Massimo numero di bambini in ascensore con 10 adulti
L’ASCENSORE Math-City, si sa, è una strana città. Ad esempio, tutti gli adulti hanno lo stesso peso. Anche tutti i bambini lo stesso peso (naturalmente diverso da quello degli adulti). È anche vero che l’ascensore di Math-City può sopportare al massimo il peso di 15 adulti oppure, equivalentemente, di 24 bambini. Quanti bambini, al massimo, possono salire in ascensore con 10 adulti?
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: 8 Fonte: apri PDF
Maximum number of children in elevators with 10 adults
The Math-City elevator, you know, is a strange city. For example, all adults weigh the same. All children also weigh the same weight (naturally different from adults). It is also true that the elevator at Math-City can support a maximum of 15 adults or, equivalently, 24 children. How many children can climb an elevator with 10 adults?
Answer: 8 src_bocconi_finalenaz_2009__Q01
Chi ha rotto il vetro tra Angelo, Desiderio e Nando
IL VETRO ROTTO Angelo, Desiderio e Nando giocano al pallone ma uno dei tre lo tira con troppa foga e rompe un vetro. Quando viene chiesto chi è stato a combinare il guaio, ottiene queste risposte: Angelo: “Sono stato io”. Desiderio: “No, è Nando che ha rotto il vetro”. Nando: “È Angelo che ha tirato il pallone che ha rotto il vetro”. Uno dei tre dice sempre la verità, un altro mente sempre e il terzo … non si sa. Chi ha rotto il vetro?
Topic: Logica Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: Desiderio Fonte: apri PDF
Who broke the glass between Angelo, Desiderio and Nando?
Angel, Desiderio and Nando play ball, but one of the three throws it with too much fire and breaks a glass. When asked who was behind the mess, he gets these answers: “It was me”. Desire: “No, it was Nando who broke the glass”. Nando: “It’s Angelo who pulled the ball that broke the glass”. One of the three always tells the truth, another always lies and the third… you don’t know. Who broke the glass?
Answer: Desiderio src_bocconi_finalenaz_2009__Q02
Quante freccette Amerigo ha messo nella zona bianca
LE FRECCETTE Amerigo, Berto e Carlo giocano a freccette. Si sono costruiti da soli un tabellone in cui c’è una zona nera con 13 punti e una zona bianca da 11. Amerigo, Berto e Carlo hanno tirato in questa partita 6 freccette ciascuno. “Più di 60 ma meno di 66”, risponde Amerigo a proposito del suo punteggio. Quante freccette Amerigo ha messo a segno nella zona bianca?
Topic: Teoria dei Numeri, Logica Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 3 Fonte: apri PDF
How many arrows did Amerigo put in the white area?
Amerigo, Berto, and Carlo are arrows. They’ve built themselves a board where there’s a black zone of 13 points and a white zone of 11. Amerigo, Berto and Carlo each fired six arrows in this game. “More than 60 but less than 66”, Amerigo replies of his score. How many arrows did Amerigo point in the white area?
Answer: 3 src_bocconi_finalenaz_2009__Q03
Ordinare quattro superfici per area crescente
DALLA PIÙ PICCOLA ALLA PIÙ GRANDE Queste quattro superfici sono state disegnate su una stessa carta quadrettata. Ordinatele, in ordine crescente, dalla quella di area più piccola a quella di area più grande.
Topic: Geometria piana Metodo: Conteggio Abilita: Ragionamento geometrico, Stima Area: Geometria Risposta: D, B, A, C Fonte: apri PDF
Ordinate four surfaces per growing area
From the smallest to the largest These four surfaces were drawn on the same square sheet of paper. Order them in increasing order from smaller to larger.
Answer: D, B, A, C src_bocconi_finalenaz_2009__Q04
Valore degli altri due francobolli per ottenere tutti gli interi consecutivi
I SEI FRANCOBOLLI Avete a disposizione sei francobolli. Dei primi quattro, due hanno il valore di 1 Euro e due hanno il valore di 3 Euro (come vedete in figura). Qual è il valore degli altri due sapendo che, con i sei francobolli (e alcuni di loro), si possono ottenere tutti i valori interi consecutivi da 1 Euro a un certo punto in poi (il più grande possibile)? Nota: i due ultimi francobolli possono avere valori diversi.
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 9 - 18 Fonte: apri PDF
Value of the other two stamps to obtain all consecutive integers
You have six stamps. Of the first four, two have a value of 1 Euro and two have a value of 3 Euro (as you can see in the figure). What is the value of the other two, knowing that with the six stamps (and some of them), you can get all consecutive integers from 1 Euro at some point in the future (the largest possible)? Note: the last two stamps may have different values.
Answer: 9 - 18 src_bocconi_finalenaz_2009__Q05
Disporre i numeri da 1 a 16 nella griglia con numeri successivi adiacenti
LA GRIGLIA DEI 16 NUMERI Mettete i numeri interi da 1 a 16 nelle caselle della griglia (un numero per casella). In effetti, due hanno già trovato la loro sistemazione. Attenzione, però: per ogni numero diverso da 16, quello immediatamente superiore va collocato in una casella adiacente (che ha cioè, con la precedente, un lato in comune).
Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Setting the numbers 1 to 16 in the grid with adjacent successive numbers
The grid of 16 Numbers Put the integers 1 to 16 in the grid boxes (one number per box). In fact, two have already found their accommodation. Note, however: for each number other than 16, the immediately higher one must be placed in an adjacent box (i.e. it has a side in common with the previous one).
src_bocconi_finalenaz_2009__Q06
Massimo numero di triangoli non sovrapposti con 7 punti
I TRIANGOLI 5 punti in un piano sono i vertici, al massimo, di 5 triangoli che non si sovrappongono (come in figura). E 7 punti? Quanti triangoli che non si sovrappongono si possono tracciare, al massimo, nel piano con 7 punti?
Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Conteggio, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 9 Fonte: apri PDF
Maximum number of triangles not overlapping with 7 points
TRIANGOLS 5 points in a plane are the vertices, at most, of 5 triangles that do not overlap (as shown in Figure 1). What about seven points? How many non-overlapping triangles can be plotted, at most, in the seven-point plane?
Answer: 9 src_bocconi_finalenaz_2009__Q07
Somma dei quattro numeri dell’ultima colonna nello schema cerchi e quadrati
CERCHI E QUADRATI In ognuno dei quadrati va scritto il risultato (numero naturale) che si ottiene addizionando i numeri naturali scritti nei cerchi che toccano quel quadrato. Il cerchio centrale, così come il cerchio a destra, deve restare vuoto. La somma dei numeri scritti nei cerchi che toccano un quadrato deve essere uguale al numero scritto in quel quadrato. Indicate la somma dei quattro numeri che compaiono nell’ultima colonna a destra.
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 33 Fonte: apri PDF
sum of the four numbers in the last column in the circle and square scheme
In each of the squares, the result (natural number) must be written, which is obtained by adding the natural numbers written in the circles that touch that square. The central circle, as well as the right circle, must remain empty. The sum of the numbers written in circles touching a square must be equal to the number written in that square. Enter the sum of the four numbers in the last column on the right.
Answer: 33 src_bocconi_finalenaz_2009__Q08
Due numeri naturali con somma 203 che usano tutte le dieci cifre
LE DIECI CIFRE Due numeri naturali hanno come somma 203. La scrittura dei due numeri, della loro differenza (il più grande meno il più piccolo) e della loro somma (203) utilizza le dieci cifre da 0 a 9, ognuna una sola volta. Quali sono i due numeri?
Topic: Teoria dei Numeri, Logica Metodo: Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 57 , 146 Fonte: apri PDF
Two natural numbers with the sum of 203 using all ten digits
TEN figures Two natural numbers have the sum of 203. Writing the two numbers, their difference (the largest minus the smallest) and their sum (203) uses the ten digits from 0 to 9, each once. What are the two numbers?
Answer: 57 , 146 src_bocconi_finalenaz_2009__Q09
Area di un quadrato piccolo dato il grande quadrato di area 405
IL QUADRATO MISTERIOSO Un grande quadrato ha l’area di e contiene cinque quadrati più piccoli, uguali, disposti come in figura (che presenta un asse di simmetria tratteggiato). Qual è l’area di un quadrato piccolo?
Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 40 cm² Fonte: apri PDF
Area of a small square given the large square of area 405
A large square has an area of and contains five smaller, equal squares arranged as shown in the figure (which has an axis of stretched symmetry). What’s the area of a small square?
Answer: 40 cm² src_bocconi_finalenaz_2009__Q10
A che ora Carla ha spento le due candele
LE DUE CANDELE Due candele hanno la stessa lunghezza ma la prima si consuma interamente (e in modo regolare) in 5 ore mentre la seconda brucia interamente (anch’essa in modo regolare) in sole 4 ore. Carla accende le candele a mezzogiorno e, quando decide di spegnerle, lo fa per entrambe nello stesso istante. Verifica allora che la parte restante della prima candela è quattro volte più lunga di quel che resta della seconda candela. A che ora Carla ha spento le due candele?
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: h.15 , min 45 Fonte: apri PDF
At what time did Carla turn off the two candles?
Two candles are the same length but the first one burns completely (and regularly) in 5 hours while the second one burns completely (also regularly) in just 4 hours. Carla lights the candles at noon, and when she decides to turn them off, she does so for both at the same time. Then check that the remainder of the first candle is four times longer than the remainder of the second candle. What time did Carla turn off the two candles?
Answer: h.15 , min 45 src_bocconi_finalenaz_2009__Q11
Numero di tre cifre in ordine decrescente con anagrammi multipli
ANAGRAMMI NUMERICI L’anagramma di un numero è un numero composto dalle stesse cifre disposte in ordine (eventualmente) diverso. Per esempio, il numero 120 ha quattro anagrammi: 102, 120, 201 e 210 (la scrittura di un numero non comincia mai per 0). Adesso avete un numero di tre cifre che ha (almeno) un anagramma multiplo di 2, (almeno) un anagramma multiplo di 4, … e (almeno) un anagramma multiplo di , con il valore più grande possibile. Qual è questo numero di tre cifre, sapendo che le sue cifre sono disposte in ordine decrescente?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 630 ; 540 (due soluzioni) Fonte: apri PDF
Number of three digits in decreasing order with multiple anagrams
A number diagram is a number composed of the same digits arranged in (possibly) different order. For example, the number 120 has four anagrams: 102, 120, 201, and 210 (the writing of a number never starts with 0). Now you have a three-digit number that has (at least) an anagram multiple of 2, (at least) an anagram multiple of 4, … and (at least) an anagram multiple of , with the largest possible value. What is this three-digit number, knowing that its digits are arranged in descending order?
Answer: 630 ; 540 (due soluzioni) src_bocconi_finalenaz_2009__Q12
Area della stella luminosa nel quadrato di area 111
UNA STELLA LUMINOSA Il quadrato grande, che ha un’area di , è stato diviso in nove quadrati uguali. In ogni quadrato così ottenuto è stato disegnato un quadrato più piccolo, anch’esso diviso in nove quadrati uguali. A questo punto è stata disegnata una stella (vedi figura). Quale è (in ) l’area della stella?
Topic: Geometria piana Metodo: Conteggio Abilita: Ragionamento geometrico, Stima Area: Geometria Risposta: 37 cm² Fonte: apri PDF
Area of the bright star in the square of area 111
A LIGHTING STAR The large square, which has an area of , has been divided into nine equal squares. In each square thus obtained, a smaller square was drawn, also divided into nine equal squares. At this point a star was drawn (see figure). What is (in ) the area of the star?
Answer: 37 cm² src_bocconi_finalenaz_2009__Q13
Area del triangolo ABC diviso dalle tre parallele ai lati
DECOUPAGE DI UN TRIANGOLO Da un punto interno ad un triangolo vengono tracciate le tre parallele ai lati del triangolo. In questo modo, il triangolo è diviso in tre parallelogrammi e tre triangoli più piccoli di area (rispettivamente) , e . Quale è (in ) l’area del triangolo ?
Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 144 cm² Fonte: apri PDF
Area of the triangle ABC divided by the three parallels on the sides
DECOUPAGE OF A TRIANGLE From an inner point in a triangle the three parallels to the sides of the triangle are plotted. Thus, the triangle is divided into three parallelograms and three smaller triangles of area (respectively) , and . What is (in ) the area of the triangle ?
Answer: 144 cm² src_bocconi_finalenaz_2009__Q14
Più piccolo dei due biglietti vincenti consecutivi, uno quadrato perfetto
LA LOTTERIA DEL MATEMATICO I biglietti della Lotteria del matematico sono numerati (senza alcuna interruzione) da 1 a 9999. I biglietti vincenti sono quelli il cui numero può essere separato con un trattino in due parti, in modo che la somma delle cifre scritte a sinistra del trattino sia uguale alla somma delle cifre alla sua destra. Ad esempio i numeri 33, 440 e 2024 sono vincenti perché ; ; . Milena acquista due biglietti con due numeri consecutivi di 4 cifre e con grande gioia ottiene due premi. I suoi due biglietti sono infatti vincenti e uno dei due numeri è il quadrato di un numero intero. Qual è il più piccolo dei due numeri?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 3249 Fonte: apri PDF
Smaller than two consecutive winning tickets, a perfect square
The numbers of the Mathematical Lottery tickets are numbered (without interruption) from 1 to 9999. The winning cards are those whose number can be separated by a dash in two parts, so that the sum of the numbers written on the left of the dash is equal to the sum of the numbers on its right. For example, numbers 33, 440 and 2024 are winning because ; ; . Milena buys two tickets with two consecutive 4-digit numbers and with great joy receives two prizes. His two tickets are indeed winning and one of the two numbers is the square of an integer. Which is the smaller of the two numbers?
Answer: 3249 src_bocconi_finalenaz_2009__Q15
Sette numeri positivi diversi con somma divisibile per ciascuno, somma minima
W LA DIVISIBILITA’ Scrivete (in ordine crescente) 7 numeri positivi, tutti diversi tra loro e tali che la loro somma risulti divisibile per ognuno dei 7 numeri, essendo la più piccola possibile.
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 1-2-3-4-6-8-24 ; 1-2-3-6-8-12-16 (due soluzioni) Fonte: apri PDF
Seven different positive numbers with sum divisible by each, minimum sum
W THE DIVISIbility Write (in increasing order) 7 positive numbers, all different from each other and such that their sum is divisible by each of the 7 numbers, being the smallest possible.
Answer: 1-2-3-4-6-8-24 ; 1-2-3-6-8-12-16 (due soluzioni) src_bocconi_finalenaz_2009__Q16
Tre numeri in progressione aritmetica con A+B, B+C, C+A quadrati
IN PROGRESSIONE I tre numeri interi , e (con ) sono in progressione aritmetica. Inoltre i numeri , e sono tutti e tre dei quadrati. Quanto valgono , , ?
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: A = 482, B = 3362, C = 6242 Fonte: apri PDF
Three numbers in arithmetic progression with A+B, B+C, C+A squares
IN PROGRESS The three integers , and (with ) are in arithmetic progression. Furthermore, the numbers , and are all three squares. How much are , , ?
Answer: A = 482, B = 3362, C = 6242 src_bocconi_finalenaz_2009__Q17
Numero a tre cifre che dà la lista più lunga sommando i quadrati delle cifre
IL QUADRATO IN QUADRATO Scegliete un numero naturale che sia al massimo di tre cifre e lo scrivete. Poi, sommate i quadrati delle sue cifre: otterrete un secondo numero. Con lui ricominciate l’operazione, che consiste nell’addizionare i quadrati delle cifre e scrivere il risultato. E così via, fino a quando ottenete come risultato un numero già scritto. Ad esempio: Quale numero darà la lista più lunga?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Ricorsione, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 12 soluzioni: 369 – 396 – 629 – 692 – 926 – 962 – 667 – 676 – 766 – 799 – 979 – 997 Fonte: apri PDF
Three-digit number giving the longest list by summing the squares of the digits
SQUARE IN SQUARE Choose a natural number that is not more than three digits and write it down. Then you add the squares of its digits, you get a second number. With it, you start the operation again, which is adding the squares of the numbers and writing the result. And so on, until you get a number that’s already written. For example: Which number will give the longest list?
Answer: 12 soluzioni: 369 – 396 – 629 – 692 – 926 – 962 – 667 – 676 – 766 – 799 – 979 – 997 src_bocconi_finalenaz_2009__Q18