British Mathematical Olympiad 2020-21 — Round 2

Prove every positive integer has a ‘good’ multiple

A positive integer $n$ is called $\text{good}$ if there is a set of divisors of $n$ whose members sum to $n$ and include $1$. Prove that every positive integer has a multiple which is good.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: method_casework, Induzione Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Prove che ogni numero intero positivo ha un moltiplo ‘buono’

Un intero positivo $n$ viene chiamato $\text{good}$ se esiste un insieme di divisori di $n$ i cui membri sommano a $n$ e includono $1$. Prove che ogni intero positivo ha un multiple che è buono.

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Tiling a square with two types of square tiles

Eliza has a large collection of $a\times a$ and $b\times b$ tiles where $a$ and $b$ are positive integers. She arranges some of these tiles, without overlaps, to form a square of side length $n$. Prove that she can cover another square of side length $n$ using only one of her two types of tile.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Tagliare un quadrato con due tipi di piastrelle quadrate

Eliza ha una grande collezione di piastrelle $a\times a$ e $b\times b$ in cui $a$ e $b$ sono integri positivi. Lei organizza alcune di queste piastrelle, senza sovrapposizioni, per formare un quadrato di lunghezza laterale $n$. Provare che può coprire un altro quadrato di lunghezza laterale $n$ utilizzando solo uno dei suoi due tipi di piastrelle.

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AI and KD meet on circumcircle of triangle ABC

Let $ABC$ be a triangle with $AB>AC$. Its circumcircle is $\Gamma$ and its incentre is $I$. Let $D$ be the contact point of the incircle of $ABC$ with $BC$.

Let $K$ be the point on $\Gamma$ such that $\angle AKI$ is a right angle.

Prove that $AI$ and $KD$ meet on $\Gamma$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

AI e KD si incontrano sul circolo del triangolo ABC

Che $ABC$ sia un triangolo con $AB>AC$. Il suo circoncircolo è $\Gamma$ e il suo incentro è $I$. Il punto di contatto dell’incircolo di $ABC$ con $BC$ è $D$.

$K$ sia il punto su $\Gamma$ in modo tale che $\angle AKI$ sia un angolo retto.

Prove che $AI$ e $KD$ si incontrano su $\Gamma$.

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Sequence where a_i - i contains every integer exactly once

Matthew writes down a sequence $a_1,a_2,a_3,\dots$ of positive integers. Each $a_n$ is the smallest positive integer, different from all previous terms in the sequence, such that the mean of the terms $a_1,a_2,\dots ,a_n$ is an integer. Prove that the sequence defined by $a_i-i$ for $i=1,2,3,\dots$ contains every integer exactly once.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Invarianti, Congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Sequenza in cui a_i - i contiene ogni numero intero esattamente una volta

Matteo scrive una sequenza $a_1,a_2,a_3,\dots$ di numeri interi positivi. Ogni $a_n$ è il numero intero positivo più piccolo, diverso da tutti i termini precedenti della sequenza, in modo tale che la media dei termini $a_1,a_2,\dots ,a_n$ è un numero intero. Provare che la sequenza definita da $a_i-i$ per $i=1,2,3,\dots$ contiene ogni numero intero esattamente una volta.

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