Numero massimo di tetramini a L collocabili senza sovrapposizioni in una scacchiera 6x5.
1 - I QUADRAMINI (coefficiente 1) Mathias dispone di una scacchiera rettangolare di caselle e di un gioco di pezzi identici aventi la forma rappresentata in grigio nella figura (un tetramino a L). Quanti pezzi può al massimo collocare Mathias, senza sovrapposizioni, all’interno della scacchiera? Nota: si possono ruotare i pezzi.
Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 6 Fonte: apri PDF
*Maximum number of L-tetramins that can be placed without overlapping in a 6x5 chessboard. *
1 - QUADRAMINIES (coefficient 1) Mathias has a rectangular chessboard of boxes and a set of identical pieces with the shape represented in gray in the figure (a tetrammaton in L). How many pieces can Mathias put inside the chessboard without overlapping? Note: You can rotate the pieces.
Answer: 6 src_bocconi_finaleint_2009_g1__Q01
Numero iniziale di biglie, ricavato da una relazione fra triplo delle date e meta delle rimanenti.
2 - LE BIGLIE (coefficiente 2) Mathias aveva piu di 20 biglie, ma meno di 30. Ne da un certo numero a Mathilde e le dice: «Addiziono il triplo del numero di biglie che ti ho appena dato e la meta del numero di biglie che mi rimane. Il risultato e esattamente uguale al numero di biglie che avevo prima di dartele.» Quante biglie aveva Mathias prima di dargliene?
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 25 Fonte: apri PDF
Initial number of seeds, derived from a ratio between three times the dates and the remaining seeds.
Mathias had more than 20 but less than 30. He gives a number to Mathilde and says, “I’ll add three times the number of balls I just gave you and half the number of balls I have left. The result is exactly the same as the number of balls I had before I gave it to him. How many balls did Mathias have before I gave it to him?
Answer: 25 src_bocconi_finaleint_2009_g1__Q02
37esimo numero della successione ottenuta sommando le cifre e moltiplicando per 7.
3 - L’ETA DI MATHILDE (coefficiente 3) Mathilde ha 11 anni oggi, il suo fratellino ne ha 7 e sua madre 37. Mathilde scrive la sua eta: 11. Addiziona le cifre di questo numero, poi moltiplica il risultato per 7 e scrive il risultato della moltiplicazione: 14. Ricomincia poi a partire dall’ultimo numero scritto: addiziona le cifre di questo numero, poi moltiplica il risultato per 7 e scrive il risultato della moltiplicazione: 35. I primi tre numeri scritti sono 11; 14 e 35. Quale sara il numero che scrivera Mathilde?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 119 Fonte: apri PDF
37th succession number obtained by adding the digits and multiplying by 7.
3 - MATHILDE’s ETA (coefficient 3) Mathilde is 11 years old today, her younger brother is 7 and her mother 37. Mathilde writes her age: 11. Add the digits to this number, then multiply the result by 7 and write the result of the multiplication: 14. Then it starts again from the last number written: add the digits of this number, then multiply the result by 7 and write the result of the multiplication: 35. The first three numbers written are 11, 14, and 35. What number would Mathilde write?
Answer: 119 src_bocconi_finaleint_2009_g1__Q03
Lato minimo di un quadrato che contiene senza sovrapposizioni due rettangoli dati.
4 - CERCA IL QUADRATO (coefficiente 4) Due rettangoli di dimensioni e sono sistemati all’interno di un quadrato, senza sovrapposizioni. Qual e, al minimo, la misura del lato del quadrato?
Topic: Geometria piana Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Geometria Risposta: 8 cm Fonte: apri PDF
Minimum side of a square containing without overlap two rectangles of data.
4 - SEARCH THE SQUARE (coefficient 4) Two rectangles of size and are arranged within a square, without overlapping. What is the minimum size of the side of the square?
Answer: 8 cm src_bocconi_finaleint_2009_g1__Q04
Completare una frase autoreferenziale con due cifre in modo che risulti vera.
5 - AUTOREFERENZA (coefficiente 5) Completate la frase scritta nel riquadro con l’aiuto di cifre affinche sia vera: In questo riquadro, il numero di cifre \ldots\ e 3 volte piu grande del numero di cifre \ldots Si riportino le due cifre sul bollettino-risposta.
Topic: Logica, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Lettura attenta, Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1 e 3 Fonte: apri PDF
Complete a self-referential sentence with two digits so that it is true.
5 - AUTHORREFERENCE (coefficient 5) Complete the sentence in the box with the help of digits to make it true: In this box, the number of digits \ldots\ and 3 times the number of digits \ldots
Answer: 1 e 3 src_bocconi_finaleint_2009_g1__Q05
Collocare 5,6,7,9 sui vertici liberi della stella (con il 3 fissato) cosi che le cinque somme sui segmenti siano cinque numeri consecutivi.
6 - LA STELLA (coefficiente 6) Collocate i numeri 5, 6, 7 e 9 sui quattro vertici della stella diversi da quello dove e gia collocato il 3 (vedi figura). Per ciascuno dei cinque segmenti, si calcola la somma dei due numeri alle sue estremita. I cinque numeri cosi ottenuti devono essere cinque numeri consecutivi.
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2 soluzioni (es. con 3 in alto: 5 e 6 in alto ai lati, 7 e 9 in basso); le cinque somme sono cinque numeri consecutivi Fonte: apri PDF
Place 5,6,7,9 on the free vertices of the star (with 3 fixed) so that the five sums on the segments are five consecutive numbers.
6 - THE STAR (coefficient 6) Place the numbers 5, 6, 7 and 9 on the four vertices of the star other than the one where the 3 is already placed (see figure). For each of the five segments, the sum of the two numbers at its ends is calculated. The five numbers thus obtained must be five consecutive numbers.
Answer: 2 soluzioni (es. con 3 in alto: 5 e 6 in alto ai lati, 7 e 9 in basso); le cinque somme sono cinque numeri consecutivi src_bocconi_finaleint_2009_g1__Q06
Piu piccolo numero scritto solo con cifre 4 e 6 (almeno una di ciascuna) divisibile sia per 4 sia per 6.
7 - CON 4 E 6 (coefficiente 7) Qual e il piu piccolo numero che si scrive unicamente con delle cifre 4 e delle cifre 6 (almeno una di ciascuna), e tale che le divisioni di questo numero per 4 e per 6 diano entrambe risultati interi?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 4464 Fonte: apri PDF
Small number written only with digits 4 and 6 (at least one of each) divisible by 4 or 6.
7 - CON 4 E 6 (coefficient 7) What is the smallest number that is written solely with 4 and 6 digits (at least one of each), and such that divisions of this number by 4 and 6 give both integers?
Answer: 4464 src_bocconi_finaleint_2009_g1__Q07
Massimo numero di pioni su un reticolo a 9 vertici senza tre pioni dello stesso colore ai vertici di un triangolo equilatero.
8 - SENZA TRIANGOLO EQUILATERO (coefficiente 8) Su ciascuno dei 9 vertici del reticolo si puo collocare o un pione bianco o un pione nero, oppure lasciare il posto vuoto. Non si devono mai collocare tre pioni dello stesso colore ai vertici di uno stesso triangolo equilatero, qualunque siano la sua dimensione e il suo orientamento. Un pione bianco e gia stato collocato (vedi figura). Collocate il piu grande numero possibile di pioni.
Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Colorazione, Estremalità, Casework Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: configurazione mostrata in figura (numero massimo di pioni) Fonte: apri PDF
Maximum number of columns on a nine-point grid without three columns of the same colour at the vertices of an equilateral triangle.
8 - NO Equivalent Triangle (coefficient 8) On each of the 9 vertices of the grid, either a white or a black pivot can be placed or the space can be left empty. Never place three same-colored poles at the vertices of the same equilateral triangle, whatever its size and orientation. A white stone and has already been placed (see figure). Place as many pawns as possible.
Answer: configurazione mostrata in figura (numero massimo di pioni) src_bocconi_finaleint_2009_g1__Q08
Somma minima dei punti visibili sulle facce di un cubo 3x3x3 formato da 27 dadi.
9 - IL CUBO DI DADI (coefficiente 9) Si forma un cubo assemblando 27 dadi identici. Le facce di un dado portano tutte le cifre da 1 a 6 e la somma dei punti su due facce opposte vale sempre 7. Qual e, al minimo, la somma di tutti i punti visibili sulla superficie del cubo?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Stima, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 90 Fonte: apri PDF
Minimum sum of points visible on the faces of a cube 3x3x3 made up of 27 dice.
9 - The DADI Cube (coefficient 9) A cube is formed by assembling 27 identical dice. The faces of a dice carry all the digits from 1 to 6, and the sum of the points on two opposite faces is always 7. What is the minimum sum of all points visible on the surface of the cube?
Answer: 90 src_bocconi_finaleint_2009_g1__Q09
Numero minimo di mosse (girare 7 bicchieri per volta) per portare tutti i 9 bicchieri all’indritto.
10 - IL GIOCO DEI BICCHIERI (coefficiente 10) Ci sono nove bicchieri su un tavolo. Uno e all’indritto, otto sono rovesciati. Una mossa consiste nel girare sette bicchieri (un bicchiere qualunque puo essere girato dall’indritto al rovescio o dal rovescio all’indritto). Al minimo, quante mosse bisogna giocare affinche i bicchieri siano tutti all’indritto?
Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Invarianti, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 4 Fonte: apri PDF
Minimum number of moves (turn 7 glasses at a time) to bring all 9 glasses to the drying stage.
10 - The BICKING GAME (coefficient 10) There are nine glasses on a table. One and drunk, eight are down. One move consists of turning seven glasses (any glass can be turned backwards or backwards). At least, how many moves do you have to play to get all the glasses drunk?
Answer: 4 src_bocconi_finaleint_2009_g1__Q10
Lunghezza minima totale del taglio per ricomporre un quadrato a lato intero da un rettangolo tagliato in due pezzi.
11 - DAL RETTANGOLO AL QUADRATO (coefficiente 11) Si ritaglia il rettangolo lungo i sette tratti puntinati. Tutti i segmenti del taglio hanno per lunghezza dei numeri interi di centimetri. Facendo scivolare i due pezzi cosi ottenuti, senza capovolgerli, si puo ricostituire, senza buchi ne sovrapposizioni, un quadrato il cui lato misura un numero intero di centimetri. Qual e, al minimo, in cm, la lunghezza totale del taglio? Nota: la figura non rispetta le proporzioni.
Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 31 cm Fonte: apri PDF
Total minimum length of cut to reconstitute a whole side square from a rectangle cut into two pieces.
11 - FROM RETHANGEL TO SQUADER (coefficient 11) Cut the rectangle along the seven points. All segments of the cut have length integers of centimeters. By sliding the two pieces thus obtained, without flipping them over, one can reconstruct, without holes or overlapping, a square whose side measures an integer of centimeters. What is the total length of the cut, at least in cm? Note: the figure does not respect the proportions.
Answer: 31 cm src_bocconi_finaleint_2009_g1__Q11
Area della regione raggiungibile da un cane legato con corda di 3 m a un vertice di una cuccia esagonale di lato 1 m.
12 - LA CUCCIA (coefficiente 12) La base della cuccia del cane di Julien e un esagono regolare il cui lato misura 1 metro. La cuccia e chiusa e il cane e legato all’esterno della cuccia a un vertice della figura con una corda lunga 3 metri. Qual e, in metri quadrati, l’area della regione che il cane puo raggiungere all’esterno della sua cuccia? Si dara la risposta esatta, utilizzando se necessario.
Topic: Geometria piana Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Geometria Risposta: m Fonte: apri PDF
Area of the region reachable by a dog tied with a 3 m rope to a top of a 1 m side hexagonal fold.
12 - The dog (coefficient 12) The base of Julien’s dog’s dog and a regular hexagon whose side measures 1 meter. The cat is closed and the dog is tied to the outside of the cat to a figure top with a 3-meter long rope. What, in square metres, is the area of the region that the dog can reach outside its litter? The exact answer is given using if necessary.
Answer: m src_bocconi_finaleint_2009_g1__Q12
Area di un triangolo nota dalle due condizioni di copertura reciproca con un quadrato di lato 4 cm.
13 - DOPPIA COPERTURA (coefficiente 13) Collocando un quadrato di 4 cm di lato su un triangolo, si puo coprire fino a due terzi della superficie del triangolo. Collocando il triangolo sul quadrato, si puo coprire fino a tre quarti della superficie del quadrato. Qual e l’area del triangolo, in cm?
Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 18 cm Fonte: apri PDF
Area of a triangle known by two conditions of reciprocal coverage with a side square of 4 cm.
13 - DOUBLE COVER (coefficient 13) By placing a square of 4 cm on a triangle, up to two thirds of the triangle surface can be covered. By placing the triangle on the square, you can cover up to three quarters of the square’s surface. What is the area of the triangle, in cm?
Answer: 18 cm src_bocconi_finaleint_2009_g1__Q13
Trovare tutte le frazioni a/b a due cifre semplificabili (erroneamente) cancellando la cifra comune, come 49/98=4/8.
14 - FRAZIONI SEMPLIFICATE (coefficiente 14) Mathias ha appena inventato un nuovo metodo per semplificare le frazioni. Per semplificare la frazione , si limita a cancellare la cifra che compare al numeratore e al denominatore, cioe il 9: ottiene allora , che e proprio uguale a . Quali altre frazioni della forma (dove e sono numeri a due cifre, con una cifra non nulla in comune, e ) Mathias e capace di semplificare correttamente con il suo metodo?
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: , , (3 soluzioni) Fonte: apri PDF
Finding all two-digit simplifiable fractions a/b by (erroneously) deleting the common denominator, such as 49/98=4/8.
14 - Simplified fractions (coefficient 14) Mathias has just invented a new method for simplifying fractions. To simplify the fraction, you simply delete the figure that appears on the numerator and denominator, i.e. 9: you get , which is exactly equal to . What other fractions of the form (where and are two-digit numbers, with a numerical value of nothing in common, and ) can Mathias correctly simplify with his method?
Answer: , , (3 soluzioni) src_bocconi_finaleint_2009_g1__Q14
Numero massimo di cubi diversi tracciando una diagonale su ciascuna delle sei facce.
15 - I CUBI (coefficiente 15) Mathias dispone di un gran numero di cubi bianchi identici. Su ogni faccia di ciascuno di essi traccia una diagonale. Quanti cubi diversi otterra, al massimo?
Topic: Geometria solida, Combinatoria Metodo: Casework, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 8 Fonte: apri PDF
Maximum number of different cubes drawing a diagonal on each of the six faces.
15 - CUBI (coefficient 15) Mathias has a large number of identical white cubes. On each face of each of them draw a diagonal. How many different cubes do you get?
Answer: 8 src_bocconi_finaleint_2009_g1__Q15
Probabilita che una formica, dopo 7 spostamenti casuali sugli spigoli di un cubo, sia passata per tutti gli 8 vertici.
16 - LA FORMICA NEL CUBO (coefficiente 16) Una formica parte da un vertice di un cubo. Ogni spostamento consiste nell’andare da un vertice a un altro lungo uno spigolo del cubo. A ogni vertice, per lo spostamento successivo, la formica sceglie a caso uno dei tre spigoli possibili. Le scelte successive sono indipendenti le une dalle altre. Subito dopo il settimo spostamento, qual e la probabilita che la formica sia passata per gli otto vertici del cubo (contando quello di partenza)? Si rispondera sotto forma di frazione irriducibile.
Topic: Probabilità, Combinatoria, Geometria solida Metodo: Casi e conteggio, Conteggio, Grafi Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: Fonte: apri PDF
The probability that an ant, after 7 random movements on the tips of a cube, has passed through all 8 vertices
16 - The shape in the cube (coefficient 16) An ant starts from a vertex of a cube. Each shift consists of moving from one vertex to another along a cube’s axis. At each vertex, for the next move, the ant chooses one of three possible spikes at random. The subsequent choices are independent of each other. Immediately after the seventh shift, what is the probability that the ant has passed through the eight vertices of the cube (counting the start)? It will respond in the form of an irreducible fraction.
Answer: src_bocconi_finaleint_2009_g1__Q16
Rapporto fra raggio grande e raggio piccolo nel blasone formato da archi di cerchio tangenti, con raggi interi in mm.
17 - IL BLASONE (coefficiente 17) Il blasone di Maths-Chateau possiede un asse di simmetria verticale. I quattro archi di cerchio hanno lo stesso raggio. Messi uno di seguito all’altro, un arco piccolo e un arco grande formano esattamente un quarto di cerchio. La tangente all’arco grande e perpendicolare al segmento orizzontale e l’arco piccolo e tangente a ciascuna estremita di questo segmento. Tutti i punti di tangenza e di contatto sono perfetti. I raggi dei due cerchi misurano un numero intero di millimetri. Qual e il rapporto fra il piu grande e il piu piccolo? Si rispondera sotto forma di frazione irriducibile.
Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Risposta: Fonte: apri PDF
Ratio of large and small radii in the blade of tangent circle arcs, with integer radii in mm.
17 - BLASON (coefficient 17) The Maths-Chateau blade has an axis of vertical symmetry. The four circle arcs have the same radius. Set one after the other, a small bow and a large bow form exactly a quarter of a circle. The tangent to the large arc perpendicular to the horizontal segment and the small arc tangent to each end of this segment. All tangent and contact points are perfect. The radii of the two circles measure an integer number of millimeters. What’s the relationship between the largest and the smallest? It will respond in the form of an irreducible fraction.
Answer: src_bocconi_finaleint_2009_g1__Q17
Disporre i numeri da 2 a 16 nei dischi del triangolo con somma uguale sulle 9 linee e vertici a<b<c.
18 - DA 2 A 16 (coefficiente 18) Collocate tutti i numeri da 2 a 16, in ragione di uno solo per disco. La somma dei numeri su ciascuna delle 9 linee tracciate deve essere sempre la stessa. Ai vertici del triangolo, i numeri devono essere collocati in modo che .
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Simmetria, Estremalità Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2 soluzioni Fonte: apri PDF
To arrange the numbers from 2 to 16 in the triangle discs with the same sum on the 9 lines and vertices a<b<c.
18 - DA 2 A 16 (coefficient 18) Place all the numbers from 2 to 16, because only one per disk. The sum of the numbers on each of the nine lines drawn must always be the same. At the vertices of the triangle, the numbers must be placed so that .
Answer: 2 soluzioni src_bocconi_finaleint_2009_g1__Q18