British Mathematical Olympiad 2020-21 — Round 1

Find values of a written on blackboard second time

Alice and Bob take it in turns to write numbers on a blackboard. Alice starts by writing an integer $a$ between $-100$ and $100$ inclusive on the board. On each of Bob’s turns he writes twice the number Alice wrote last. On each of Alice’s subsequent turns she writes the number $45$ less than the number Bob wrote last. At some point, the number $a$ is written on the board for a second time. Find the possible values of $a$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca i valori di una scheda scritta sulla lavagna per la seconda volta

Alice e Bob lo fanno a turno per scrivere numeri su una lavagna. Alice inizia scrivendo un numero intero $a$ tra $-100$ e $100$ inclusivo sulla lavagna. A ogni turno di Bob scrive il doppio del numero che Alice ha scritto l’ultima volta. Su ogni turno successivo di Alice scrive il numero $45$ inferiore al numero che Bob ha scritto l’ultimo. A un certo punto, il numero $a$ viene scritto sulla lavagna per la seconda volta. Trova i valori possibili di $a$.

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Isosceles triangle: perimeter numerically equal to area squared

A triangle has side lengths $a$, $a$ and $b$. It has perimeter $P$ and area $A$. Given that $b$ and $P$ are integers, and that $P$ is numerically equal to $A^2$, find all possible pairs $(a,b)$.

Topic: Geometria piana, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Triangolo isosceles: perimetro numericamente uguale all’area al quadrato

Un triangolo ha lunghezze laterali $a$, $a$ e $b$. Il suo perimetro $P$ e superficie $A$. Dato che $b$ e $P$ sono numeri interi e che $P$ è numericamente uguale a $A^2$, trovare tutte le possibili coppie $(a,b)$.

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Count sequences of shapes from folding paper n times

A square piece of paper is folded in half along a line of symmetry. The resulting shape is then folded in half along a line of symmetry of the new shape. This process is repeated until $n$ folds have been made, giving a sequence of $n+1$ shapes. If we do not distinguish between congruent shapes, find the number of possible sequences when: (a) $n=3$; (b) $n=6$; (c) $n=9$. (When $n=1$ there are two possible sequences.)

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio, Ricorsione Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Conteggio di sequenze di forme da carta pieghevole n volte

Un pezzo di carta quadrato è piegato a metà lungo una linea di simmetria. La forma risultante viene poi piegata a metà lungo una linea di simmetria della nuova forma. Questo processo viene ripetuto fino a quando non sono state fatte pieghe $n$, dando una sequenza di forme $n+1$. Se non si fa distinzione tra forme congruenti, si trova il numero di sequenze possibili quando: a) $n=3$; b) $n=6$; c) $n=9$. (Quando $n=1$ ci sono due possibili sequenze.)

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Cryptarithmetic: find digits A, B, D, E in base-10 equation

In the equation $A^{AA}+AA=\text{B,BBC,DED,BEE,BBB,BBE}$ the letters A, B, C, D and E represent different base-10 digits (so the right hand side is a sixteen digit number and $AA$ is a two digit number). Given that $C=9$, find A, B, D and E.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Crittografia aritmetica: trovare i numeri A, B, D, E nell’equazione base-10

Nell’equazione $A^{AA}+AA=\text{B,BBC,DED,BEE,BBB,BBE}$ le lettere A, B, C, D ed E rappresentano differenti cifre base-10 (il lato destro è quindi un numero di sedici cifre e $AA$ è un numero di due cifre). Dato che $C=9$, trovare A, B, D ed E.

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Circle tangent to AC and AB, prove AD=DP implies BP=AC

Let points $A$, $B$ and $C$ lie on a circle $\Gamma$. Circle $A$ is tangent to $AC$ at $A$. It meets $\Gamma$ again at $D$ and the line $AB$ again at $P$. The point $P$ lies between $B$ and $D$. Prove that if $AD=DP$, then $BP=AC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Circolo tangente a AC e AB, prova che AD=DP implica BP=AC

I punti $A$, $B$ e $C$ si trovano su un cerchio $\Gamma$. Il circolo $A$ è tangente a $AC$ a $A$. Si riunisce a $\Gamma$ a $D$ e alla riga $AB$ a $P$. Il punto $P$ si trova tra $B$ e $D$. Prova che se $AD=DP$, allora $BP=AC$.

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Integer as sum of two different powers of 2 and two different squares

Given that an integer $n$ is the sum of two different powers of $2$ and also the sum of two different Mersenne primes, prove that $n$ is the sum of two different square numbers.

(A Mersenne prime is a prime number which is one less than a power of two.)

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Integra come somma di due potenze differenti di 2 e due quadrati diversi

Dato che un intero $n$ è la somma di due potenze differenti di $2$ e anche la somma di due diversi primi di Mersenne, dimostrare che $n$ è la somma di due diversi numeri quadrati.

(Un primo di Mersenne è un numero primo che è uno meno di una potenza di due.)

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Pebble game on number line: find when Evie guarantees victory

Evie and Odette are playing a game. Three pebbles are placed on the number line; one at $-2020$, one at $2020$, and one at $n$, where $n$ is an integer between $-2020$ and $2020$. They take it in turns moving either the leftmost or the rightmost pebble to an integer between the other two pebbles. The game ends when the pebbles occupy three consecutive integers.

Odette wins if their sum is odd; Evie wins if their sum is even. For how many values of $n$ can Evie guarantee victory if: (a) Odette goes first; (b) Evie goes first?

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Invarianti, Casework, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Gioco di pizzico sulla linea dei numeri: scopri quando Evie garantisce la vittoria

Evie e Odette stanno giocando. Tre pietre sono posizionate sulla linea numerica; una a $-2020$, una a $2020$ e una a $n$, dove $n$ è un numero intero tra $-2020$ e $2020$. Lo prendono a turno spostando la pietra più sinistra o la pietra più destra a un numero intero tra le altre due pietre. La partita finisce quando le pietre occupano tre numeri interi consecutivi.

Odette vince se la loro somma è strana; Evie vince se la loro somma è pari. Per quanti valori di $n$ può Evie garantire la vittoria se: (a) Odette viene prima; (b) Evie viene prima?

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