British Mathematical Olympiad 2025-26 — Round 2

Find smallest k for lcm+hcf=p^k equation in positive integers

For any two positive integers $m$ and $n$, we define $l(m,n)$ as their least common multiple and $h(m,n)$ as their highest common factor. Given a prime $p>3$, let $k$ denote the number of ordered pairs of positive integers $(m,n)$ satisfying the equation $l(m,n)+h(m,n)=p^k.$ Determine the smallest value of $k$ across all choices of the prime $p>3$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca la più piccola k per lcm+hcf=p^k in numeri interi positivi

Per due numeri interi positivi $m$ e $n$, definiamo $l(m,n)$ come il loro più piccolo comune multiplo e $h(m,n)$ come il loro più alto fattore comune. Data una prima $p>3$, $k$ indichi il numero di coppie ordinate di integri positivi $(m,n)$ che soddisfano l’equazione $l(m,n)+h(m,n)=p^k.$ Determinare il valore più piccolo di $k$ su tutte le scelte della prima $p>3$.

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Convex quadrilateral ABCD: prove AC=BD iff XY bisects angle DXC

The convex quadrilateral $ABCD$ has sides $AD$ and $BC$ not parallel. The diagonals $AC$ and $BD$ intersect at $X$. The perpendicular bisectors of sides $AD$ and $BC$ meet at $Y$. Suppose that $Y$ lies strictly inside triangle $XCD$.

Prove that $AC=BD$ if and only if $XY$ bisects $\angle DXC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

ABCD quadrilaterale convex: prova AC=BD se XY divide angolo DXC

Il quadrilaterale converso $ABCD$ ha lati $AD$ e $BC$ non paralleli. Le diagonali $AC$ e $BD$ si intersecano a $X$. I bisettori perpendicolari dei lati $AD$ e $BC$ si incontrano a $Y$. Supponiamo che $Y$ sia rigorosamente all’interno del triangolo $XCD$.

Provare che $AC=BD$ se e solo se $XY$ divide $\angle DXC$.

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30x30 grid with entries -1,0,1; 300 of each; row and column sums all different?

Each cell of a $30\times 30$ grid contains one of the numbers $-1$, $0$ or $1$ with each of these three numbers appearing exactly $300$ times.

Is it possible that the $60$ row and column sums are all different?

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Estremalità, Invarianti Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

30x30 griglia con le voci -1,0,1; 300 di ciascuna; somma di righe e colonne diverse?

Ogni cella di una griglia $30\times 30$ contiene uno dei numeri $-1$, $0$ o $1$ con ciascuno di questi tre numeri che appare esattamente $300$ volte.

È possibile che le somme delle righe e delle colonne $60$ siano tutte diverse?

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Infinite sequence from partial sums: finitely many positive or finitely many negative terms?

Let $N$ be a positive integer and let $(k_n{)}_{n\ge 1}$ be a sequence of positive integers with all terms at most $N$. Annabel starts this by choosing integers $x_1,x_2,\dots ,x_N$. She then extends this to an infinite sequence $(x_n{)}_{n\ge 1}$ of integers by defining $x_n={\sum }_{i=n-k_{n-1}}^{n-1}{x}_i$ for each $n>N$.

Show that there are either finitely many strictly positive terms or finitely many strictly negative terms in the infinite sequence $(x_n)$.

Topic: Algebra Metodo: Induzione, Invarianti, Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Sequenza infinita da somme parziali: finitamente molti termini positivi o finitamente molti termini negativi?

Che $N$ sia un intero positivo e che $(k_n{)}_{n\ge 1}$ sia una sequenza di interi positivi con tutti i termini al massimo $N$. Annabel inizia scegliendo i numeri interi $x_1,x_2,\dots ,x_N$. Poi lo estende a una sequenza infinita $(x_n{)}_{n\ge 1}$ di numeri interi definendo $x_n={\sum }_{i=n-k_{n-1}}^{n-1}{x}_i$ per ogni $n>N$.

Mostrare che ci sono finitamente molti termini strettamente positivi o finitamente molti termini strettamente negativi nella sequenza infinita $(x_n)$.

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