Conteggio di carte rosse nel pacchetto di destra di un mazzo diviso in due.
Julien ha diviso il suo mazzo di carte in due pacchetti disuguali di carte (a sinistra) e di carte (a destra). Il pacchetto di sinistra contiene carte nere. Quante carte rosse contiene il pacchetto di destra? Nota: si ricorda che un mazzo di carte contiene tante carte rosse quante carte nere.
Topic: Teoria dei Numeri, Logica Metodo: Conteggio Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 10 carte rosse Fonte: apri PDF
Counting of red cards in the right packet of a deck divided into two.
Julien divided his deck of cards into two unequal packs of cards (left) and cards (right). The left packet contains black cards. How many red cards does the right pack contain? Note: a deck of cards contains as many red cards as black cards.
Answer: 10 carte rosse src_bocconi_finaleint_2008_g1__Q01
Sul pianeta Sram, individuare il tipo di abitante con due domande.
Sul pianeta Sram ci sono tre tipi di abitanti: i Veridici, che dicono sempre la verità; i Bugiardi, che mentono sempre; e gli Alternativi, che alternativamente dicono la verità, mentono, dicono la verità, mentono, … Incontri un abitante del pianeta Sram e gli poni successivamente due domande: «Sei tu … ?». «Siete voi … ?». Le risposte alle due domande permettono di sapere a quale tipo di abitante hai a che fare. Qual è la parola mancante in ciascuna delle due domande?
Topic: Logica Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Casework accurato, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: Alternativo, Alternativo Fonte: apri PDF
On the planet Sram, identify the type of inhabitant with two questions.
On the planet Sram there are three types of people: the truthful, who always tell the truth; the liars, who always lie; and the alternatives, who alternately tell the truth, lie, tell the truth, lie, … You meet a man from the planet Sram and ask him two questions: ?». It’s you. ?». The answers to these two questions help you to know what kind of inhabitants you are dealing with. What word is missing in each of the two questions?
Answer: Alternativo, Alternativo src_bocconi_finaleint_2008_g1__Q02
Massimo numero di cubetti visibili da un solo punto di vista in un cubo 3x3x3.
Un cubo di cm di lato è stato fabbricato incollando insieme cubetti di cm di lato. Qual è il più grande numero di cubetti visibili da un solo punto di vista?
Topic: Geometria solida, Combinatoria Metodo: Conteggio Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 19 cubetti Fonte: apri PDF
Maximum number of cubes visible from a single point of view in a 3x3x3 cube
A cube of cm on the side was manufactured by gluing together cubes of cm on the side. What is the largest number of cubes visible from a single point of view?
Answer: 19 cubetti src_bocconi_finaleint_2008_g1__Q03
Numero di autobus da aggiungere su un percorso circolare per ridurre l’intervallo.
Quattro autobus percorrono un tragitto circolare. L’intervallo tra di essi è di minuti. Se si vuole ridurre questo intervallo a minuti, quanti autobus bisogna aggiungere sul percorso?
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 2 bus Fonte: apri PDF
Number of buses to be added on a circular route to reduce the interval.
Four buses run a circular route. The interval between them is minutes. If you want to reduce this interval to minutes, how many buses do you need to add on the route?
Answer: 2 bus src_bocconi_finaleint_2008_g1__Q04
Display a sette segmenti: minimo numero di segmenti da spegnere per rendere vera un’uguaglianza.
In un display digitale, ogni cifra è rappresentata da due a sette segmenti luminosi (vedi il disegno qui a fianco). Quanti segmenti luminosi bisogna spegnere, al minimo, per rendere vera l’uguaglianza rappresentata a destra ?
Topic: Logica, Combinatoria Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2 segmenti Fonte: apri PDF
Seven-segment display: minimum number of segments to be switched off to make an equality true.
In a digital display, each digit is represented by two to seven bright segments (see drawing here). How many light segments must be switched off, at a minimum, to make the equation on the right true?
Answer: 2 segmenti src_bocconi_finaleint_2008_g1__Q05
Famiglia numerosa: relazioni tra fratelli e sorelle.
Guillaume ha due volte più fratelli che sorelle. Sua sorella Florence ha tre volte più fratelli che sorelle. Da quanti figli è composta questa famiglia?
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 13 figli Fonte: apri PDF
Large family: relations between brothers and sisters.
William has twice as many brothers as he has sisters. Her sister Florence has three times as many brothers as sisters. How many children is this family made up of?
Answer: 13 figli src_bocconi_finaleint_2008_g1__Q06
Numero di triangolini sulla superficie di un solido formato da due piramidi intrecciate.
Julie ha fabbricato questo solido con l’aiuto di due piramidi a base triangolare intrecciate. Da quanti triangolini è composta la sua superficie?
Topic: Geometria solida Metodo: Conteggio Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Geometria Risposta: 24 triangolini Fonte: apri PDF
Number of triangles on the surface of a solid formed by two intertwined pyramids.
Julie made this solid with the help of two interwoven triangular-based pyramids. How many triangles is its surface composed of?
Answer: 24 triangolini src_bocconi_finaleint_2008_g1__Q07
Parita: la somma delle carte estratte deve garantire somma dispari per le altre.
Un’urna contiene nove carte. Ciascuno dei numeri da a è scritto su una carta (un numero per carta). Quentin prende a caso quattro carte nell’urna. Poi Tiphaine ne prende tre e ne resta dunque una nell’urna. Quentin guarda le sue carte e, sicuro di sé, dice a Tiphaine: «Sono sicuro che la somma dei numeri scritti sulle tue carte sia un numero dispari». Qual è la somma dei numeri scritti sulle carte prese da Quentin?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze Abilita: Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 20 Fonte: apri PDF
Parity: the sum of the extracted cards must provide a odd sum for the other cards.
An urn contains nine cards. Each of the numbers from to is written on a piece of paper (one number per piece of paper). Quentin randomly picks up four cards in the oven. Then Typhaine takes three, leaving one in the oven. Quentin looks at his cards and, confidently, says to Tiphaine: “I’m sure the sum of the numbers written on your cards is a odd number”. What’s the sum of the numbers written on the cards Quentin took?
Answer: 20 src_bocconi_finaleint_2008_g1__Q08
Sei punti su una retta non in ordine: distanza tra i due punti piu lontani.
Sei punti , , , , ed sono segnati su una retta, non necessariamente in quest’ordine. Si sa che cm, cm, cm, cm, cm e cm. Qual è, in cm, la distanza tra i due punti più lontani?
Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Casework Abilita: Casework accurato, Ragionamento geometrico Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2 soluzioni: 17 cm; 15 cm Fonte: apri PDF
Six points on a straight line not in order: distance between the two most distant points.
Six points , , , , and are marked on a straight line, not necessarily in this order. It is known that cm, cm, cm, cm, cm and cm. What is the distance in cm between the two most distant points?
Answer: 2 soluzioni: 17 cm; 15 cm src_bocconi_finaleint_2008_g1__Q09
Massimo numero di regioni chiuse tracciando un pentagono e un esagono regolari non incrociati.
Tracciando un triangolo equilatero e un quadrato, si crea al massimo regioni chiuse nel piano. Mathias disegna un pentagono regolare non incrociato (figura a lati) e un esagono regolare (figura a lati). Quante regioni chiuse del piano otterrà, al massimo?
Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Estremalità, Conteggio Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 11 regioni chiuse Fonte: apri PDF
Maximum number of regions closed by tracing a regular pentagon and hexagon not crossed.
By drawing an equilateral triangle and a square, a maximum of closed regions in the plane are created. Mathias draws an uncrossed regular pentagon (figure at sides) and a regular hexagon (figure at sides). How many closed regions of the plan will you get, at most?
Answer: 11 regioni chiuse src_bocconi_finaleint_2008_g1__Q10
Pentagono magico: riempire con interi positivi distinti con somme uguali su ogni segmento.
Completate questo pentagono con l’aiuto di numeri interi strettamente positivi in modo tale che: i numeri siano tutti differenti; la somma di tre numeri posti su uno stesso segmento sia sempre la stessa; il numero più grande sia il più piccolo possibile.
Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 1 soluzione Fonte: apri PDF
Magic pentagon: fill with distinct positive integers with equal sums on each segment.
Complete this pentagon with the help of strictly positive integers so that: the numbers are all different; the sum of three numbers placed on the same segment is always the same; the largest number is the smallest possible.
Answer: 1 soluzione src_bocconi_finaleint_2008_g1__Q11
Battaglia navale: posizionare navi su una griglia 6x5 deducendo da foto ruotate.
La figura rappresenta una carta del porto militare di Maths-Pays e tre delle sue foto aeree prese nello stesso momento. Le caselle occupate da due navi differenti non possono toccarsi, nemmeno in diagonale. Le navi sono tutte di larghezza . C’è una portaerei di lunghezza , due controtorpediniere di lunghezza e tre scorte di lunghezza . Completate la carta, sapendo che non c’è alcuna foto la cui orientazione sia corretta (ciascuna ha subito una rotazione).
Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Casework accurato, Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 1 soluzione Fonte: apri PDF
Naval Battle: positioning ships on a 6x5 grid by deducing from rotated photos.
The figure represents a map of the military port of Maths-Pays and three of its aerial photographs taken at the same time. Boxes occupied by two different ships cannot touch each other, not even diagonally. All ships are wide. There is one aircraft carrier of length , two anti-shippers of length and three stockpiles of length . Complete the paper, knowing that there are no photos that have the correct orientation (each rotated).
Answer: 1 soluzione src_bocconi_finaleint_2008_g1__Q12
Cammelliere: massima quantita d’acqua consegnata a un campo nel deserto con due cammelli.
Un cammelliere si trova all’ingresso del deserto e deve rifornire d’acqua un campo che si trova a km da lì. Dispone di una riserva di L d’acqua e di due cammelli che si spostano a km/h. Quando si sposta, un cammello può portare fino a L d’acqua e consuma L d’acqua all’ora mentre, da fermo, ne consuma solo L all’ora. Il cammelliere, quanto a lui, consuma L d’acqua all’ora camminando e L d’acqua all’ora da fermo. Un cammello che non è condotto dal suo cammelliere non sa più orientarsi nel deserto. Il cammelliere può legare un cammello a un picchetto e lasciarlo solo. Quanta acqua il cammelliere può consegnare al massimo al campo, sapendo che deve riuscire a uscire dal deserto (allo stesso punto dell’ingresso) con i suoi due cammelli?
Topic: Teoria dei Numeri, Logica Metodo: Estremalità, Casework, Backward Abilita: Modellizzazione, Stima, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 30 litri Fonte: apri PDF
Camel: maximum quantity of water delivered to a camp in the desert with two camels.
A camel shed is located at the entrance of the desert and must supply water to a field located km from there. It has a water reserve of L and two camels moving at km/h. When moving, a camel can carry up to L of water and consume L of water per hour while, when standing, it consumes only L per hour. The camel rider, for his part, consumes L of water per hour walking and L of water per hour standing. A camel that is not led by its camel keeper can no longer navigate the desert. The camel keeper can tie a camel to a picket and leave it alone. How much water can the camelman deliver to the camp, knowing that he must be able to get out of the wilderness (at the same point of entry) with his two camels?
Answer: 30 litri src_bocconi_finaleint_2008_g1__Q13
Riempire una griglia 5x5 con cifre 1-5 (quadrato latino) coerente con i ranghi indicati ai bordi.
Ogni casella contiene una cifra e una sola. Ogni riga e ogni colonna contiene tutte le cifre da a . I numeri di cinque cifre ottenuti leggendo le righe da sinistra a destra e le colonne dall’alto verso il basso sono tutti differenti. I loro ranghi sono indicati nell’ordine crescente all’esterno della griglia. Riempite la griglia.
Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Casework Abilita: Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2 soluzioni Fonte: apri PDF
Fill a 5x5 grid with digits 1-5 (Latin square) consistent with the rows shown at the edges.
Each box contains a number and a single number. Each row and column contains all the digits from to . The five-digit numbers obtained by reading the rows from left to right and the columns from top to bottom are all different. Their ranks are given in increasing order outside the grid. Fill the grid.
Answer: 2 soluzioni src_bocconi_finaleint_2008_g1__Q14
Pettorali: quante persone possono aver indovinato il proprio numero in una fila con deduzione a catena.
Aline possiede pettorali: due numerati e gli altri numerati da a . persone sono in una sala e Aline mette a ciascuna uno dei pettorali senza che essa possa vederlo. L’ultimo pettorale è nascosto. Ogni persona conosce il numero del pettorale di tutte le altre. Queste persone si mettono allora in fila in maniera aleatoria in un ordine sconosciuto a tutte. La prima della fila dice all’orecchio della seconda (in maniera tale che nessun altro intenda) se ella ha indovinato o no il proprio numero (ella ne dirà uno qualunque). Allo stesso modo, la seconda persona dice all’orecchio della terza se ella ha indovinato o no il proprio numero e così di seguito fino alla fine… (queste persone ragionano tutte perfettamente). Per un’indiscrezione, ho appreso che la quinta persona della fila aveva indovinato il proprio numero. Quante persone hanno potuto indovinare il proprio numero?
Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Casework, Induzione Abilita: Astrazione, Casework accurato, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 6 soluzioni: 1; 2005; 2006; 2007; 2008; 2009 Fonte: apri PDF
Phetorals: how many people can have guessed their number in a row by chain deduction.
Aline has breasts: two numbered and the others numbered to . people are in a room and Aline puts one of her breasts on each one without her seeing it. The last chest is hidden. Each person knows the number of breasts of all the others. These people then line up randomly in an order unknown to all. The first of the line tells the second (in such a way that no one else understands) whether or not she has guessed her number (she will tell anyone). Similarly, the second person tells the third person’s ear whether or not she guessed her number and so on until the end… (These people all reason perfectly). For the record, I learned that the fifth person in the line had guessed his number. How many people could guess their number?
Answer: 6 soluzioni: 1; 2005; 2006; 2007; 2008; 2009 src_bocconi_finaleint_2008_g1__Q15
Colorazioni distinte (a meno di rotazioni) dei triangolini delle facce di un tetraedro.
Chloé possiede dei tetraedri regolari di carta (piramidi a base triangolare le cui facce sono tutte triangoli equilateri). Ogni faccia di questi tetraedri è divisa in quattro triangolini equilateri e Chloé colora ciascuno dei triangolini dei suoi tetraedri in arancione, in verde, in blu o in giallo. Chloé trova una colorazione bella se per ogni triangolino, lui stesso e i suoi tre vicini utilizzano esattamente una volta ciascuno dei quattro colori (un triangolo può avere un vicino su un’unica faccia). Quante colorazioni belle differenti potrà ottenere, al massimo? (Due colorazioni sono differenti se non si può passare dall’una all’altra facendo ruotare il tetraedro nello spazio.)
Topic: Combinatoria, Geometria solida Metodo: Casework, Colorazione, Simmetria, Conteggio Abilita: Casework accurato, Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 20 colorazioni Fonte: apri PDF
Distinct colours (excluding rotations) of the triangles of the faces of a tetrahedron.
Chloé has regular paper tetrahedra (triangular-based pyramids whose faces are all equilateral triangles). Each face of these tetrahedra is divided into four equilateral triangles, and Chloé colors each triangle of his tetrahedra in orange, green, blue, or yellow. Chloé finds a beautiful coloration if for each triangle, he and his three neighbors use exactly once each of the four colors (a triangle can have a neighbor on one face). How many different beautiful colors can you get, at most? (Two colors are different if you can’t switch from one to the other by spinning the tetrahedron in space.)
Answer: 20 colorazioni src_bocconi_finaleint_2008_g1__Q16
Completare una griglia 5x5 con 1,2,3 con vincoli di ordine per riga, colonna e somme diagonali nei rettangoli.
Ogni casella della griglia contiene la cifra , o . Nella riga in basso, le cifre sono in ordine crescente in senso largo (due cifre vicine possono essere uguali) da sinistra a destra. Nella colonna di sinistra, le cifre sono in ordine crescente in senso largo dal basso verso l’alto. Completate la griglia in modo che, in ogni «rettangolo» o «quadrato» di quattro caselle all’intersezione di due righe e di due colonne, le due somme di due cifre in diagonale siano differenti. Così, sulla figura, la somma di e di deve essere differente da .
Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Casework Abilita: Casework accurato, Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 1 soluzione Fonte: apri PDF
Complete a 5x5 grid with 1,2,3 with line, column and diagonal sum constraints in the rectangles.
Each grid box contains the figure , or . In the lower row, the figures are in increasing order in the broad sense (two nearby figures can be equal) from left to right. In the left column, the figures are in increasing order in a broad sense from bottom to top. Complete the grid so that, in any rectangle or quadrat of four boxes at the intersection of two rows and two columns, the two sums of two digits in diagonal are different. Thus, on the figure, the sum of and must be different from .
Answer: 1 soluzione src_bocconi_finaleint_2008_g1__Q17
Lingotti: massima quantita d’oro NON ottenibile esattamente con combinazioni di quattro tipi di mattoni.
Picsou possiede quattro tipi di lingotti d’oro, ciascuno disponibile in quantità infinita. Sono dei mattoni rettangolari , , e , della stessa densità, le cui dimensioni in centimetri sono rispettivamente: , e per ; , e per ; , e per ; , e per . Con quattro lingotti , un lingotto , quattro lingotti e due lingotti , Picsou ottiene esattamente una quantità d’oro uguale a cm. Qual è al massimo, in cm, la quantità d’oro che non può ottenere esattamente?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2017 Fonte: apri PDF
Gold: maximum amount of gold NOT exactly obtained from combinations of four types of bricks.
Picsou owns four types of gold bullion, each available in infinite quantities. They are rectangular bricks , , and of the same density, the dimensions in centimetres being: , and respectively for ; , and for ; , and for ; , and for . With four bars, one bar, four bars and two bars, Picsou obtains an exact amount of gold equal to cm. What is the maximum amount of gold in cm that you cannot get exactly?
Answer: 2017 src_bocconi_finaleint_2008_g1__Q18