Giochi d'Autunno 2015

Quattro frecce: trovare i quattro punteggi

Jacopo ha ottenuto 35 punti lanciando 4 frecce. Indicate i quattro punteggi ottenuti.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 5, 9, 9, 12 (l’ordine non interessa) Fonte: apri PDF

Four arrows: Find the four scores

Jacopo scored 35 points by throwing four arrows. Indicate the four scores obtained.

Answer: 5, 9, 9, 12 (l’ordine non interessa) src_bocconi_autunno_2015__Q01

Somma punti su facce opposte di due dadi

Ciascuno dei dadi della figura ha sulle facce dei punti che vanno da 1 a 6; la somma dei punti su due facce opposte è sempre uguale a 7. Qual è la somma dei punti sulle facce dei due cubi non visibili in figura?

Topic: Teoria dei Numeri, Logica Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 26 Fonte: apri PDF

sum of points on opposite sides of two dice

Each of the dice in the figure has points on the faces from 1 to 6; the sum of the points on two opposite faces is always equal to 7. What is the sum of the dots on the faces of the two unseen cubes in the figure?

Answer: 26 src_bocconi_autunno_2015__Q02

Percorsi per leggere MATHS nella figura

In ogni modo, matematica! Quanti sono i percorsi diversi che si possono seguire per leggere la parola “MATHS” nella figura? (Contare anche il percorso già tracciato)

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 6 Fonte: apri PDF

*Tracks to read MATHS in Figure *

Anyways, math! How many different paths can you take to read the word “MATHS” in the figure? (Count also the route already traced)

Answer: 6 src_bocconi_autunno_2015__Q03

Primi due anni divisibili per 16

2010 è divisibile per 10 (il numero formato dalle sue ultime due cifre); allo stesso modo 2016 è divisibile per 16. Trovate i primi due anni, successivi al 2016, il cui numero è divisibile per quello formato dalle ultime due cifre.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 2020, 2025 (entrambe le soluzioni, l’ordine non interessa) Fonte: apri PDF

First two years divided by 16

2010 is divisible by 10 (the number formed by its last two digits); similarly 2016 is divisible by 16. Find the first two years, after 2016, whose number is divisible by the last two digits.

Answer: 2020, 2025 (entrambe le soluzioni, l’ordine non interessa) src_bocconi_autunno_2015__Q04

Cifre della seconda riga della griglia quadrata

Il mistero della griglia quadrata. Le sei caselle bianche vanno completate con delle cifre diverse fra loro, in modo che la somma indicata risulti giusta e che in ogni colonna, dall’alto verso il basso, le cifre della griglia siano scritte dalla più piccola alla più grande. Scrivete in particolare le cifre della seconda riga.

Topic: Logica, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Backward Abilita: Casework accurato, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 6, 8, 2 Fonte: apri PDF

Number of the second row of the square grid

The mystery of the square grid. The six white boxes must be completed with different digits, so that the sum indicated is correct and that in each column, from top to bottom, the grid numbers are written from smallest to largest. In particular, write the numbers in the second line.

Answer: 6, 8, 2 src_bocconi_autunno_2015__Q05

Numero imbarcazione vincitrice della regata

Una regata molto combattuta. Alla regata di Castiglio­ne della Pe­sca hanno partecipato le sei imbarcazioni che vedete in figura, ognuna con un numero scritto sulla vela. La somma dei numeri delle imbarcazioni classificatesi ai primi tre posti è uguale a 33 e il numero della barca arrivata terza è il doppio di quella che si è classificata al secondo posto. Qual è il numero dell’imbarcazione che ha vinto la regata?

Topic: Teoria dei Numeri, Logica Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 6 Fonte: apri PDF

Number of winning boat of the race

It’s a very hard-fought race. The six boats you see in the figure have taken part in the Castiglione della Pesca regatta, each with a number written on the sail. The sum of the number of boats in the first three places is 33 and the number of boats in third place is twice that of the second place. What’s the number of the boat that won the race?

Answer: 6 src_bocconi_autunno_2015__Q06

Area della parte più scura del triangolo isoscele

Chiavi e scuri. Quello che vedete in figura è un triangolo rettangolo isoscele la cui area misura 2016 ${\text{cm}}^2$. Abbiamo diviso ogni suo lato in quattro parti uguali, così da poter tracciare poi i segmenti che vedete internamente al triangolo. Qual è l’area della parte più scura della figura?

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $252$ ${\text{cm}}^2$ Fonte: apri PDF

Area of the darkest part of the isosceles triangle

Keys and dark. What you see in the figure is an isosceles rectangle with an area of 2016 ${\text{cm}}^2$. We divided each side of the triangle into four equal parts, so we could then map the segments you see inside the triangle. What’s the area of the darkest part of the figure?

Answer: $252$ ${\text{cm}}^2$ src_bocconi_autunno_2015__Q07

Minimo numero di mosse scacchiera particolare

Una scacchiera un po’ particolare. Alle pedine che vedete in figura sono permesse solo due mosse: lo spostamento di una pedina su una casella adiacente (per un lato), a condizione che quest’ultima sia libera; il salto di una pedina situata in una casella adiacente (per un lato), qualunque sia il suo colore, a condizione che la casella situata immediatamente al di là della pedina saltata sia libera. In quante mosse, al minimo, si possono scambiare le pedine bianche con quelle nere?

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Backward, Invarianti, Casework Abilita: Casework accurato, Ragionamento geometrico, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 15 Fonte: apri PDF

Minimum number of particular chess moves

A little bit of a chessboard. Only two movements are permitted for the pedals you see in the figure: moving a pedal over an adjacent box (on one side), provided that the latter is free; jumping a pedal located in an adjacent box (on one side), whatever its colour, provided that the box immediately beyond the leaped pedal is free. In how many moves, at least, can you swap the white and the black pads?

Answer: 15 src_bocconi_autunno_2015__Q08

Secondo risultato di Desiderio

I numeri di Desiderio. A Desiderio piace giocare con i numeri interi positivi. In particolare si diverte a scegliere un numero $a$, cui aggiunge dapprima il suo doppio e poi il suo sestuplo (6 volte il numero di partenza) ottenendo così un primo risultato. A questo punto, sempre Desiderio considera la somma del cubo del numero scelto più all’inizio con il cubo del suo doppio. Ottiene così un secondo risultato che, sorpresa!, è uguale a 1000 volte il primo risultato. Qual è il secondo risultato di Desiderio?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1800 Fonte: apri PDF

According to Desiderio

Desiderio’s numbers. Desiderio likes to play with positive integers. In particular, he enjoys choosing a number $a$, to which he first adds his double and then his six-fold (6 times the starting number) thus obtaining a first result. At this point, always Desiderio considers the sum of the cube of the number chosen more at the beginning with the cube of its double. It thus obtains a second result which, surprisingly, is equal to 1000 times the first result. What is Desiderio’s second outcome?

Answer: 1800 src_bocconi_autunno_2015__Q09

Massimo numero palindromo multiplo di 3, 7 e 13

…e quest’altro di Nando. Nando ha trovato un numero di cinque cifre che è multiplo di 3, 7 e 13. Per scriverlo, utilizza solo due cifre: lo 0 e un’altra cifra. Il numero di Nando è palindromo (si legge allo stesso modo da sinistra a destra e da destra a sinistra). Qual è, al massimo, questo numero?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 99099 Fonte: apri PDF

Maximum number of palindromes multiples of 3, 7 and 13

…and this one from Nando. Nando found a five-digit number that’s multiples of 3, 7, and 13. To write it, use only two digits: the 0 and another digit. Nando’s number is palindrome (it reads the same way from left to right and from right to left). What’s the maximum number?

Answer: 99099 src_bocconi_autunno_2015__Q10

Somma minima di numeri allineati nella stella

Una stella. Nella stella della figura ci sono quattordici cerchi. Sei di loro sono già occupati da alcuni numeri. Riempite gli altri con numeri interi compresi tra 7 e 20, diversi tra loro (e in modo che non compaiano tra 7 e 20, diversi tra loro) in modo che la somma dei quattro numeri allineati sia sempre la stessa. Qual è il minore valore possibile per la somma di questi quattro numeri?

Topic: Teoria dei Numeri, Logica Metodo: Casework, Simmetria Abilita: Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 30 Fonte: apri PDF

Minimum sum of numbers aligned in the star

It’s a star. There are fourteen circles in the star of the figure. Six of them are already occupied by some numbers. Fill the others with integers between 7 and 20, different from each other (and so that they do not appear between 7 and 20, different from each other) so that the sum of the four aligned numbers is always the same. What’s the smallest possible value for the sum of these four numbers?

Answer: 30 src_bocconi_autunno_2015__Q11

Occhio all’11: massimo prodotto con due cifre

Occhio all’11! $10\times 11=1\times 1$. Poi, con due cifre $a$ e $b$, troviamo che anche $\overline{ab}$ e $\overline{ba}$ (dove $\overline{ab}$ è il numero il cui valore è $10a+b$, e $\overline{ba}$ è il numero che leggete allo stesso modo) devono soddisfare $\overline{ab}\times \overline{ba}=a\cdot b\cdot \overline{ab}\cdot \overline{ba}$ leggendo $\overline{bb}$ allo stesso modo. Trovate il valore massimo del prodotto dei due membri della precedente uguaglianza.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: 1024 Fonte: apri PDF

*Eye to 11: maximum output with two digits *

Watch out for the 11! $10\times 11=1\times 1$. Then, with two digits $a$ and $b$, we find that also $\overline{ab}$ and $\overline{ba}$ (where $\overline{ab}$ is the number whose value is $10a+b$, and $\overline{ba}$ is the number you read the same way) must satisfy $\overline{ab}\times \overline{ba}=a\cdot b\cdot \overline{ab}\cdot \overline{ba}$ by reading $\overline{bb}$ the same way. Find the maximum product value of the two members of the previous equation.

Answer: 1024 src_bocconi_autunno_2015__Q12

Piccolo numero intero maggiore di 1 quadrato e quinta potenza

Contemporaneamente. Qual è il più piccolo numero intero maggiore di 1 che sia contemporaneamente un quadrato e anche una potenza quinta di qualche numero naturale?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1024 Fonte: apri PDF

Little integer greater than 1 square and fifth power

At the same time. What is the smallest integer greater than 1 that is simultaneously a square and also a fifth power of some natural number?

Answer: 1024 src_bocconi_autunno_2015__Q13

Area della corona circolare tra cerchio e quadrato

La corona circolare. Chiara ha inscritto un cerchio in un quadrato (ogni lato tra loro) in un cerchio che, in figura, vedete bianco. Poi ha inscritto quel cerchio bianco in un quadrato che, a sua volta, è stato inscritto in un cerchio scuro. Il cerchio bianco ha un’area di $2016$ ${\text{cm}}^2$. Qual è l’area della corona circolare?

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $2016$ ${\text{cm}}^2$ Fonte: apri PDF

Area of the circular crown between circle and square

The crown is circular. Clear wrote a circle in a square (each side of each other) in a circle that, in the figure, you see white. Then he inscribed that white circle in a square which, in turn, was inscribed in a dark circle. The white circle has an area of $2016$ ${\text{cm}}^2$. What is the area of the circular crown?

Answer: $2016$ ${\text{cm}}^2$ src_bocconi_autunno_2015__Q14

Vertice opposto del cubo con somma minima

Un cubo magico. Nei vertici “liberi” del cubo vanno scritti dei numeri primi diversi tra loro, in modo che la somma dei numeri posti nei vertici di una stessa faccia sia sempre uguale e la più piccola possibile. Quale numero si deve scrivere nel vertice opposto a quello dove figura il numero 1?

Topic: Teoria dei Numeri, Logica Metodo: Casework, Simmetria Abilita: Casework accurato, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 3 Fonte: apri PDF

Overse vertices of the cube with minimum sum

It’s a magic cube. In the vertices of the cube “books” must be written prime numbers different from each other, so that the sum of the numbers placed in the vertices of the same face is always the same and the smallest possible. What number should be written on the top opposite to the one where number 1 appears?

Answer: 3 src_bocconi_autunno_2015__Q15

Area del rettangolo formato da vertici di quadrati

Il rettangolo. Nel quadrato della figura si sono giunti due vertici con con due lati dei dati. Poi, tracciando le perpendicolari, si è costruito il rettangolo scuro. Quanto vale la sua area, sapendo che quella del quadrato vale $1000$ ${\text{cm}}^2$?

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $400$ ${\text{cm}}^2$ Fonte: apri PDF

Area of the rectangle formed by square vertices

The rectangle. In the square of the figure two vertices with two sides of the data have been reached. Then, by tracing the perpendiculars, we built the dark rectangle. How much is its area worth, knowing that that of the square is worth $1000$ ${\text{cm}}^2$?

Answer: $400$ ${\text{cm}}^2$ src_bocconi_autunno_2015__Q16

Punto di convergenza del percorso della formica

Una formica melodica. Una formica si muove in un piano quadrettato seguendo sempre lo stesso schema: parte dall’origine $(0,0)$, avanza di un’unità verso destra, di $\frac{1}{8}$ verso sinistra, di $\frac{1}{8}$ verso il basso e di $\frac{1}{16}$ di nuovo verso destra. Continua così, ruotando di $90^{\circ }$ in senso antiorario dopo ogni spostamento e percorrendo ogni volta una distanza che è la metà di quella del tratto precedente. Qual è il punto a cui converge il suo percorso?

Topic: Geometria analitica, Algebra Metodo: Telescoping, Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Geometria, Algebra e Analisi Risposta: $\left(\frac{4}{5},\frac{2}{5}\right)$ Fonte: apri PDF

Convergence point of the path of the ant

A melodic ant. An ant moves in a square plane always following the same pattern: it starts from the source $(0,0)$, advances a unit to the right, $\frac{1}{8}$ to the left, $\frac{1}{8}$ to the bottom and $\frac{1}{16}$ back to the right. It continues as follows, rotating $90^{\circ }$ clockwise after each shift and running each time a distance that is half that of the previous stretch. What’s the point of convergence of its path?

Answer: $\left(\frac{4}{5},\frac{2}{5}\right)$ src_bocconi_autunno_2015__Q17

Quanti addendi ha sommato Carla nella serie alternata

I calcoli alternati di Carla. Sommando in modo alternato i quadrati degli interi secondo la serie $-1^2+2^2-3^2+4^2-\cdots$, Carla ottiene un numero di quattro cifre, della forma $\overline{qqqq}$ (quattro cifre uguali). Quanti addendi ha sommato Carla?

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Telescoping, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: 66 (il numero è 2211) Fonte: apri PDF

How many additions has Carla added to the alternate series?

It’s Carla’s alternate math. By alternately adding the squares of the integers according to the $-1^2+2^2-3^2+4^2-\cdots$ series, Carla obtains a four-digit number, of the form $\overline{qqqq}$ (four equal digits). How many more did Carla add?

Answer: 66 (il numero è 2211) src_bocconi_autunno_2015__Q18