British Mathematical Olympiad 2022-23 — Round 2

Cyclic quadrilateral from incircle circle intersections

Let $ABC$ be a triangle with an obtuse angle $A$ and incentre $I$. Circles $ABI$ and $ACI$ intersect the circle $ABC$ again at $X$ and $Y$ respectively. The lines $AX$ and $BI$ meet at $P$, and the lines $AY$ and $CI$ meet at $Q$. Prove that $BCQP$ is cyclic.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Quadrilaterali ciclici da intersezioni di cerchi incircoli

Il $ABC$ deve essere un triangolo con un angolo ottuso $A$ e incentro $I$. I cerchi $ABI$ e $ACI$ incrociano di nuovo il cerchio $ABC$ rispettivamente a $X$ e $Y$. Le linee $AX$ e $BI$ si incontrano a $P$, e le linee $AY$ e $CI$ si incontrano a $Q$. Provare che $BCQP$ è ciclico.

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Blackboard permutation by moves; find all valid n

For an integer $n>1$, the numbers $1,2,3,\dots ,n$ are written in order on a blackboard. The following moves are possible: (i) Take three adjacent numbers $x,y,z$ whose sum is a multiple of 3 and replace them with $y,z,x$. (ii) Take two adjacent numbers $x,y$ and replace them with $y,x$. Find all $n$ such that the initial list can be transformed into $n,1,2,\dots ,n-1$ after a finite number of moves.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Invarianti, Congruenze, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern, Casework accurato, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Permutazione della scheda da movimenti; trovare tutti i n validi

Per un numero intero $n>1$, i numeri $1,2,3,\dots ,n$ sono scritti in ordine su una lavagna. Le seguenti mosse sono possibili: (i) Prendi tre numeri adiacenti $x,y,z$ la cui somma è un multiple di 3 e sostituirli con $y,z,x$. (ii) Prendi due numeri adiacenti $x,y$ e sostituirli con $y,x$. Trova tutte le $n$ in modo tale che l’elenco iniziale possa essere trasformato in $n,1,2,\dots ,n-1$ dopo un numero finito di mosse.

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Count ideal n-lists where running averages are integers

For an integer $n\ge 3$, we say that $A=(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ is an $n$-list if every $a_k$ is an integer in the range $1\le a_k\le n$. Let $M_k=\frac{a_1+a_2+\cdots +a_k}{k}$ for each $k=1,2,\dots ,n-1$. We say an $n$-list $A$ is ideal if $M_k$ is an integer for each $k=1,2,\dots ,n-1$.

Find the number of ideal $n$-lists.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Conteggio, Induzione Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Contare n-liste ideali in cui le medie correnti sono interi

Per un intero $n\ge 3$, diciamo che $A=(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ è un $n$-lista se ogni $a_k$ è un intero nell’intervallo $1\le a_k\le n$. Per ciascuna $k=1,2,\dots ,n-1$ $M_k=\frac{a_1+a_2+\cdots +a_k}{k}$. Diciamo che una lista $n$ $A$ è ideale se $M_k$ è un intero per ogni $k=1,2,\dots ,n-1$.

Trova il numero delle liste $n$ ideali.

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Triangle integer sides with angle A = 3B; prove one side is a cube

The side lengths $a,b,c$ of a triangle $ABC$ are positive integers such that the highest common factor of $a$, $b$ and $c$ is 1. Given that $\angle A=3\angle B$, prove that at least one of $a$, $b$, $c$ is a cube.

Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

I lati interi del triangolo con angolo A = 3B; dimostrare che un lato è un cubo

Le lunghezze laterali $a,b,c$ di un triangolo $ABC$ sono numeri interi positivi in modo tale che il fattore comune più alto di $a$, $b$ e $c$ è 1. Dato che $\angle A=3\angle B$, dimostrare che almeno uno di $a$, $b$, $c$ è un cubo.

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