Monete testa e croce: colorare quelle con la croce
La figura rappresenta le monete di cui si vede la testa o la croce. Su ogni moneta è scritto il numero delle monete che toccano quella di cui si vede la croce. Colorate tutte le monete di cui si vede la croce.
Topic: Logica, Combinatoria Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: Le monete con la croce sono quelle indicate nella figura della soluzione (4 monete colorate in grigio). Fonte: apri PDF
Head and cross coins: colour those with the cross
The figure represents the coins of which the head or the cross is seen. On each coin is written the number of coins touching the one of which you see the cross. Color all the coins on the cross.
Answer: Le monete con la croce sono quelle indicate nella figura della soluzione (4 monete colorate in grigio). src_bocconi_finaleint_2011_g2__Q01
Addizione misteriosa con simboli ripetuti
In questa addizione, ogni simbolo rimpiazza sempre la stessa cifra e due simboli diversi rimpiazzano due cifre diverse. Ritrovate l’addizione. Nota: la scrittura decimale di un numero a più cifre non comincia mai con .
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: Fonte: apri PDF
Mysterious addition with repeated symbols
In this addition, each symbol always replaces the same number and two different symbols replace two different numbers. Find the addition. Note: decimal writing of a multi-digit number never begins with .
Answer: src_bocconi_finaleint_2011_g2__Q02
Quanti cubi non toccano il tappeto né altri cubi?
Il fratellino di Matilde ha disposto 18 cubi sul tappeto della sala. Quanti fra questi cubi non toccano esattamente altri due? Nota: si considera che due cubi si toccano solo se sono in contatto tramite l’intera faccia.
Topic: Geometria solida, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 6 Fonte: apri PDF
How many cubes do not touch the carpet or other cubes?
Matilde’s younger brother placed 18 cubes on the living room carpet. How many of these cubes don’t touch exactly two others? Note: Two cubes are considered to touch only if they are in contact through the entire face.
Answer: 6 src_bocconi_finaleint_2011_g2__Q03
Cinque gettoni: massimizzare prodotto di tre numeri
Matilde ha trovato in solaio i cinque gettoni qui a lato, disposti su di una base di legno. Ella vorrebbe disporli in un altro modo su questa base, in modo da ottenere un’operazione il cui risultato sia il più grande possibile. Quale sarà questo risultato? Nota: il può essere girato, in modo da ottenere il .
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Casework accurato, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 5022 Fonte: apri PDF
Five tokens: maximize the product of three numbers
Matilde found the five tokens in the sun lounge right here, arranged on a wooden base. She would like to arrange them in a different way on this basis, so as to obtain an operation whose outcome is as great as possible. What will be the result? Note: the can be rotated to obtain the .
Answer: 5022 src_bocconi_finaleint_2011_g2__Q04
Somma di cifre con simboli uguali su tre righe
Simboli uguali rappresentano la stessa cifra. Il numero rappresentato dalla seconda riga è uguale alla somma delle tre cifre del numero rappresentato dalla prima riga. Il numero rappresentato dalla terza riga è uguale alla somma delle due cifre del numero rappresentato dalla seconda riga. Qual è il numero rappresentato dalla prima riga?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 929 Fonte: apri PDF
sum of digits with equal symbols on three lines
Equal symbols represent the same number. The number represented by the second row is equal to the sum of the three digits of the number represented by the first row. The number represented by the third row is equal to the sum of the two digits of the number represented by the second row. What is the number represented by the first line?
Answer: 929 src_bocconi_finaleint_2011_g2__Q05
Dividere figura in due parti sovrapponibili
Dividete questa figura in due parti sovrapponibili: per questo, seguite le linee tratteggiate. Nota: è possibile che una parte sia sovrapponibile all’altra dopo essere stata ribaltata.
Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Simmetria, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: Esiste un’unica posizione di taglio (la risposta è unica). Fonte: apri PDF
To divide the figure into two overlapping parts
Divide this figure into two overlapping parts: for this, follow the drawn lines. Note: It is possible that one part may overlap the other after being overturned.
Answer: Esiste un’unica posizione di taglio (la risposta è unica). src_bocconi_finaleint_2011_g2__Q06
Club matematico: quanti membri al massimo?
Un club di giochi matematici e logici è composto da ragazzi e ragazze. Tutti i suoi membri, tranne 11, sono ragazzi. In qualsiasi gruppo composto da 20 membri vi sono almeno sei ragazze. Qual è il massimo numero di membri del club?
Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 24 Fonte: apri PDF
Mathematical club: how many members at most?
A math and logic game club is made up of boys and girls. All of its members, except 11, are boys. In any group of 20 members there are at least six girls. What’s the maximum number of club members?
Answer: 24 src_bocconi_finaleint_2011_g2__Q07
Numero di 9 cifre tutte diverse, prodotto di due fattori
Utilizzate le cifre da a per formare un numero di 9 cifre tutte diverse. Senza cambiare l’ordine, ogni coppia di cifre scritte di seguito l’una all’altra deve formare un numero a una cifra uguale al prodotto dei due numeri a 1 cifra, eventualmente uguali.
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Casework accurato, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 728163549 Fonte: apri PDF
Number of 9 digits all different, product of two factors
Use the digits from to to form a nine-digit number, all different. Without changing the order, each pair of digits written next to each other must form a one-digit number equal to the product of the two 1-digit numbers, if any, equal.
Answer: 728163549 src_bocconi_finaleint_2011_g2__Q08
Partecipanti con esattamente 13 problemi corretti
All’ultima finale internazionale di giochi matematici e logici hanno partecipato 75 concorrenti nella categoria C1. Il ha fornito una risposta esatta ad almeno 13 problemi. Il ha dato una risposta esatta a non più di 13 problemi. Quanti partecipanti hanno risolto esattamente 13 problemi?
Topic: Teoria dei Numeri, Probabilità Metodo: Inclusione-esclusione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 15 Fonte: apri PDF
Participants with exactly 13 correct problems
The last international final of mathematical and logic games was attended by 75 competitors in the C1 category. The provided an accurate answer to at least 13 problems. The gave an accurate answer to no more than 13 problems. How many participants solved exactly 13 problems?
Answer: 15 src_bocconi_finaleint_2011_g2__Q09
Monete per completare il vaso di Mida
Le monete d’electrum e d’argento permettono di trasformare in oro ogni cosa che tocca il mercante di antichità per creare un vaso di alabastro. Il prezzo del vaso è di 177 dracme. Mida ha nella sua borsa 3 monete d’oro del valore di 20 dracme ciascuna, 5 monete d’electrum del valore di 11 dracme l’una, e 7 monete d’argento del valore di 3 dracme l’una. Il mercante non ha il resto; occorre quindi che Mida paghi il prezzo esatto, ma per farlo deve chiedere al suo valletto di prendere delle monete dalla sua borsa. Quante monete d’oro deve prendere il valletto?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 4 Fonte: apri PDF
Coins to complete the Mida vessel
Electrum and silver coins allow anything that the antique merchant touches to be turned into gold to create an alabaster vase. The price of the vase is 177 drachmas. Mida has in her purse 3 gold coins worth 20 drachmas each, 5 electrum coins worth 11 drachmas each, and 7 silver coins worth 3 drachmas each. The merchant has no rest; therefore Mida must pay the exact price, but to do so he must ask his valet to take coins from his purse. How many gold coins does the valet have to take?
Answer: 4 src_bocconi_finaleint_2011_g2__Q10
Prodotto sulle facce dei dadi: numero univoco
Le facce di un dado sono numerate da 1 a 6 in modo tale che la somma di due facce opposte è sempre 7. I tre dadi della figura sono uguali. Due facce in contatto devono avere lo stesso numero. Il prodotto della cifra indicata nella faccia visibile in alto a sinistra moltiplicato dal numero formato dalle due cifre indicate nelle facce visibili in alto a destra è uguale al numero formato dalle tre cifre indicate nelle facce visibili sotto (non si tenga conto della faccia destra della griglia). Ritrovate il numero.
Topic: Logica, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Ragionamento geometrico, Casework accurato, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: Fonte: apri PDF
Produced on the faces of the dice: unique number
The faces of a dice are numbered from 1 to 6 so that the sum of two opposite faces is always 7. The three dice in the figure are the same. Two faces in contact must have the same number. The product of the figure indicated in the upper left-hand face multiplied by the number formed by the two digits indicated in the upper right-hand face is equal to the number formed by the three digits indicated in the lower left-hand face (the right-hand side of the grid is not taken into account). Find the number.
Answer: src_bocconi_finaleint_2011_g2__Q11
Percentuale superficie grigia nel giglio
Nel castello di Matematica c’è una vetrata che rappresenta un giglio. Tutti gli archi di cerchio sono dei quarti di cerchio. Tutti i punti di contatto sono perfetti. Qual è la superficie della parte in grigio sulla figura, in percentuale rispetto alla superficie del quadrato più grande? Se necessario, si prenda per .
Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: Fonte: apri PDF
Percentage of grey area in the lily
There’s a glass in Mathematics Castle that represents a lily. All circle arcs are quarters of a circle. All the contact points are perfect. What is the area of the gray part on the figure, as a percentage of the area of the largest square? If necessary, take for .
Answer: src_bocconi_finaleint_2011_g2__Q12
Coordinate della posizione 2011 nella spirale
Spiro disegna una spirale su un foglio quadrettato in modo regolare senza levare la matita dal foglio e seguendo la quadrettatura. Parte dall’origine e si sposta di un’unità verso destra raggiungendo la posizione 1 di coordinate . Poi si sposta verso l’alto fino a quando può piegare a sinistra, poi va verso sinistra fino a raggiungere l’asse verticale, poi si sposta di un’unità verso l’alto, poi va verso destra fino a che può tornare in basso, poi va verso il basso fino all’asse orizzontale, poi si sposta di un’unità verso destra, e così via come indicato in figura. Il punto nero corrisponde alla posizione 13 di coordinate . Quali sono le coordinate della posizione 2011?
Topic: Teoria dei Numeri, Geometria analitica Metodo: Ricorsione, skill_riconoscimento_pattern Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Risposta: Fonte: apri PDF
Coordinates of the 2011 position in the spiral
Spiro draws a spiral on a square sheet in a regular manner without removing the pencil from the sheet and following the square. It starts from the origin and moves from one unit to the right reaching the coordinate position 1 . Then it moves up until it can bend to the left, then it moves left until it reaches the vertical axis, then it moves from one unit up, then it moves right until it can go back down, then it goes down to the horizontal axis, then it moves from one unit to the right, and so on as shown in the figure. The black dot corresponds to position 13 of the coordinates . What are the coordinates of the 2011 position?
Answer: src_bocconi_finaleint_2011_g2__Q13
Lunghezza massima del tunnel con mucca e treno
Una mucca si trova all’interno di uno stretto tunnel ferroviario, a 5 metri dalla sua metà. Un treno si dirige verso l’entrata del tunnel. Quando si trova a 3 km dall’entrata, la mucca ne sente il rumore. Sa che vada verso questa entrata o verso l’uscita del tunnel, essa può arrivare a uscire un istante prima che il treno la investa. Qual è, al massimo, la lunghezza del tunnel in metri? Nota: il treno viaggia a velocità costante; anche la mucca si muove a velocità costante e la sua velocità sarebbe la stessa in un senso o nell’altro.
Topic: Teoria dei Numeri, Logica Metodo: Backward, Casework Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 250 metri Fonte: apri PDF
*Maximum length of tunnel with cow and train *
A cow is inside a narrow railway tunnel, 5 meters from its middle. A train is heading towards the tunnel entrance. When she’s three kilometers from the entrance, the cow hears the noise. She knows she’s going to this entrance or the exit of the tunnel, she can get out a moment before the train hits her. What is the maximum length of the tunnel in meters? Note: the train travels at constant speed; the cow also moves at constant speed and its speed would be the same in one direction or the other.
Answer: 250 metri src_bocconi_finaleint_2011_g2__Q14
Numero magico minimo di Leonardo
Leonardo ha scritto un numero magico su una lavagna. Poi ha chiesto a Teresa: i) di disegnare sulla lavagna un triangolo non isoscele e non piatto; ii) di calcolare i sei rapporti fra le lunghezze dei suoi tre lati presi due a due; iii) di osservare quale sia quello più vicino a 1 (è possibile che Teresa lo abbia ottenuto in due modi diversi). Poi Leonardo dice: “Io sapevo che questo rapporto sarebbe stato minore di 1”. E Teresa: “tutto qui?”. E Leonardo: “No. Io sapevo anche che sarebbe stato maggiore del numero magico”. Qual è questo numero magico, al massimo? Arrotondato al numero decimale con tre cifre dopo la virgola che sarebbe stato maggiore di 1,414 per , 1,732 per , e 2,236 per .
Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Disuguaglianze Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: Fonte: apri PDF
This is the first time I’ve seen this.
Leonardo wrote a magic number on a board. Then he asked Teresa: (i) to draw on the board a non-isosceles and non-flat triangle; (ii) to calculate the six ratios between the lengths of its three sides taken two by two; (iii) to observe which one is closest to 1 (it is possible that Teresa obtained it in two different ways). Then Leonardo says, “I knew this ratio would be less than 1”. And Teresa: “Is that all there is?” And Leonardo said, “No. I also knew it would be greater than the magic number”. What is this magic number, at most? Rounded to the decimal place with three digits after the comma that would have been greater than 1,414 for , 1,732 for , and 2,236 for .
Answer: src_bocconi_finaleint_2011_g2__Q15
Modi per ricoprire rettangolo 2×7 con domino
Una quadrettatura regolare e orientata, si ricoprono dei rettangoli o quadrati solamente con dei rettangoli o dei quadrati . In quanti modi diversi può essere ricoperto un rettangolo ?
Topic: Combinatoria Metodo: Ricorsione, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2356 Fonte: apri PDF
Mode to cover rectangle 2×7 with domino
A regular and oriented square, covering rectangles or squares only with rectangles or squares. How many different ways can a rectangle be covered?
Answer: 2356 src_bocconi_finaleint_2011_g2__Q16
Dimensioni del campo ovale di Padre Ovo
Il campo di padre Ovo è un rettangolo. Contiene uno stagno ovale (in grigio nella figura) il cui bordo è costituito da quattro archi di cerchio. Ogni arco è tangente a un lato del rettangolo nel suo punto medio e si raccorda tangenzialmente con i due archi vicini. Il raggio dei due archi di sinistra e di destra è di 16 m. Il raggio dei due archi in alto e in basso è di 81 metri. Quali sono la larghezza e la lunghezza del rettangolo, sapendo che sono dei numeri interi di metri? Nota: il centro di un cerchio non è necessariamente posto all’interno del rettangolo.
Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Metodo: Coordinate, Fattorizzazione Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: , , , , , , , (larghezza, lunghezza) Fonte: apri PDF
Dimensions of the oval field of Padre Ovo
Father Ovo’s field is a rectangle. It contains an oval pond (in grey in the figure) whose edge consists of four circular arches. Each arc is tangent to one side of the rectangle at its center point and tangentially connects to the two adjacent arcs. The radius of the two arcs on the left and right is 16 m. The radius of the two arches up and down is 81 meters. What are the width and length of the rectangle, knowing that they are integers of meters? Note: the centre of a circle is not necessarily placed inside the rectangle.
Answer: , , , , , , , (larghezza, lunghezza) src_bocconi_finaleint_2011_g2__Q17
Tre numeri a due cifre con prodotto incrociato
Mattia ha scritto tre numeri di 2 cifre. Ha addizionato tali tre numeri, poi ne ha calcolato il prodotto. La somma dei tre numeri si scrive (con la cifra delle decine e quella delle unità). Questo prodotto si scrive (con la cifra delle migliaia e quella delle decine; le altre due cifre sono degli zeri). Quali sono, in ordine crescente, i tre numeri scelti da Mattia?
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: oppure Fonte: apri PDF
Two-digit numbers with cross product
Mattia wrote three two-digit numbers. He added those three numbers, then calculated the product. The sum of the three numbers is written (with the decimal point and the unit point). This product is written (with the number of thousands and the number of tens; the other two digits are zeros). What are, in increasing order, the three numbers Mattia has chosen?
Answer: oppure src_bocconi_finaleint_2011_g2__Q18