Giochi d'Autunno 2014

Somma cifre data 31/12/2014, prima data con somma 20

Considerate la data del 31.12.2014: la somma delle sue cifre è uguale a $14$ ($3+1+1+2+2+0+1+4=14$). Qual è la prima data successiva per cui la somma delle cifre è uguale a $20$?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 29/1/2015 Fonte: apri PDF

sum of figures dated 31/12/2014, first dated with sum of 20

Consider the date of 31.12.2014: the sum of its figures is $14$ ($3+1+1+2+2+0+1+4=14$). What is the first subsequent date for which the sum of the digits is $20$?

Answer: 29/1/2015 src_bocconi_autunno_2014__Q01

Modi di pagare esattamente 2,70 euro con monete

Chiara ha acquistato un quaderno che costa $2,70$ Euro. Nel suo borsellino, ha $6$ pezzi da $0,50$ Euro e $12$ pezzi da $20$ centesimi. Deve stare attenta a come paga perché il cartolario non ha nessuna moneta da darle di resto. In quanti modi diversi può pagare la cifra esatta di $2,70$ Euro?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 3 Fonte: apri PDF

How to pay exactly €2.70 in coins

Clear has bought a notebook that costs $2,70$ Euros. In his purse, he has $6$ pieces of $0,50$ Euro and $12$ pieces of $20$ cents. You have to be careful how you pay because the wallet has no money left to give you. How many different ways can you pay the exact amount of $2,70$ Euro?

Answer: 3 src_bocconi_autunno_2014__Q02

Puzzle: ricomporre la scacchiera con quattro pezzi

Collocate nella parte ancora bianca della scacchiera i quattro pezzi attualmente alla sua destra, in modo da ricoprire completamente la scacchiera.

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: (vedi figura nella soluzione) Fonte: apri PDF

Puzzle: reconfigure the chessboard into four pieces

Place in the still white part of the chessboard the four pieces currently on its right, so that it completely covers the chessboard.

Answer: (vedi figura nella soluzione) src_bocconi_autunno_2014__Q03

Riempire griglia 4x4 con somma 27 su righe e colonne

Collocate tutti i numeri $2,6,7,8,9,10,12$ e $14$ nelle caselle ancora vuote del "$5$" della figura, in modo che i numeri scritti in ognuna delle tre righe (orizzontali) di quattro caselle e in ognuna delle due colonne (verticali) di tre caselle abbiano sempre per somma $27$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Backward Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: (vedi figura nella soluzione) Fonte: apri PDF

Fill 4x4 grid with sum of 27 on rows and columns

Place all the numbers $2,6,7,8,9,10,12$ and $14$ in the still empty boxes of the "$5$" of the figure, so that the numbers written in each of the three (horizontal) rows of four boxes and in each of the two (vertical) columns of three boxes always have the sum $27$.

Answer: (vedi figura nella soluzione) src_bocconi_autunno_2014__Q04

Completare caselle triangolo con medie aritmetiche

Completate le caselle ancora vuote del triangolo della figura, sapendo che il numero di ogni casella (a partire dal piano più alto) deve essere la media aritmetica dei numeri delle due caselle sottostanti su cui si appoggia.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Backward Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: (vedi figura: 18 in cima, 20 e 16 al secondo livello, 23, 17, 15 alla base) Fonte: apri PDF

Complete triangle boxes with arithmetic meanings

Complete the still empty boxes of the triangle in the figure, knowing that the number of each box (from the upper plane) must be the arithmetic mean of the numbers of the two boxes below on which it rests.

Answer: (vedi figura: 18 in cima, 20 e 16 al secondo livello, 23, 17, 15 alla base) src_bocconi_autunno_2014__Q05

Arance in vetrina: quante ne vende Renato per meno di 100

Per sistemare le arance da mettere in vetrina e da vendere, il fruttivendolo Renato ha a sua disposizione dei vassoi che contengono $12$ arance oppure altri vassoi più grandi che ne contengono $21$. Sia che usi sempre i contenitori piccoli, sia che usi sempre quelli grandi, riempiendoli completamente, alla fine gli rimane fuori $1$ arancia. Le arance che Renato vuole vendere sono meno di $100$, ma quante sono esattamente?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 85 Fonte: apri PDF

*Orange in the window: how many Renato sells for less than 100 *

To arrange for oranges to be displayed and sold, the fruit vendor Renato has available trays containing $12$ oranges or other larger trays containing $21$. Whether you always use the small containers, or you always use the big ones, filling them completely, you end up with an orange. The oranges Renato wants to sell are less than$100$, but how many are they exactly?

Answer: 85 src_bocconi_autunno_2014__Q06

Numero minimo di facce visibili di un solido su tavolo

In figura vedete un solido che, quando è poggiato su un tavolo, ha tutte le sue facce (piane) orizzontali o verticali. Quante facce ha, al minimo, questo solido?

Topic: Geometria solida, Combinatoria Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 10 Fonte: apri PDF

Minimum number of visible faces of a table solid

In the figure, you see a solid that, when resting on a table, has all its faces (flat) horizontal or vertical. How many faces does this solid have, at least?

Answer: 10 src_bocconi_autunno_2014__Q07

Area del puzzle di Jacob con raggio 8 cm

Per terra, nella sua camera, Jacob ha trovato il pezzo di un puzzle che vedete in figura. Qual è la sua area, sapendo che tutti gli archi di circonferenza sono delle semicirconferenze che hanno lo stesso raggio?

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $32{\text{ cm}}^2$ Fonte: apri PDF

Area of Jacob’s puzzle with radius of 8 cm

On the ground, in his room, Jacob found the piece of a puzzle you see in the figure. What’s its area, knowing that all the arc radii are semicirculars that have the same radius?

Answer: $32{\text{ cm}}^2$ src_bocconi_autunno_2014__Q08

Quale affermazione sull’artista è vera

Liliana ha disegnato un pesce esotico tracciando, all’interno di un quadrato, un quarto di una circonferenza il cui raggio misura $10$ cm e due semicirconferenze che hanno entrambe il raggio di $5$ cm. Quale delle seguenti affermazioni è vera?

1. L’area della parte A è maggiore dell’area della parte B.
2. L’area della parte A è minore dell’area della parte B.
3. Le aree di A e B sono uguali.
4. Le informazioni date non ci permettono di dare una risposta (al confronto tra le aree di A e B).

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: L’affermazione vera è la 3 Fonte: apri PDF

Which statement about the artist is true

Liliana drew an exotic fish by drawing, within a square, a quarter of a circumference whose radius is $10$ cm and two semicirculars which both have a radius of $5$ cm. Which of the following statements is true? 1) The area of Part A is larger than the area of Part B. 2) The area of Part A is less than the area of Part B. 3) Areas A and B are equal. 4) The information given does not allow us to give an answer (comparison between areas A and B).

Answer: L’affermazione vera è la 3 src_bocconi_autunno_2014__Q09

Lettere cifrate: CINQUE corrisponde al valore più grande

Sostituite al posto delle lettere delle cifre in modo che l’operazione: $\frac{\text{CINQUE}+}{\text{UE}=}$ $2015$ sia corretta e che alla parola CINQUE corrisponda il valore numerico più grande possibile. (Nessun numero può cominciare con $0$ e, al posto di lettere diverse, vanno inserite cifre diverse.)

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Backward Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: CINQUE $=198530$ Fonte: apri PDF

Crypted letters: FIVE corresponds to the largest value

Replace the letters of the digits so that the operation: $\frac{\text{CINQUE}+}{\text{UE}=}$ $2015$ is correct and the word CINQUE corresponds to the largest possible numerical value. (No number can begin with $0$ and, instead of different letters, different digits must be inserted.)

Answer: CINQUE $=198530$ src_bocconi_autunno_2014__Q10

Il multiplo dell’anno prossimo: sequenza di cinque gettoni

Mettete $5$ cinque gettoni in un ordine tale per cui compaia un numero di cinque cifre che sia multiplo di $2015$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 44330 Fonte: apri PDF

Next year’s multiplier: sequence of five tokens

Put $5$ five tokens in such an order that a five-digit number is multiplied by $2015$.

Answer: 44330 src_bocconi_autunno_2014__Q11

Quanti piani ha la piramide tennistica di 385 palline

Per decorare la vetrina del suo negozio di articoli sportivi, Nando ha costruito la piramide che vedete e che è formata da $385$ palline da tennis. Ciascun livello della costruzione è un quadrato. Il livello più alto è formato da $1$ sola pallina. Quello sottostante da $4$ palline, quello ancora sottostante da $9$ ecc. Quanti piani ha la piramide?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Ricorsione, Conteggio Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 10 Fonte: apri PDF

How many floors does the 385-ball tennis pyramid have?

To decorate the window of his sportswear store, Nando built the pyramid you see, which is made of tennis balls. Each level of the building is a square. The highest level consists of $1$ single ball. The one below from $4$ balls, the one still below from $9$ etc. How many floors does the pyramid have?

Answer: 10 src_bocconi_autunno_2014__Q12

Area della stella inscritta in quadrato da 3045 cm²

Il quadrato grande ha un’area di $3045{\text{ cm}}^2$. Guardate al suo interno la stella (più scura): è stata costruita congiungendo i vertici del quadrato grande con i centri dei quadrati più piccoli. Qual è l’area della stella?

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $2030{\text{ cm}}^2$ Fonte: apri PDF

Area of the star inscribed in the square of 3045 cm2

The large square has an area of $3045{\text{ cm}}^2$. Look inside the star (darker): it was built by combining the vertices of the large square with the centers of the smaller squares. What’s the area of the star?

Answer: $2030{\text{ cm}}^2$ src_bocconi_autunno_2014__Q13

Quanti interi da 1 a 100000 senza cifra 5 né cifra 7

Quanti sono i numeri interi, compresi tra $1$ e $100.000$ (inclusi), che si scrivono senza utilizzare né la cifra $5$ né la cifra $7$?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 32768 Fonte: apri PDF

*Integral numbers from 1 to 100000 without digit 5 or digit 7 *

How many integers, including $1$ and $100.000$ (included), are written without using either the $5$ digit or the $7$ digit?

Answer: 32768 src_bocconi_autunno_2014__Q14

Quarto termine della progressione geometrica di Jacopo

I primi tre termini della progressione geometrica scritta da Jacopo sono: $a$, $a+6$, $a+30$. Quale sarà il quarto termine della progressione di Jacopo? (Ricordiamo che i termini $a_1,a_2,\dots ,a_n$ costituiscono una progressione geometrica quando è sempre uguale (costante) il rapporto tra ogni termine e il precedente.)

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: $a_4=128$, con $a=126$ Fonte: apri PDF

Quarter of the geometric progression of Jacopo

The first three terms of the geometric progression written by Jacopo are: $a$, $a+6$, $a+30$. What will be the fourth term of Jacob’s progression? (Remember that the terms $a_1,a_2,\dots ,a_n$ constitute a geometric progression when the ratio between each term and the previous one is always equal (constant).

Answer: $a_4=128$, con $a=126$ src_bocconi_autunno_2014__Q15

Coppie di soluzioni intere non negative dell’equazione con radici

Nell’equazione $\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{2}+\sqrt{2}$, le incognite $a$ e $b$ sono numeri interi non negativi. Quante coppie di soluzioni ha l’equazione?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 9 coppie Fonte: apri PDF

Pairs of non-negative integer solutions of the equation with roots

In the $\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{2}+\sqrt{2}$ equation, the unknowns $a$ and $b$ are nonnegative integers. How many pairs of solutions does the equation have?

Answer: 9 coppie src_bocconi_autunno_2014__Q16

Più piccolo multiplo non nullo di 2015 con cifre decrescenti

Qual è il più piccolo multiplo non nullo di $2015$, le cui cifre sono scritte in ordine decrescente (non necessariamente in senso stretto) da sinistra a destra?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 44330 Fonte: apri PDF

Lesser non-zero multiple of 2015 with decreasing figures

What is the smallest non-zero multiple of $2015$, whose digits are written in descending order (not necessarily in the strict sense) from left to right?

Answer: 44330 src_bocconi_autunno_2014__Q17

Quante dita deve mostrare Carla per vincere sicuramente

A turno, Carla e Milena mostrano alcune dita di una mano (una o due o tre o quattro o cinque dita). Il numero delle dita indicate si va ad aggiungere al totale precedente ma la nuova somma così ottenuta deve essere un numero primo. Per esempio, se Carla ha indicato due dita, Milena può rispondere con un dito o tre dita oppure anche con cinque dita perché $2+1=3$, $2+3=5$ e $2+5=7$ sono numeri primi. La prima (tra Carla e Milena) che, con il numero delle sue dita sommato al totale precedente, non riesce a ottenere un numero primo perde. È Milena che comincia il gioco (in questo momento il totale è $0$). Quante dita deve mostrare per essere sicura di vincere, se gioca al meglio, qualunque siano le risposte successive di Carla?

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Casework, Backward, Invarianti Abilita: Ragionamento geometrico, Casework accurato, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 5 Fonte: apri PDF

How many fingers does Carla have to show to win for sure?

In turn, Carla and Milena show some fingers of one hand (one or two or three or four or five fingers). The number of fingers indicated shall be added to the previous total but the new sum thus obtained shall be a prime number. For example, if Carla has pointed two fingers, Milena can answer with one finger or three fingers or even five fingers because $2+1=3$, $2+3=5$ and $2+5=7$ are prime numbers. The first (between Carla and Milena) who, with the number of her fingers added to the previous total, fails to get a first number loses. It is Milena who starts the game (at this time the total is $0$). How many fingers does she have to show to be sure of winning, if she plays her best, whatever Carla’s next answers are?

Answer: 5 src_bocconi_autunno_2014__Q18