British Mathematical Olympiad 2023-24 — Round 1

Count spellings of OLYMPIADS from unreliable typist

An unreliable typist can guarantee that when they try to type a word with different letters, every letter of the word will appear exactly once in what they type, and each letter will occur at most one letter late (though it may occur more than one letter early). Thus, when trying to type MATHS, the typist may type MATHS, MTAHS or TMASH, but not ATMSH.

Determine, with proof, the number of possible spellings of OLYMPIADS that might be typed.

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio, Induzione Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Conteggio delle ortografie di OLYMPIADS da tipografo poco affidabile

Un tipografo poco affidabile può garantire che quando cerca di digitare una parola con lettere diverse, ogni lettera della parola apparirà esattamente una volta in quello che digitano, e ogni lettera si verificherà al massimo una lettera in ritardo (anche se può verificarsi più di una lettera in anticipo). Pertanto, quando si tenta di digitare MATHS, il typista può digitare MATHS, MTAHS o TMASH, ma non ATMSH.

Determinare, con la prova, il numero di possibili ortografie di OLYMPIADS che potrebbero essere digitate.

src_bmo_2023-24_round1__Q01

Prove a0 and a1 consecutive given a2023 and a2024 consecutive

The sequence $a_0,a_1,\dots$ has the property that for each $i\ge 2$, $a_i$ is either $2a_{i-1}-a_{i-2}$ or $2a_{i-2}-a_{i-1}$.

Given that $a_{2023}$ and $a_{2024}$ are consecutive integers, prove that $a_0$ and $a_1$ are consecutive integers.

(Note that 6 and 7 are consecutive integers, as are 7 and 6.)

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Invarianti, Backward Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Prove a0 e a1 consecutive date a2023 e a2024 consecutive

La sequenza $a_0,a_1,\dots$ ha la proprietà che per ogni $i\ge 2$, $a_i$ è $2a_{i-1}-a_{i-2}$ o $2a_{i-2}-a_{i-1}$.

Dato che $a_{2023}$ e $a_{2024}$ sono numeri interi consecutivi, dimostrare che $a_0$ e $a_1$ sono numeri interi consecutivi.

(Nota che 6 e 7 sono numeri interi consecutivi, così come 7 e 6.)

src_bmo_2023-24_round1__Q02

Prove BZ perpendicular to AC in circle geometry problem

Let $ABC$ be a triangle with $\angle ACB<90^{\circ }$. Let $X$ and $Y$ be points on $AC$ and the circle $ABC$ respectively such that $XY\ne A$ and $BX=BY=BA$. Line $XY$ intersects the circle $ABC$ again at $Z$.

Prove that $BZ$ is perpendicular to $AC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Prove BZ perpendicolare all’AC nel problema di geometria circolare

Che $ABC$ sia un triangolo con $\angle ACB<90^{\circ }$. Il punto $X$ e il punto $Y$ devono essere ponti rispettivamente su $AC$ e sul cerchio $ABC$ in modo tale che $XY\ne A$ e $BX=BY=BA$. La linea $XY$ incrocia nuovamente il cerchio $ABC$ a $Z$.

Prova che $BZ$ è perpendicolare a $AC$.

src_bmo_2023-24_round1__Q03

Find all positive integers n with n times 2^n plus 1 a perfect square

Find all positive integers $n$ such that $n\times 2^n+1$ is a square.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutti gli integri positivi n con n volte 2^n più 1 un quadrato perfetto

Trova tutti gli integri positivi $n$ in modo tale che $n\times 2^n+1$ sia un quadrato.

src_bmo_2023-24_round1__Q04

Minimum faults for 1000 red-blue dots on a circle

An artist arranges 1000 dots evenly around a circle, with each dot being either red or blue. A critic looks at the 1000 dots and counts faults: each time two red dots adjacent is one fault, and each time two blue dots are exactly two apart (that is, they have exactly one dot in between them) is another.

What is the smallest number of faults the critic could find?

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Estremalità, Invarianti, Doppio conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Stima, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Minimum di errori per 1000 punti rosso-blu su un cerchio

Un artista organizza 1000 punti uniformemente intorno a un cerchio, con ogni punto rosso o blu. Un critico guarda i 1000 punti e conta errori: ogni volta che due punti rossi adiacenti sono un errore, e ogni volta che due punti blu sono esattamente due separati (cioè hanno esattamente un punto tra di loro) è un altro.

Qual è il minor numero di difetti che il critico potrebbe trovare?

src_bmo_2023-24_round1__Q05

For which n must an equilateral convex polygon with equal short diagonals have equal angles

For some integer $n>4$ a convex polygon has vertices $v_1,v_2,\dots ,v_n$ in cyclic order. All its edges are the same length. It also has the property that the lengths of the diagonals $v_1{v}_3,v_2{v}_4,\dots ,v_{n-2}{v}_n$ and $v_{n-1}{v}_1$ and $v_n{v}_2$ are all equal.

For which $n$ is it necessarily the case that the polygon has equal angles?

Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Simmetria, Casework, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione, Modellizzazione Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Per il quale n deve avere angoli uguali un poligono converso equilaterale con diagonali corti uguali

Per alcuni numeri interi $n>4$ un poligono converso ha vertici $v_1,v_2,\dots ,v_n$ in ordine ciclico. Tutti i bordi sono della stessa lunghezza. Ha anche la proprietà che le lunghezze dei diagonali $v_1{v}_3,v_2{v}_4,\dots ,v_{n-2}{v}_n$ e $v_{n-1}{v}_1$ e $v_n{v}_2$ sono tutte uguali.

Per quale $n$ è necessariamente il caso che il poligono abbia angoli uguali?

src_bmo_2023-24_round1__Q06