British Mathematical Olympiad 2024-25 — Round 1

Find which n in 3..12 admit a happy circle arrangement

We say that a number $n\ge 3$ is $happy$ if it is possible to arrange the numbers $1$ to $n$ in a circle such that the following two conditions hold: (a) If $x$ and $y$ are neighbours in the circle, then $x$ divides $y$ or $y$ divides $x$; (b) If different integers $u$ and $v$ are in the circle but are not neighbours, then neither divides the other.

Find all $n$ in the range $3\le n\le 12$ which are happy.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Estratto da scansione a bassa risoluzione — enunciato da verificare con la fonte.

Trova quale n in 3.12 ammette una disposizione di cerchio felice

Diciamo che un numero $n\ge 3$ è $happy$ se è possibile organizzare i numeri $1$ a $n$ in un cerchio in modo tale che si applichino le seguenti due condizioni: (a) Se $x$ e $y$ sono vicini nel cerchio, allora $x$ divide $y$ o $y$ divide $x$; (b) Se diversi interi $u$ e $v$ sono nel cerchio ma non sono vicini, allora nessuno divide l’altro.

Trova tutte le $n$ nella gamma $3\le n\le 12$ che sono soddisfatte.

src_bmo_2024-25_round1__Q01

Cards in a circle, neighbour sums divisible by 3

The numbers $1,2,\dots ,n$ are written on $n$ cards, one number on each card. The cards are placed in a circle. (i) If the cards are placed in a particular order, the sum of the numbers on each pair of neighbouring cards is divisible by $3$. (ii) Determine all values of $n$ for which the cards can be placed in a circle so that the sum of the numbers on each pair of neighbouring cards is divisible by $3$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

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Carte in cerchio, somme vicine divisibili per 3

I numeri $1,2,\dots ,n$ sono scritti su carte $n$, un numero su ciascuna carta. Le carte sono posizionate in un cerchio. (i) Se le carte sono disposte in un ordine particolare, la somma dei numeri su ciascuna coppia di carte vicine è divisibile per $3$. ii) Determinare tutti i valori di $n$ per i quali le carte possono essere posizionate in un cerchio in modo che la somma dei numeri su ciascuna coppia di carte vicine sia divisibile da $3$.

src_bmo_2024-25_round1__Q02

Game replacing n by |a-b| starting at 10^6

Rhian and Jack are playing a game in which initially the number $10^6$ is written on a blackboard. If the number $n$ on the blackboard can be written as $a+b$ for two different positive integers $a$ and $b$, a move consists of choosing such $a$ and $b$ and replacing $n$ with $|a-b|$. Rhian starts, then the players make moves alternately. A player who is unable to move loses.

Determine, with proof, who wins the game.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Invarianti, Backward Abilita: Riconoscimento di pattern, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

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Game replacing n by |a-b| starting at 10^6

Rhian and Jack are playing a game in which initially the number $10^6$ is written on a blackboard. If the number $n$ on the blackboard can be written as $a+b$ for two different positive integers $a$ and $b$, a move consists of choosing such $a$ and $b$ and replacing $n$ with $|a-b|$. Rhian starts, then the players make moves alternately. A player who is unable to move loses.

Determine, with proof, who wins the game.

src_bmo_2024-25_round1__Q03

Acute triangle, P on median AM with AB=CP, prove angle CPB=90

In the acute-angled triangle $ABC$ we have $AB<AC<BC$. The midpoint of $BC$ is $M$. There is a point $P$ on the line segment $AM$ such that $AB=CP$, and $\angle PAB=\angle BCP$.

Prove that $\angle CPB=90^{\circ }$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

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Triangolo acuto, P sulla media AM con AB=CP, prova angolo CPB=90

Nel triangolo a angolo acuto $ABC$ abbiamo $AB<AC<BC$. Il punto medio di $BC$ è $M$. C’è un punto $P$ sul segmento di linea $AM$ tale che $AB=CP$ e $\angle PAB=\angle BCP$.

Prove che $\angle CPB=90^{\circ }$.

src_bmo_2024-25_round1__Q04

Smallest n not dividing p; prove divisibility by p

Let $p$ be a prime number, and let $n$ be the smallest positive integer, strictly greater than $1$, which is not a divisor of $p-1$. Prove that $(n+1{)}^k-1$ and $(n+1{)}^k-n$ are divisible by $p$ for some positive integer $k$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

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Meno n non divisibile p; prova divisibilità per p

Che $p$ sia un numero primo, e che $n$ sia il numero intero positivo più piccolo, strettamente maggiore di $1$, che non è un divisore di $p-1$. Prova che $(n+1{)}^k-1$ e $(n+1{)}^k-n$ sono divisibili da $p$ per un intero positivo $k$.

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4x4x4 cube of 3-flavour sugar cubes; find 12 same-flavour in 9 equal-distance pairs

Bjork has $64$ sugar cubes, each of size $1\times 1\times 1$. Each sugar cube is either white or demerara or muscovado in flavour. She piles the sugar cubes into a $4\times 4\times 4$ cube. Prove that there must be $12$ sugar cubes of the same flavour amongst those cubes whose centres lie on a $1\times 1\times 1$ axis-aligned sublattice, which can be split into $9$ disjoint pairs so that the cubes of each pair are the same colour.

Topic: Combinatoria, Geometria solida Metodo: Principio dei cassetti, Doppio conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

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4x4x4 cubo di zuccheri a 3 sapori; trovare 12 sapori identici in 9 coppie di distanza uguale

Bjork ha cubetti di zucchero $64$, ciascuno di dimensioni $1\times 1\times 1$. Ogni cubo di zucchero ha un sapore bianco, demeraro o muscovado. Ha accumulato i cubetti di zucchero in un cubo $4\times 4\times 4$. Dovere che tra i cubetti i cui centri si trovano su una sottolattice allineata all’asse $1\times 1\times 1$ devono esistere cubetti di zucchero $12$ dello stesso sapore, che possono essere suddivisi in coppie disgiunte $9$ in modo che i cubetti di ciascuna coppia siano dello stesso colore.

src_bmo_2024-25_round1__Q06