British Mathematical Olympiad 2025-26 — Round 1

Ramp sequence: prove p^n expressible as sum of a ramp

A ramp is a sequence of three different positive integers $a,b,c$ such that $a$ is a factor of $b$ and $b$ is a factor of $c$. For every prime number $p$ and every positive integer $n$, determine with proof whether $p^n$ can be expressed as the sum of a ramp.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Sequenza di rampa: prove p^n espressibile come somma di una rampa

Una rampa è una sequenza di tre diversi integri positivi $a,b,c$ in modo tale che $a$ è un fattore di $b$ e $b$ è un fattore di $c$. Per ogni numero primo $p$ e per ogni numero intero positivo $n$, determinare con prova se $p^n$ può essere espresso come la somma di una rampa.

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Find all real triples satisfying two symmetric equations

Find all triples $(x,y,z)$ of real numbers satisfying the equations $x^2+2yz=4,y^2+2zx=4,z^2+2xy=4.$

Topic: Algebra Metodo: Simmetria, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Casework accurato Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutti i tripli reali che soddisfano due equazioni simmetriche

Trova tutti i triples $(x,y,z)$ dei numeri reali che soddisfano le equazioni $x^2+2yz=4,y^2+2zx=4,z^2+2xy=4.$

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Reassemble 11×11 grid cut into L-shaped pieces, single square in row 3 col 3

An $11\times 11$ grid is dissected into 11 pieces as follows. At each step, remove the top row and the leftmost column of the remaining grid as a single piece. Thus, the pieces obtained are L-shaped with sizes $19,17,\dots ,3$, together with a single square.

The pieces are rearranged to reassemble an $11\times 11$ grid, with rotations allowed (but the pieces may not be turned over) so that the single square occupies the cell in the third row and third column (counting from the top left).

How many ways can this be done?

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio, Invarianti Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Casework accurato, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Rimassaggio 11×11 grid tagliato in pezzi a forma di L, quadrato unico nella riga 3 col 3

Una griglia $11\times 11$ è dissecata in 11 pezzi come segue. A ogni passo, rimuovere la riga superiore e la colonna più sinistra della griglia rimanente come singolo pezzo. Pertanto, i pezzi ottenuti sono a forma di L con dimensioni $19,17,\dots ,3$, insieme ad un singolo quadrato.

I pezzi sono riordinati per riassemblare una griglia $11\times 11$, con rotazioni consentite (ma i pezzi non possono essere girati) in modo che il singolo quadrato occupi la cella nella terza riga e nella terza colonna (contando dall’alto a sinistra).

Quanti modi si possono fare?

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Acute triangle with midpoint circle tangencies: prove MA·MD = MB·MC

Let $ABC$ be an acute-angled triangle with $AB>AC$. Let $M$ be the midpoint of $BC$. The circle passing through $M$ that is tangent to $AB$ at $B$ and the circle passing through $M$ that is tangent to $AC$ at $C$ intersect again at $D$.

Prove that $MA\times MD=MB\times MC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo acuto con tangenze di cerchio di punto medio: dimostrare MA·MD = MB·MC

Il $ABC$ deve essere un triangolo acuto con $AB>AC$. $M$ sia il punto medio di $BC$. Il cerchio che attraversa $M$ che è tangente a $AB$ a $B$ e il cerchio che attraversa $M$ che è tangente a $AC$ a $C$ si intersecano di nuovo a $D$.

Prove che $MA\times MD=MB\times MC$.

src_bmo_2025-26_round1__Q04

Integer sequence with parity rules: does it contain every positive integer?

George defines a sequence of integers $t_1,t_2,t_3,\dots$ as follows.

He first sets $t_1=1$. Then, for $n\ge 1$: \begin{itemize} \item If $t_n$ is even, then $t_{n+1}=t_n/2$. \item If $t_n$ is odd and greater than 1, then $t_{n+1}=t_n/3$ rounded to the nearest integer. \item If $t_n=1$, then $t_{n+1}=2025k$ where $k$ is the number of terms equal to 1 amongst $t_1,t_2,\dots ,t_n$. \end{itemize}

Does this sequence contain every positive integer?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Induzione, Invarianti, Ricorsione, Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Ragionamento geometrico, Astrazione, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Sequenza di numeri interi con regole di parità: contiene tutti i numeri interi positivi?

George definisce una sequenza di enti $t_1,t_2,t_3,\dots$ come segue.

In primo luogo impone $t_1=1$. Quindi, per $n\ge 1$: \begin{itemize} \item Se $t_n$ è pari, allora $t_{n+1}=t_n/2$. \item Se $t_n$ è pari e superiore a 1, allora $t_{n+1}=t_n/3$ arrotondato al numero intero più vicino. \item Se $t_n=1$, allora $t_{n+1}=2025k$ dove $k$ è il numero di termini uguali a 1 tra $t_1,t_2,\dots ,t_n$. # Finire #

Questa sequenza contiene tutti i numeri interi positivi?

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Frogs on 1000 lily pads in circle: find n for which one frog remains

There are 1000 lily pads on a pond arranged in a circle and labelled $1,2,\dots ,1000$ in order. (The first four lily pads may also be described using the labels 1001, 1002, 1003 and 1004, respectively.) The first $n$ lily pads are each occupied by a frog with the remaining lily pads not occupied.

Each minute, exactly one of the frogs makes a move. Suppose the frog is on lily pad $k$. That frog may either:

(i) Swim to lily pad $k+4$ or $k-4$, provided that it is not occupied; or

(ii) Jump to lily pad $k+3$ or $k-3$ provided that this lily pad is not occupied and the two lily pads jumped over are both occupied. When this happens, the two frogs that were jumped over dive into the pond and don’t participate in any further moves.

For which values of $n$ is it possible, by a sequence of moves, to end with exactly one frog remaining on the lily pads?

Topic: Combinatoria Metodo: Invarianti, Casework, Colorazione, Induzione Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione, Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Rana su 1000 lampadine in cerchio: trovare n per cui rimane una rana

Ci sono 1000 lampadine di lirio su un stagno disposte in cerchio e etichettate in ordine $1,2,\dots ,1000$. (I primi quattro blocchi di lilia possono essere descritti anche utilizzando rispettivamente le etichette 1001, 1002, 1003 e 1004).

Ogni minuto, esattamente una delle rane fa una mossa. Supponiamo che la rana sia su un lampadino. La rana può:

(i) Nuotare su un lampadino $k+4$ o $k-4$, purché non sia occupato; o

(ii) Salta al lily pad $k+3$ o $k-3$ purché questo lily pad non sia occupato e i due lily pad saltati siano entrambi occupati. Quando questo accade, le due rane che sono state saltate si immergono nel lago e non partecipano a ulteriori mosse.

Per quali valori di $n$ è possibile, mediante una sequenza di mosse, concludere con esattamente una rana rimasta sui pad del lilio?

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