Massimo della somma delle cifre della data nel 2009
IL NUMERO DEL GIORNO. Ogni giorno a partire dal gennaio, Mathilde calcola la somma di tutte le cifre della data del giorno. Per esempio, il gennaio 2009 (1-1-2009), Mathilde ha eseguito il calcolo . Tra il gennaio 2009 e il 31 dicembre 2009, qual è il più grande totale che Mathilde può ottenere?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 31 Fonte: apri PDF
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Maximum sum of the data figures in 2009
The number of days. Every day from January, Mathilde calculates the sum of all the digits of the date of the day. For example, on January 2009 (1-1-2009), Mathilde performed the calculation. Between January 2009 and 31 December 2009, what is the largest total that Mathilde can achieve?
Answer: 31 src_bocconi_finaleint_2009_g2__Q01
Numero di spigoli del solido ottenuto tagliando i vertici di una piramide
LA PIRAMIDE. Mathias trova nel granaio una piramide a base quadrata, fatta di sbarre, ereditata dal nonno. Poiché tutte le sbarre di questa piramide erano leggermente intaccate, Mathias decide di tagliarle tutte ordinatamente con l’aiuto di una sega (taglia tutti i vertici). Quanti spigoli possiede il solido ottenuto?
Topic: Geometria solida Metodo: Conteggio Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Geometria Risposta: 24 Fonte: apri PDF
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Number of beads of solid obtained by cutting the peaks of a pyramid
The pyramid. Mathias finds in the barn a pyramid with a square base, made of bars, inherited from his grandfather. Since all the bars of this pyramid were slightly intact, Mathias decided to cut them all neatly with the help of a saw (cut all the vertices). How many beads does the solid have?
Answer: 24 src_bocconi_finaleint_2009_g2__Q02
Riempire una figura con le cifre 1,2,3,4,5 secondo regole di frequenza e adiacenza
UNO, DUE, TRE, QUATTRO, CINQUE. Devi scrivere , , , o in ciascuna casella della figura rispettando le seguenti condizioni:
- l’ figura una sola volta, il due volte, il tre volte, il quattro volte e il cinque volte;
- nessuna casella adiacente a un’altra (orizzontalmente, verticalmente o in diagonale) contiene una cifra identica.
Topic: Logica, Combinatoria Metodo: Casework Abilita: Casework accurato, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
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Fill a figure with the digits 1,2,3,4,5 according to frequency and adjacency rules
One, two, three, four, five. You must type , , , or in each box in the figure, subject to the following conditions: - the appears only once, the twice, the three times, the four times and the five times; - no box adjacent to another (horizontally, vertically or diagonally) contains an identical figure.
src_bocconi_finaleint_2009_g2__Q03
Contare i quadrati della figura privi di celle grigie
QUADRATI BIANCHI. Quanti quadrati interamente disegnati nella figura non contengono alcuna casella grigia? Nota: un quadrato può essere costituito da una sola casellina oppure da più caselline riunite.
Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 48 Fonte: apri PDF
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Counting the squares of the figure without grey cells
White squares. How many squares entirely drawn in the figure do not contain any gray boxes? Note: A square may consist of either a single box or multiple boxes combined.
Answer: 48 src_bocconi_finaleint_2009_g2__Q04
Numero di pagine (tra quelle scritte) che contengono almeno una cifra 4
LA LISTA DI MATHIAS. Mathias scrive i numeri delle pagine a partire da , fino alla pagina Quante delle pagine che ha scritto contengono almeno una cifra ?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2511 Fonte: apri PDF
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*Number of pages (including written ones) containing at least one digit *
The MATHIAS list. Mathias writes the page numbers from to How many pages he wrote contain at least one digit ?
Answer: 2511 src_bocconi_finaleint_2009_g2__Q05
Numero di rose da piantare lungo il bordo del giardino rettangolare
IL GIARDINO DI ROSE. Il giardino di Rose comprende cinque rettangoli identici rappresentati nella figura. Lei vuole piantare delle rose lungo il bordo, distanziate regolarmente. Quante rose deve piantare?
Topic: Teoria dei Numeri, Geometria piana Metodo: Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Risposta: 70 Fonte: apri PDF
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Number of roses to be planted along the edge of the rectangular garden
The Rose Garden. Rose’s garden comprises five identical rectangles depicted in the figure. She wants to plant roses along the edge, regularly spaced. How many roses do you have to plant?
Answer: 70 src_bocconi_finaleint_2009_g2__Q06
Ricostruire una moltiplicazione con la maggior parte delle cifre cancellate
MOLTIPLICAZIONE. In questa moltiplicazione, certe cifre del prodotto (corretto) erano consecutive (ciascuna differiva dalla precedente di una unità) e ciascuna appariva una sola volta. Tutte le altre cifre maggiori di sono state cancellate. Ricostruisci l’operazione:
Topic: Teoria dei Numeri, Logica Metodo: Casework Abilita: Casework accurato, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: Fonte: apri PDF
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Reconstruct a multiplication with most of the deleted digits
Multiplication of the value of the product. In this multiplication, certain (correct) product figures were consecutive (each differed from the previous one of a unit) and each appeared only once. All other figures greater than have been deleted. Reconstruct the operation:
Answer: src_bocconi_finaleint_2009_g2__Q07
Completare lo sviluppo di un cubo aperto (senza coperchio)
IL PATRON DI CUBO INCOMPIUTO. Su una griglia sono già disegnate (in grigio) alcune facce: si vuole il patron (sviluppo piano) di un cubo aperto, costituito dal fondo (la base) e da una sola altra faccia (il coperchio). Sulla griglia ci sono più caselle grigie che caselle bianche. Cerchia tutte le caselle bianche possibili che completano lo sviluppo.
Topic: Geometria solida, Logica Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Casework accurato Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
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*Complete the development of an open cube (without lid) *
The pattern of the unfinished cube. Some faces are already drawn (in gray) on a grid: the patron (plane development) of an open cube, consisting of the bottom (the base) and a single other face (the lid), is desired. There are more grey boxes on the grid than there are white boxes. Search all possible white boxes that complete the development.
src_bocconi_finaleint_2009_g2__Q08
Numero di posti dell’autobus dati i rapporti maschi/femmine
MISTI NELL’AUTOBUS. Alla partenza, in un autobus, il dei passeggeri sono femmine. Alla fermata successiva due femmine scendono e nessuno sale; allora le femmine costituiscono il dei passeggeri. Quanti posti ha l’autobus?
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: 6 Fonte: apri PDF
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Number of bus seats given the male/female ratio
Get in the bus. On departure, on a bus, the passengers are female. At the next stop two females descend and no one climbs; then the females constitute the of the passengers. How many seats does the bus have?
Answer: 6 src_bocconi_finaleint_2009_g2__Q09
Numero di turni nel gioco dei gettoni tra tre giocatori
GIOCO A TRE. Prima di giocare, Alain, Bernard e Camille hanno rispettivamente , e gettoni. A ogni turno, colui che ne ha di più ne dà uno a ciascuno degli altri due giocatori, il che lo porta all’ultimo posto. Quanti turni ci saranno?
Topic: Teoria dei Numeri, Logica Metodo: Invarianti, Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 295 Fonte: apri PDF
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Number of rounds in the game of chips between three players
Playing three. Before playing, Alain, Bernard and Camille have , and tokens respectively. In each turn, the player with the most points gives one to each of the other two players, which brings him to the last place. How many shifts will there be?
Answer: 295 src_bocconi_finaleint_2009_g2__Q10
Numero di amici dato che Caterina beve 1/4 del latte e 1/6 del caffè
CAFFÈ AL LATTE. Caterina e i suoi amici prendono ciascuno la stessa quantità di caffè al latte, ma con proporzioni diverse di caffè e di latte. Caterina ha bevuto un quarto del latte totale e un sesto del caffè totale. Quanti sono gli amici a tavola?
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: 4 Fonte: apri PDF
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Number of friends since Caterina drinks 1/4 milk and 1/6 coffee
Coffee with milk. Catherine and her friends each drink the same amount of milk coffee, but in different proportions of coffee and milk. Catherine drank a quarter of the total milk and a sixth of the total coffee. How many friends are at the table?
Answer: 4 src_bocconi_finaleint_2009_g2__Q11
Perimetro massimo di un triangolo a lati interi, uno doppio di un altro e terzo lato 15
IL PERIMETRO DEL TRIANGOLO. I lati di un triangolo misurano un numero intero di centimetri. Uno dei lati è due volte più lungo di un altro, e il terzo misura cm. Qual è, al massimo, in cm, il perimetro del triangolo?
Topic: Geometria piana Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Casework accurato Area: Geometria Risposta: 43 cm Fonte: apri PDF
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Maximum perimeter of an integer triangle, one double of another and third side 15
The perimeter of the triangle. The sides of a triangle measure an integer number of centimeters. One side is twice as long as the other, and the third measures cm. What is the perimeter of the triangle in cm at most?
Answer: 43 cm src_bocconi_finaleint_2009_g2__Q12
Lunghezza di una pista circolare dati due incontri di camminatori opposti
NEI DUE SENSI. Michel e Laurent partono nello stesso momento da due punti diametralmente opposti di una pista circolare. Michel cammina in senso antiorario e Laurent in senso orario. Si incrociano una prima volta quando Michel ha percorso metri dalla partenza. Si incrociano una seconda volta quando Laurent ha percorso metri dopo il loro primo incrocio. Quanto misura in tutto la pista? La velocità di ciascuno resta costante.
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: 350 m Fonte: apri PDF
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Length of a circular track given two encounters of opposing walkers
Two or three. Michel and Laurent start at the same time from two diametrically opposite points on a circular track. Michel walks in the opposite direction and Laurent in the opposite direction. They intersect for the first time when Michel traveled meters from the start. They intersect a second time when Laurent walked a mile after their first intersection. How big is the entire runway? The speed of each remains constant.
Answer: 350 m src_bocconi_finaleint_2009_g2__Q13
Somma dei numeri ottenuti dalle pagine affacciate di un libro
IL VERSO DEL LIBRO. Un libro ha pagine numerate da a incluso. Per ogni pagina, si forma un numero affiancando il numero della pagina a quello della pagina di fronte. Per esempio: di fronte a , di fronte a , di fronte a , di fronte a , ecc. Qual è la somma di tutti i numeri così ottenuti (compresi quelli del primo cambiamento)?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 418095 Fonte: apri PDF
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Summary of numbers obtained from the outline pages of a book
The verse of the book. A book has pages numbered from to included. For each page, a number is formed by joining the page number to the front page number. For example: before , before , before , before , etc. What is the sum of all the numbers thus obtained (including those of the first change)?
Answer: 418095 src_bocconi_finaleint_2009_g2__Q14
Coordinate del tesoro su una mappa quadrettata piegata, in decimetri
LA CARTA DEL TESORO. Il grande rettangolo della figura rappresenta la carta della valle dove si trova il tesoro. La carta è quadrettata e la zona grigia della figura rappresenta la parte sotto la quale è ripiegata, in modo regolare; il lato di ciascuna casella quadrata vale una certa lunghezza. La scala della carta è . Il tesoro si trova in un punto della piega coincidente con l’angolo in alto a sinistra della zona ripiegata, le cui coordinate (orizzontale; verticale) restano da trovare. Quali sono, in decimetri a partire dall’angolo in basso a sinistra, le coordinate (orizzontale; verticale) del tesoro?
Topic: Geometria analitica, Geometria piana Metodo: Coordinate, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Risposta: Fonte: apri PDF
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Treasure coordinates on a square map folded in decimals
The treasure card. The large rectangle of the figure represents the map of the valley where the treasure is located. The paper is square and the grey area of the figure represents the part under which it is folded, regularly; the side of each square box is a certain length. The paper scale is . The treasure is located at a point of the fold coinciding with the upper left corner of the folded area, whose coordinates (horizontal; vertical) remain to be found. What are the coordinates (horizontal; vertical) of the treasure in decimeter from the bottom left corner?
Answer: src_bocconi_finaleint_2009_g2__Q15
Quadrato magico 3x3 con le iniziali di nove bambini
IN QUADRATO MAGICO. Nove bambini, Axel, Ben, Cléa, Dave, Elsa, Fred, Gaby, Héra e Inès, prendono ciascuno un pettorale con un numero diverso. L’ordine dei numeri dei pettorali è lo stesso dell’ordine delle iniziali dei nomi nell’alfabeto: il numero del pettorale di Axel è più piccolo di quello di Ben, che è più piccolo di quello di Cléa, ecc. Ciascuno prende posto in una delle caselle di un quadrato . Il quadrato è magico: la somma dei tre numeri di una stessa fila (riga, colonna o diagonale) è sempre la stessa, qualunque sia la fila scelta. Il quadrato è orientato in modo che il numero in alto a sinistra sia il più piccolo. Ritrova il posto di ciascuno (rispondi scrivendo le lettere nelle caselle del quadrato).
Topic: Combinatoria, Logica, Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 2 soluzioni Fonte: apri PDF
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Magic 3x3 square with the initials of nine children
In the Magic Square. Nine children, Axel, Ben, Cléa, Dave, Elsa, Fred, Gaby, Héra, and Inès, each take a breastplate with a different number. The order of the breastplate numbers is the same as the order of the initials of the names in the alphabet: Axel’s breastplate number is smaller than Ben’s, which is smaller than Cléa’s, etc. Each of them is placed in one of the boxes of a square . The square is magical: the sum of the three numbers of the same row (row, column or diagonal) is always the same, whatever the chosen row. The square is oriented so that the number at the top left is the smallest. Retrieve each one’s place (response by writing the letters in the square boxes).
Answer: 2 soluzioni src_bocconi_finaleint_2009_g2__Q16
Frazione irriducibile sommando i volumi dei mattoni diviso il quadrato della dimensione maggiore
LE BRIQUES DI BRIAN. I mattoni di Brian sono tutti dei parallelepipedi rettangoli le cui dimensioni sono numeri interi inferiori o uguali a . Brian considera ogni mattone diverso dagli altri per dimensioni e dispone di tutti quelli possibili. Brian calcola il volume di ogni mattone e lo divide per il quadrato della sua dimensione maggiore. Poi addiziona tutti i risultati. Quale frazione irriducibile ottiene? Osservazione: un cubo è un parallelepipedo particolare.
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria, Geometria solida Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: Fonte: apri PDF
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Irreducible fraction by adding the volumes of the bricks divided by the square of the larger size
The bricks of Brian. Brian’s bricks are all parallel-piped rectangles whose dimensions are integers less than or equal to . Brian considers each brick different in size and has all the possible ones. Brian calculates the volume of each brick and divides it by the square of its larger size. Then add up all the results. What irreducible fraction does he get? Observation: a cube is a particular parallelepiped.
Answer: src_bocconi_finaleint_2009_g2__Q17
Numeri sulle facce di un dado da gioco magico con vincoli di somma e parità
IL DADO DA GIOCO MAGICO. Si rappresenta il patron (sviluppo) di un dado da gioco nella figura, dove ogni faccia è rappresentata dai suoi punti. Si vogliono scrivere ventuno numeri interi positivi tutti diversi tra loro sui punti bianchi (un numero per punto) in modo tale che:
- nessuna faccia contenga due numeri consecutivi;
- la faccia che contiene numeri (i punti) ne contenga solo di pari;
- la faccia a quattro punti contenga , la faccia a cinque punti contenga e la faccia a sei punti contenga ;
- la somma dei numeri scritti su ciascuna delle sei facce sia sempre la stessa e sia minima. Quali sono i numeri scritti sulle facce con due, tre, quattro e cinque punti? Sul foglio risposte, i numeri scritti su ciascuna delle quattro facce devono essere scritti in ordine crescente.
Topic: Combinatoria, Logica, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 4 soluzioni: ; ; ; Fonte: apri PDF
Estratto da verificare con la fonte.
Numbers on the faces of a magic dice with sum and parity constraints
The magic of the game. It represents the patron (development) of a dice in the figure, where each face is represented by its points. We want to write 21 positive integers all different from each other on white dots (one number per point) so that: - no face contains two consecutive numbers; - the face containing numbers (the points) contains only even numbers; - the four-point face contains , the five-point face contains and the six-point face contains ; - the sum of the numbers written on each of the six faces is always the same and is minimal. What are the numbers written on the faces with two, three, four and five points? On the answer sheet, the numbers written on each of the four faces must be written in increasing order.
Answer: 4 soluzioni: ; ; ; src_bocconi_finaleint_2009_g2__Q18