sono?
(Due colorazioni sono diverse se in una di esse c’è almeno una cellula di colore nero.)
Sequence recurrence: boundedness and unboundedness results
A sequence of nonzero real numbers has the property that for all positive integers . Suppose that and where . Show that there is some constant , depending on , such that for all . Also show that, for some , there is a value of such that .
Topic: Algebra Metodo: Induzione, Estremalità, Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF
Ricorrenza della sequenza: risultati di limitazione e di non limitazione
Una sequenza di numeri reali non zero ha la proprietà che per tutti gli enti interi positivi . Supponiamo che e dove . Indicare che esiste una costante , a seconda di , tale che per tutti . Indicare inoltre che, per alcuni , esiste un valore di tale che .