Differenza tra il maggiore e il minore dei numeri di 4 cifre formati con 2, 0, 0, 7
DUE – ZERO – ZERO – SETTE Jacob scrive tutti i numeri di quattro cifre la cui scrittura utilizza un «2», due «0» e un «7» (nessun numero comincia con uno «0»). Sottrae poi il numero più piccolo da quello più grande, di questi numeri. Che risultato ottiene?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 5193 Fonte: apri PDF
Difference between the largest and smallest of the 4-digit numbers formed by 2, 0, 0, 7
DUE ZERO ZERO SEVEN Jacob writes all four-digit numbers whose writing uses a 2, two 0, and a 7 (no number begins with a 0). Subtract the smallest number from the largest number of these numbers. What is the result?
Answer: 5193 src_bocconi_finalenaz_2007__Q01
Completare lo schema collegato in modo che ogni rettangolo sia somma dei due numeri collegati
DA 1 A 2007 Scrivete i numeri 2; 2002; 2003; 2004; 2005 e 2006 nelle caselle della figura in modo che ogni numero scritto in un rettangolo sia la somma dei due numeri con i quali è direttamente collegato.
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Backward, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: Schema completato (vedere figura della soluzione) Fonte: apri PDF
Complete the connected pattern so that each rectangle is the sum of the two connected numbers
DA 1 A 2007 Write the numbers 2; 2002; 2003; 2004; 2005 and 2006 in the boxes in the figure so that each number written in a rectangle is the sum of the two numbers to which it is directly linked.
Answer: Schema completato (vedere figura della soluzione) src_bocconi_finalenaz_2007__Q02
Quante stelle ha visto Luca dopo la caduta?
«VEDERE LE STELLE» Mentre passava i nuovi piattini a rotelle, Luca è caduto e ha preso una bella botta! Per il male, ha visto davvero le stelle! I francesi, in questi casi, dicono di vederne sempre 36. Luca, invece, massaggiandosi il ginocchio, pensa: «se sottraessi dal numero delle stelle che ho visto la metà di quelle che mancano per arrivare a 36, otterrei 24». Quante stelle ha visto Luca?
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Backward Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 28 stelle Fonte: apri PDF
How many stars did Luke see after the fall?
As he was passing the new wheeled plates, Luke fell and got a nice kick! Unfortunately, he did see the stars. The French, in these cases, say they always see 36. Luke, on the other hand, kneeling, thinks, “If I subtract from the number of stars I’ve seen half of those that are missing to 36, I’ll get 24”. How many stars has Luca seen?
Answer: 28 stelle src_bocconi_finalenaz_2007__Q03
Peso di un mattone che pesa 1 kg più un quinto del suo peso
PESANTE COME UN MATTONE Un mattone pesa 1 kg più un quinto del suo peso. Quanto pesa (in grammi) il mattone?
Topic: Algebra Metodo: Backward Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 1250 g Fonte: apri PDF
Weight of a brick weighing 1 kg plus one fifth of its weight
A brick weighs one pound plus a fifth of its weight. How much does the brick weigh?
Answer: 1250 g src_bocconi_finalenaz_2007__Q04
Quante penne hanno insieme Carla e Milena?
LE PENNE Carla dice a Milena: «Se mi dai 4 penne, io ne avrò il doppio di te. Ma se me ne dai 4, sarai tu ad averne il doppio di me». Quante penne hanno insieme Carla e Milena?
Topic: Algebra Metodo: Backward Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Risposta: 24 penne Fonte: apri PDF
How many pens do Carla and Milena have together?
Carla says to Milena, “If you give me four pens, I’ll have twice as many as you. But if you give me four, you’ll have twice as much as I do. How many pens do Carla and Milena have together?
Answer: 24 penne src_bocconi_finalenaz_2007__Q05
Quadrato 3×3 con cifre 1–9, somme di riga uguali e ordini crescenti
DA 1 A 9 Scrivete tutti i numeri da 1 a 9 nelle caselle del quadrato, in modo che:
- la somma dei numeri di ogni riga sia sempre la stessa;
- i numeri di ogni riga siano sistemati in ordine crescente da sinistra a destra;
- i numeri della colonna di sinistra siano sistemati in ordine crescente dall’alto verso il basso.
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: Due soluzioni: righe (1,6,8),(2,4,9),(3,5,7) oppure (1,5,9),(2,6,7),(3,4,8) Fonte: apri PDF
Square 3×3 with digits 19, equal line sums and increasing orders
DA 1 A 9 Write all the numbers from 1 to 9 in the square boxes, so that: - the sum of the numbers in each row is always the same; - the numbers in each row are arranged in increasing order from left to right; - the numbers in the left column are arranged in increasing order from top to bottom.
Answer: Due soluzioni: righe (1,6,8),(2,4,9),(3,5,7) oppure (1,5,9),(2,6,7),(3,4,8) src_bocconi_finalenaz_2007__Q06
Quante caramelle verdi contiene la scatola?
LE CARAMELLE SONO GIALLE E VERDI Una scatola contiene delle caramelle gialle (al limone) e delle caramelle verdi (alla menta). Se aggiungessimo una caramella gialla, le caramelle gialle rappresenterebbero un quarto del contenuto della scatola mentre, se ne togliessimo una, sarebbero solo il quinto del contenuto della scatola. Quante caramelle verdi contiene la scatola?
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Backward Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 24 caramelle verdi Fonte: apri PDF
*How many green candies does the box contain? *
A box contains yellow (lemon) and green (mint) candies. If we added a yellow candy, the yellow candy would represent a quarter of the contents of the box, whereas if we took one out, it would only be a fifth of the contents of the box. How many green candies does the box contain?
Answer: 24 caramelle verdi src_bocconi_finalenaz_2007__Q07
Di quanti passi (di Sara) Sara precede inizialmente l’orco?
I PASSI DELL’ORCO In una notte di temporale – forse per il rumore dei tuoni o forse perché aveva mangiato troppo! – Sergio vede in sogno un orco, di quelli che nelle fiabe vanno a caccia di bambini. Sia l’orco che Sergio impiegano 1 secondo per fare 1 passo ma, per percorrere la distanza coperta dall’orco in 5 passi, Sergio ce ne deve mettere 15. Anche sua sorella Sara impiega 1 secondo per fare 1 passo ma, per percorrere la distanza coperta da Sergio in 2 passi, Sara ce ne deve mettere 3. L’orco è molto grasso e, dopo 8 passi, deve fermarsi per riprendere fiato. Sergio segue allora l’orco che insegue sua sorella Sara che cammina sul sentiero, un po’ più avanti. L’orco fa 8 passi e poi si ferma, affannato, senza essere riuscito a raggiungere Sara, proprio nel momento in cui Sergio si sveglia. Di quanti passi (di Sara), al minimo, Sara precedeva inizialmente l’orco?
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Lettura attenta, Modellizzazione, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: 29 Fonte: apri PDF
How many steps does Sara take before the orc?
In a stormy night, perhaps because of the sound of thunder, or perhaps because he had eaten too much! Sergio dreams of an orc, of those who in fairy tales go hunting children. Both the orc and Sergio take 1 second to take 1 step but, to cover the distance covered by the orc in 5 steps, Sergio has to take 15 steps. Even his sister Sara takes 1 second to take 1 step but, to cover the distance covered by Sergio in 2 steps, Sara must take 3 steps. The orca is very fat and after eight steps, it has to stop to catch its breath. Sergio then follows the orc that chases his sister Sara who walks down the path, a little further. The orc takes 8 steps and then stops, exhausted, unable to reach Sara, just as Sergio wakes up. How many steps (of Sarah), at least, did Sarah initially precede the orc?
Answer: 29 src_bocconi_finalenaz_2007__Q08
Completare le frasi del box indicando quanti multipli di 3, 4 e 5 contiene
ATTENZIONE A QUELLO CHE SCRIVETE In questo box, ci sono …… numeri che sono multipli di 3 In questo box, ci sono …… numeri che sono multipli di 4 In questo box, ci sono …… numeri che sono multipli di 5 Completate le frasi del box con dei numeri (scritti in cifre) in modo che tutte le frasi contenute nel box siano simultaneamente vere.
Topic: Teoria dei Numeri, Logica Metodo: Conteggio Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 6 numeri multipli di 3; 5 numeri multipli di 4; 4 numeri multipli di 5 Fonte: apri PDF
Complete the sentences in the box indicating how many multiples of 3, 4 and 5 it contains
IN THIS box, there are … numbers that are multiples of 3 In this box, there are … numbers that are multiples of 4 In this box, there are … numbers that are multiples of 5 Complete the sentences in the box with numbers (written in numbers) so that all the sentences in the box are simultaneously true.
Answer: 6 numeri multipli di 3; 5 numeri multipli di 4; 4 numeri multipli di 5 src_bocconi_finalenaz_2007__Q09
Quanti numeri, diminuiti della somma delle loro cifre, sono uguali a 2007?
ANCORA, IL 2007! Quanti sono i numeri che, diminuiti della somma delle loro cifre, sono uguali a 2007?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 10 Fonte: apri PDF
*How many numbers, less the sum of their numbers, are equal to 2007? *
It’s 2007 again! How many numbers, minus the sum of their numbers, are equal to 2007?
Answer: 10 src_bocconi_finalenaz_2007__Q10
Trovare il divisore primo di 2^24−3^12 a due cifre e minore di 30
QUANTE RICHIESTE! Trovate il numero che sia un divisore di ma che sia anche primo, composto da due cifre e minore di 30. (Scrivete 0 se pensate che, di numeri con queste caratteristiche, non ce ne siano).
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 13 Fonte: apri PDF
Find the prime divisor of 2^24−3^12 at two digits and less than 30*
What a risk! Find the number that is a multiple of but that is also prime, made up of two digits and less than 30. (Write 0 if you think there are no numbers with these characteristics.)
Answer: 13 src_bocconi_finalenaz_2007__Q11
Coordinate dell’anno 2007 nello schema a triangolo (piramide) dei numeri
LE COORDINATE DEL NOSTRO ANNO Abbiamo messo tutti i numeri degli anni della nostra era in uno schema triangolare:
- una riga è individuata dal primo numero della riga stessa, partendo da sinistra;
- una colonna è individuata dal primo numero della colonna stessa, partendo dall’alto;
- un numero dello schema è dunque individuato da due «coordinate»: il numero della riga e quello della colonna in cui si trova. Ad esempio, 15 ha «coordinate» (10;9). Trovate nello schema le coordinate dell’anno 2007.
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio, Ricorsione Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: Le coordinate del 2007 sono (1937; 729) Fonte: apri PDF
Coordinates of the year 2007 in the triangular (pyramid) scheme of numbers
We have put all the numbers of the years of our era in a triangular scheme: - a row is identified by the first number of the same line, starting from the left; - a column is identified by the first number of the same column, starting from the top; - a number of the scheme is therefore identified by two coordinates: the number of the row and that of the column in which it is located. For example, 15 has coordinates (10;9). Find the coordinates for the year 2007 in the chart.
Answer: Le coordinate del 2007 sono (1937; 729) src_bocconi_finalenaz_2007__Q12
Primo anno dopo il 2007 in cui nel Paese dei Numeri non c’è alcuna nascita
IL PAESE DEI NUMERI Nel Paese dei Numeri, la nascita del primo e unico figlio di ogni coppia è programmata per l’anno il cui numero è uguale a quello dell’anno del matrimonio aumentato della somma delle sue cifre. Per esempio, una coppia che si è sposata nel 2002 ha avuto il figlio nel . Quale sarà il primo anno, dopo il 2007, in cui nel Paese dei Numeri non ci sarà alcuna nascita?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Backward, Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: L’anno è 2022 Fonte: apri PDF
First year after 2007 in which there are no births in the Countries of Numbers
In the country of numbers, the birth of the first and only child of each couple is scheduled for the year whose number is equal to that of the year of marriage plus the sum of its digits. For example, a couple who got married in 2002 had a child in . What will be the first year after 2007 in which there will be no births in Numbers Country?
Answer: L’anno è 2022 src_bocconi_finalenaz_2007__Q13
Migliore prima carta per Angelo nel gioco delle carte che porta sicuramente alla vittoria
IL GIOCO DELLE CARTE Angelo e Desiderio hanno un gioco delle carte che preferiscono di gran lunga rispetto agli altri. Mettono sul tavolo (con le facce ben visibili) i quattro «assi», i quattro «2», i quattro «3» e i quattro «4» e, a turno, prendono una carta. Ad ogni «presa», fanno la somma dei valori delle carte ritirate dal tavolo fino a quel momento (l’«asso» vale 1 punto, il «2» due punti, il «3» tre punti e il «4» quattro punti) sia da Angelo che da Desiderio: vince il primo che raggiunge esattamente 21 punti o che obbliga il suo avversario a superare questo punteggio. La prima mossa tocca ad Angelo: può scegliere se far cominciare Desiderio o se giocare per primo, prendendo una carta. Quale è la scelta migliore per Angelo, che lo porterà sicuramente alla vittoria? (Scrivete il valore della prima carta presa da Angelo o rispondete 0 se, per Angelo, è meglio far cominciare Desiderio).
Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Backward, Casework Abilita: Modellizzazione, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 3 Fonte: apri PDF
Best first card for Angelo in a card game that definitely leads to victory
Angelo and Desiderio have a game of cards that they much prefer to the others. They put the four assi, the four 2, the four 3 and the four 4 on the table (with their faces clearly visible) and, in turn, take a card. At each take, they make the sum of the values of the cards withdrawn from the table until that moment (the ass is worth 1 point, the 2 two points, the 3 three points and the 4 four points) both by Angelo and Desiderio: the first one who reaches exactly 21 points wins or who obliges his opponent to exceed this score. The first move is Angelo’s: he can choose whether to start Desiderio or play first, taking a card. What is the best choice for Angelo, which will surely lead him to victory? (Write the value of the first card taken by Angelo or answer 0 if, for Angelo, it is better to start Desiderio).
Answer: 3 src_bocconi_finalenaz_2007__Q14
Quadrato della lunghezza del segmento AB che divide a metà l’area del triangolo
IL TERRENO DI PADRE NANDO Padre Nando possiede un terreno triangolare i cui lati misurano 65 m, 70 m e 75 m. Decide di dividere il terreno tra i suoi due figli, tracciando una perpendicolare al lato di 70 m, in modo che le due parti del terreno così ottenute abbiano la stessa area. Quale è il quadrato della lunghezza del segmento AB?
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: Fonte: apri PDF
Square of the length of the segment AB dividing the area of the triangle in half
Father Nando owns a triangular plot whose sides measure 65 m, 70 m and 75 m. He decides to divide the land between his two sons, drawing a perpendicular to the side of 70 m, so that the two parts of the land thus obtained have the same area. What is the square of the length of the segment AB?
Answer: src_bocconi_finalenaz_2007__Q15
Numero di triangoli leggibili con due ventagli da 2007 stecche
I VENTAGLI La figura rappresenta due «ventagli» (con quattro stecche) che si sovrappongono come in figura. Considerate ora la stessa situazione, ma con due ventagli di 2007 stecche. Quanti sono i triangoli che ora potreste «leggere» in figura?
Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Conteggio, Ricorsione Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 8.072.216.216 triangoli Fonte: apri PDF
Number of readable triangles with two fans from 2007 spokes
The figure represents two vents (with four spikes) that overlap as shown in the figure. Consider the same situation now, but with two 2007 fans out. How many triangles can you now read in the figure?
Answer: 8.072.216.216 triangoli src_bocconi_finalenaz_2007__Q16
Quanti numeri a 4 cifre sono simmetrici rispetto a un centro nel display a cristalli liquidi
MODESTA, MA SIMMETRICA Nel display di una calcolatrice a cristalli liquidi, ognuna delle cifre da 0 a 9 compare grazie all’illuminazione di alcuni cristalli in una «matrice» prefissata di 7 cristalli liquidi, come si può vedere in figura. Le «matrici» dello schema hanno una spaziatura regolare. Nel display della mia «modesta» calcolatrice, ci sono solo 4 «matrici» (e quindi possono comparire solo numeri di 4 cifre). Quanti di questi numeri, che non comincino con 0, presentano la proprietà di essere simmetrici rispetto a un punto dello schermo (centro di simmetria)? Nota: La cifra 1 compare sempre a destra della «matrice». Nella simmetria, si prendono in considerazione ovviamente solo i cristalli illuminati.
Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Casework, Simmetria Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 31 Fonte: apri PDF
How many 4-digit numbers are symmetrical to a center in the liquid crystal display
MODEL, MAY SIMMETRICAL In a liquid crystal calculator display, each of the digits from 0 to 9 appears by illuminating some crystals in a prefixed matrix of 7 liquid crystals, as can be seen in the figure. The matrix of the pattern has a regular spacing. In the display of my modesta calculator, there are only 4 matrix (and so only 4 digit numbers can appear). How many of these numbers, which do not start with 0, have the property of being symmetrical to a point on the screen (center of symmetry)? Note: The number 1 always appears to the right of the matrix. In symmetry, of course, only illuminated crystals are taken into account.
Answer: 31 src_bocconi_finalenaz_2007__Q17
2007-esima cifra decimale della somma della serie 1/10+2/100+3/1000+…
DOPO LA VIRGOLA Calcoliamo la somma della serie: , ovvero e scriviamo il risultato nel sistema decimale. Otterremo così un numero. Quale sarà la 2007.esima cifra in questo numero, dopo la virgola?
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Telescoping, Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: La 2007-esima cifra è 0 Fonte: apri PDF
2007-th decimal place of the sum of the series 1/10+2/100+3/1000+…
After the VIRGLE we calculate the sum of the series: , or and write the result in the decimal system. That’ll give us a number. What will be the 2007th digit in this number, after the comma?
Answer: La 2007-esima cifra è 0 src_bocconi_finalenaz_2007__Q18