British Mathematical Olympiad 2024-25 — Round 2

Express 1/n as finite sum of distinct triangular reciprocals

Prove that if $n$ is a positive integer, then $\frac{1}{n}$ can be written as a finite sum of reciprocals of different triangular numbers.

[A triangular number is one of the form $\frac{k(k+1)}{2}$ for some positive integer $k$.]

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Induzione, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Espresso 1/n come somma finita di reciprocità triangolari distinte

Prova che se $n$ è un intero positivo, allora $\frac{1}{n}$ può essere scritto come una somma finita di reciprocità di diversi numeri triangolari.

[Un numero triangolare è una delle forme $\frac{k(k+1)}{2}$ per un intero positivo $k$.]

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Prove D lies on circle AQP in acute triangle configuration

In an acute-angled triangle $ABC$ with $AB<AC$, the incentre is $I$ and the perpendicular bisector of $BC$ meets $BI$ at $P$ and $CI$ at $Q$. The circles $BIQ$ and $CIP$ meet again at $X$. The lines $AX$ and $BC$ meet at $D$.

Prove that $D$ lies on the circle $AQP$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

La prova D si trova su AQP di cerchio in configurazione triangolare acuta

In un triangolo angolato acuto $ABC$ con $AB<AC$, l’incentro è $I$ e il bisettore perpendicolare di $BC$ incontra $BI$ a $P$ e $CI$ a $Q$. I cerchi $BIQ$ e $CIP$ si incontrano di nuovo a $X$. Le linee $AX$ e $BC$ si incontrano a $D$.

Provare che $D$ si trova sul cerchio $AQP$.

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Largest swaps Elijah needs to restore chessboard colouring

An $n\times n$ chessboard consists of $n^2$ cells which are unit squares. Each cell is coloured black or white so that cells with a common edge are different colours. Isaac muddles up the colouring by repeatedly swapping either two complete columns or two complete rows. Elijah wants to restore the original colouring by repeatedly swapping either two complete columns or two complete rows.

In terms of $n$, what is the largest number of swaps that Elijah might need?

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Invarianti, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Casework accurato, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

I più grandi swap Elijah ha bisogno di ripristinare il colore della scacchiera

Una scacchiera $n\times n$ è composta da celle $n^2$ che sono quadrati unitari. Ogni cellula è di colore nero o bianco, in modo che le cellule con un bordo comune abbiano colori diversi. Isaac sconvolge il colore scambiando ripetutamente due colonne complete o due righe complete. Elijah vuole ripristinare il colore originale scambiando ripetutamente due colonne complete o due righe complete.

In termini di $n$, qual è il maggior numero di swap che Elijah potrebbe aver bisogno?

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Count positive integer sequences with given recurrence and u1=1

How many different sequences of positive integers satisfy $u_1=1$ and $u_{n+1}=\frac{(u_n^2+u_n+1{)}^{2025}}{u_{n-1}}$ for all $n\ge 2$?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Invarianti, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Contare le sequenze di numeri interi positivi con una data ricorrenza e u1=1

Quante diverse sequenze di integri positivi soddisfano $u_1=1$ e $u_{n+1}=\frac{(u_n^2+u_n+1{)}^{2025}}{u_{n-1}}$ per tutti $n\ge 2$?

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