Labirinto: numero di quadratini attraversati dal percorso minimo da A a B
IL LABIRINTO DEL 2011 Francesco vuole andare dal punto A al punto B del labirinto del disegno seguendo il percorso più corto possibile e potendosi muovere solo in orizzontale o in verticale. Non può naturalmente attraversare i muri (segnati con una linea più grossa nel disegno) e dei muri devono restare al di fuori. Quanti quadratini dovrà allora attraversare (senza contare quelli di A e di B)?
Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 18 Fonte: apri PDF
Labyrinth: number of squares crossed by the minimum path from A to B
THE LABIRINT OF 2011 Francis wants to go from point A to point B of the drawing maze by following the shortest path possible and being able to move only horizontally or vertically. It cannot naturally cross the walls (marked with a larger line in the drawing) and the walls must remain outside. How many squares will he have to go through (not counting those of A and B)?
Answer: 18 src_bocconi_autunno_2010__Q01
Età di Chiara dai tre fratelli con prodotto 35 e somma 13
L’ETÀ DI CHIARA Chiara ha due fratellini, più piccoli di lei. Il prodotto delle età dei tre bambini è uguale a 35, la loro somma è 13. Qual è l’età di Chiara?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 7 Fonte: apri PDF
- Age of Enlightenment by three brothers with product 35 and sum of 13*
Chiara has two younger brothers. The product of the ages of the three children is 35, their sum is 13. What is Chiara’s age?
Answer: 7 src_bocconi_autunno_2010__Q02
Orario del primo risveglio di Luca con una cifra spenta sulla sveglia
LA SVEGLIA DI LUCA È perfettamente funzionante, salvo per il fatto che una cifra non si illumina mai. Questa notte, Luca si è svegliato una prima volta e sulla sveglia ha letto la seguente ora: h min Poi si è svegliato una seconda volta - più di 1 ora ma meno di 2 ore dopo la prima volta - e ha visto l’ora h min Che ora era quando Luca si è svegliato la prima volta?
Topic: Logica, Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 4 h 45 min Fonte: apri PDF
Time of Luke’s first awakening with a switch off on the alarm clock
The LIGHT SIGHT works perfectly, except for the fact that a figure never lights up. That night, Luke woke up one first time and on the alarm clock read the following time: h min Then he woke up a second time - more than 1 hour but less than 2 hours after the first time - and saw the time h min What time was it when Luke woke up the first time?
Answer: 4 h 45 min src_bocconi_autunno_2010__Q03
Numero di fiammiferi sul tavolo dopo la sesta mossa del gioco di Debora
CON I FIAMMIFERI Debora si è appassionata ad un gioco con i fiammiferi in cui segue meticolosamente alcune regole. Alla prima mossa mette un fiammifero sul tavolo. Nella seconda, alle sue estremità appoggia due nuovi fiammiferi (sul loro punto di mezzo). Con la terza mossa, appoggia (sempre nel loro punto medio) 4 nuovi fiammiferi alle 4 estremità libere. Quando due estremità risultano molto vicine, come per esempio nelle situazioni indicate sulla figura con delle frecce, queste non possono quindi “ospitare” nuovi fiammiferi. Nella quarta mossa continua il gioco con 4 nuovi fiammiferi. Quanti fiammiferi ci saranno sul tavolo dopo la sesta mossa?
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Conteggio Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 23 Fonte: apri PDF
Number of matches on the table after the sixth move of Deborah’s game
With the matches, Deborah has become passionate about a game of matches in which she follows some rules meticulously. On the first move, put a match on the table. In the second, it supports two new matches (in their middle) at its ends. With the third move, support (always in their midpoint) 4 new matches at the 4 free ends. When two ends are very close together, such as in the situations indicated on the figure with arrows, these cannot therefore “host” new matches. In the fourth move, the game continues with four new matches. How many matches will be on the table after the sixth move?
Answer: 23 src_bocconi_autunno_2010__Q04
Rettangolo magico 2×4 con gli interi da 1 a 8
UN RETTANGOLO MAGICO Scrivere tutti i numeri interi da 1 a 8 nelle caselle del rettangolo in modo che: • la somma dei due numeri di ogni colonna sia sempre la stessa; • la somma dei quattro numeri di ogni riga sia sempre la stessa; • i numeri della riga superiore siano ordinati dal minore al maggiore (da sinistra a destra).
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: riga superiore 1 4 6 7; riga inferiore 8 5 3 2 Fonte: apri PDF
Magic rectangle 2×4 with integers 1 to 8
A MAGICAL RETANGLE Write all integers from 1 to 8 in the rectangular boxes so that: • the sum of the two numbers in each column is always the same; • the sum of the four numbers in each row is always the same; • the numbers in the upper row are ordered from minor to major (from left to right).
Answer: riga superiore 1 4 6 7; riga inferiore 8 5 3 2 src_bocconi_autunno_2010__Q05
Cifre da 5 a 9 da collocare nell’uguaglianza con 103
DUE SOMME UGUALI Collocate nei due membri dell’uguaglianza, al posto dei trattini, tutte le cifre da 5 a 9 in modo che l’uguaglianza sia soddisfatta. Qual è il numero che va aggiunto a 103? (Il quesito ammette più di una soluzione; bisogna indicarne una sola).
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 59 o 68 Fonte: apri PDF
Figures 5 to 9 to be placed on the par with 103
DUE EQUAL SUMMARY Place all digits 5 to 9 in the two members of the equality instead of the strings so that equality is satisfied. What’s the number you add to 103? (The question admits more than one solution; only one must be indicated.)
Answer: 59 o 68 src_bocconi_autunno_2010__Q06
Individuare la più giovane tra quattro amiche di cui una sola mente
LE QUATTRO AMICHE Ecco le dichiarazioni rilasciate da quattro amiche: Anna: “Io sono la più anziana” Carla: “Io non sono né la più anziana né la più giovane” Liliana: “Io non sono la più giovane” Milena: “Io sono la più giovane” Il fatto è che una di loro (e solo una) ha mentito. Chi è, delle quattro amiche, effettivamente la più giovane?
Topic: Logica Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: Milena Fonte: apri PDF
Selecting the youngest of four friends with only one mind
THE FOUR FRIENDS Here are the statements made by four friends: Anna: “I am the oldest”. Carla: “I am neither the oldest nor the youngest”. Liliana: “I am not the youngest”. Milena: “I am the youngest”. Who, of the four friends, is actually the youngest?
Answer: Milena src_bocconi_autunno_2010__Q07
Età attuale di Angelo dato il rapporto con l’età della madre
L’ETÀ DI ANGELO Oggi, Angelo ha un quarto dell’età di sua madre. Quando avrà 18 anni, sua madre avrà il triplo della sua età. Quanti anni ha attualmente Angelo?
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 12 Fonte: apri PDF
Age of Angelo given the relationship to age of mother
Today, Angelo is a quarter of his mother’s age. When he turns 18, his mother will be three times his age. How old is Angelo now?
Answer: 12 src_bocconi_autunno_2010__Q08
Dividere la figura in tre parti uguali e sovrapponibili
IL DÉCOUPAGE DELL’AUTUNNO 2010 Forza! Dividete la figura in tre parti della stessa forma e di uguale dimensione (le tre parti devono cioè essere completamente sovrapponibili, anche eventualmente mediante qualche rotazione o ribaltamento).
Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Simmetria, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
To divide the figure into three equal and overlapping parts
The Declaration of Autumn 2010 Force! Divide the figure into three parts of the same shape and size (i.e. the three parts must be completely overlapping, even if by some rotation or overturning).
Più piccolo intero positivo che termina con 2011 e divisibile per 7
2011 NON È DIVISIBILE PER 7 Trovate il più piccolo numero intero positivo la cui scrittura termini con 2011 e che sia divisibile per 7.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 32011 Fonte: apri PDF
Littleest positive integer ending in 2011 and divisible by 7
2011 is NOT divisible by 7 Find the smallest positive integer whose writing ends with 2011 and is divisible by 7.
Answer: 32011 src_bocconi_autunno_2010__Q10
Ora esatta dai due orologi che vanno avanti di 8 e 6 minuti all’ora
TUTTI E DUE AVANTI Due orologi sono stati oggi caricati e fatti partire nello stesso istante. Il primo però va avanti di 8 minuti ogni ora, il secondo di 6. Che ora è esattamente quando, sempre oggi, il primo orologio indica le 19.09 e il secondo le 18.53?
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: 18 h 05 min Fonte: apri PDF
Excise time from two clocks going forward by 8 and 6 minutes per hour
Two clocks were charged and started at the same time today. But the first goes on for eight minutes every hour, the second for six. What time is it exactly when, still today, the first clock indicates 7:09 p.m. and the second 6:53 p.m.?
Answer: 18 h 05 min src_bocconi_autunno_2010__Q11
Distanza minima percorsa dal ragno tra gli 8 vertici di una stanza
IL RAGNO E LE MOSCHE In una stanza a forma di parallelepipedo (larga 6 m, lunga 8 m e alta 4 m) un ragno si è piazzato comodo occupando uno dei vertici. Negli altri 7 vertici se ne stanno altrettante mosche, intente a rimanere immobili (una per ogni vertice). Il ragno decide allora di mangiarle, una per una, prima di tornare al punto di partenza, in modo da percorrere la distanza minima possibile. Quale distanza deve percorrere al minimo?
Topic: Geometria solida, Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Stima Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 44 m Fonte: apri PDF
Minimum distance traveled by the spider between the 8 vertices of a room
IN A parallel-piped room (6 m wide, 8 m long, and 4 m high) a spider has placed itself comfortably on one of the vertices. The other seven peaks have as many flies, trying to stay still (one for each summit). The spider then decides to eat them, one by one, before returning to the starting point, so as to cover the shortest possible distance. What is the minimum distance?
Answer: 44 m src_bocconi_autunno_2010__Q12
Massimo valore intero di x per cui la traccia poligonale ritorna in A
TRACCE POLIGONALI Partendo da A, tracciate come in figura un segmento di 5 cm. Poi, rispetto a questa direzione, “girate” in senso orario di x gradi sessagesimali (con x numero intero positivo). Tracciate un altro segmento di 5 cm e ripetete, come in figura, l’operazione di “girare” in senso orario di x gradi. Continuate così fino a ritornare al punto A. Quanto vale, al massimo, x ?
Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 179 Fonte: apri PDF
Maximum integer value of x for which the polygonal track returns to A
POLIGONAL TRACES Starting from A, trace a segment of 5 cm as shown in Figure 1. Then, in relation to this direction, “turn” clockwise of x sexagesimal degrees (with x positive integer). Draw another 5 cm segment and repeat, as shown in the figure, the operation of “rotating” clockwise by x degrees. Continue like this until you get back to point A. What’s the maximum value of x?
Answer: 179 src_bocconi_autunno_2010__Q13
Ampiezza dell’angolo tra le lancette dell’orologio alle 14.45
L’ORA ESATTA Quanto misura l’angolo, minore di un angolo piatto, formato dalle lancette dell’orologio quando sono le 14.45? (Le due lancette vengono assimilate a delle semirette e si suppone che si muovano in modo continuo).
Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: Fonte: apri PDF
Angle width between clock hands at 14.45
What is the angle, less than a flat angle, formed by the hands of the clock at 2:45 p.m.? (The two handles are assimilated to semirettes and are assumed to move continuously).
Answer: 172^\circ 30’ src_bocconi_autunno_2010__Q14
Minimo numero di gettoni da togliere per evitare prodotti tra rimasti
GETTONI SICURI Renato ha a sua disposizione 1.000 gettoni sui quali può leggere tutti i numeri da 1 a 1.000. Quanti ne deve togliere al minimo per essere sicuro che, tra i gettoni rimasti, nessuno abbia un numero uguale al prodotto dei numeri di altri due gettoni (rimasti)?
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 30 Fonte: apri PDF
*Minimum number of tokens to be removed to avoid products remaining *
RENATO has 1,000 tokens at his disposal on which he can read all the numbers from 1 to 1,000. How many tokens must you minimize to make sure that none of the remaining tokens have the same number as the product of the numbers of the other two (remaining) tokens?
Answer: 30 src_bocconi_autunno_2010__Q15
Rettangolo magico 3×5 con gli interi da 1 a 15 e simmetria centrale
IL RETTANGOLO MAGICO Scrivere tutti i numeri interi da 1 a 15 (salvo i due che sono stati già inseriti) nelle caselle del rettangolo in modo che: • la somma dei tre numeri di ciascuna colonna sia sempre la stessa; • la somma dei cinque numeri di ogni riga sia sempre la stessa; • la somma dei due numeri disposti simmetricamente rispetto alla casella centrale sia sempre la stessa.
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Simmetria, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: riga sup. 5 14 4 7 10; riga centr. 13 1 8 15 3; riga inf. 6 9 12 2 11 Fonte: apri PDF
Magic rectangle 3×5 with integers 1 to 15 and central symmetry
MAGICAL RETANGLE Write all integers from 1 to 15 (except the two that have already been inserted) in the boxes of the rectangle so that: • the sum of the three numbers in each column is always the same; • the sum of the five numbers in each row is always the same; • the sum of the two numbers arranged symmetrically with respect to the center box is always the same.
Answer: riga sup. 5 14 4 7 10; riga centr. 13 1 8 15 3; riga inf. 6 9 12 2 11 src_bocconi_autunno_2010__Q16
Angolo maggiore di un triangolo con lati 8, 25,6 e 30,4 cm
IL TRIANGOLO Desiderio è alle prese con un triangolo i cui lati misurano rispettivamente 8 cm ; 25,6 cm ; 30,4 cm . Quanto misura (in gradi) il maggiore degli angoli del triangolo?
Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: Fonte: apri PDF
Major angle of a triangle with sides of 8, 25,6 and 30,4 cm
The Desiderio Triangle is intersected by a triangle whose sides measure 8 cm; 25.6 cm; 30.4 cm respectively . What is the size (in degrees) of the largest of the angles of the triangle?
Answer: 120^\circ src_bocconi_autunno_2010__Q17
Valore della somma alternata di prodotti di dispari consecutivi
SEMPRE DISPARI Amerigo è invece alle prese con un calcolo. Aiutatelo a calcolare il valore di questa espressione:
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Telescoping, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 2 024 067 Fonte: apri PDF
Value of the alternate sum of consecutive odd products
But Amerigo is struggling with a calculation. Help him calculate the value of this expression:
Answer: 2 024 067 src_bocconi_autunno_2010__Q18