Quattro orologi: che ora è adesso?
Siamo in una delle aule dove si svolge la finale nazionale dei “Campionati di Giochi Matematici”, tra le 2 e le 3 di pomeriggio.
Il disegno mostra, in questo istante, i quattro orologi che sono presenti nell’aula. Uno è fermo. Dei tre che funzionano, uno è indietro (di meno di un’ora), un altro indica l’ora esatta e un altro ancora è avanti (di meno di un’ora).
Che ore sono in questo momento?
Topic: Logica, Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Ragionamento geometrico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 14 h 30 m (anche 2:30 del pomeriggio) Fonte: apri PDF
Four watches: what time is it now?
We’re in one of the classrooms where the National Mathematical Games Championships final is taking place between 2 and 3 p.m.
The drawing shows, at this moment, the four watches that are present in the classroom. One is still. Of the three that work, one is behind (less than an hour), another indicates the exact time and another is ahead (less than an hour).
What time is it right now?
Answer: 14 h 30 m (anche 2:30 del pomeriggio) src_bocconi_finalenaz_2010__Q01
Fiammiferi da togliere per eliminare tutti i quadrati
Con 12 fiammiferi, Lucia ha costruito una figura che contiene 5 quadrati: quello grande e 4 più piccoli. Se leva un qualsiasi fiammifero, le restano 3 quadrati.
Quanti fiammiferi deve levare, al minimo, perché non ne rimanga nessuno?
Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 3 Fonte: apri PDF
Flamme trees to be removed to remove all squares
With 12 matches, Lucia built a figure that contains 5 squares: the larger one and 4 smaller ones. If you lift any match, you’ve got three squares left.
How many matches must he take, at least, because there is none left?
Answer: 3 src_bocconi_finalenaz_2010__Q02
Numeri dispari leggibili nella sequenza di cifre 1234567
Nella sequenza di cifre 1234567, si possono leggere dodici numeri pari: 2, 4, 6, 12, 14, 56, 234, 456, 1234, 3456, 23456, 123456. Come vedete, si possono leggere anche numeri di più cifre ma queste vanno considerate nello stesso ordine in cui compaiono nella sequenza iniziale e senza “saltarne” in mezzo nessuna.
Seguendo le stesse regole, quanti numeri dispari si possono leggere?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 16 Fonte: apri PDF
Extraordinary numbers readable in the sequence of numbers 1234567
In the sequence of numbers 1234567, twelve even numbers can be read: 2, 4, 6, 12, 14, 56, 234, 456, 1234, 3456, 23456, 123456. As you can see, you can also read numbers with multiple digits, but these should be considered in the same order as they appear in the initial sequence and without “jumping” in the middle of any.
Following the same rules, how many odd numbers can you read?
Answer: 16 src_bocconi_finalenaz_2010__Q03
Il consueto découpage: tagliare figura in due parti uguali
Evidenziate alcune delle linee tratteggiate in modo da suddividere la figura in due parti uguali.
(Due parti sono considerate uguali se si possono sovrapporre, eventualmente ruotandole o ribaltandole.)
Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Simmetria, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
The usual decoupage: cut the figure into two equal parts
Show some of the lines drawn so as to divide the figure into two equal parts.
(Two parts are considered equal if they can be overlapped, possibly by rotating or flipping them.)
src_bocconi_finalenaz_2010__Q04
Un passo di cultura: quanti libri ha la biblioteca di Caldè?
La biblioteca di Caldè possiede molti libri. Edoardo ne ha letti nel 1988; Dario 2010; Patrizio 2022. “Vi siete sbagliati” — sentenzia Nando — e in particolare quello che ha contato il numero più vicino a quello esatto si è sbagliato di 3, un altro di 9 e l’altro di 25.
Quanti libri possiede esattamente la biblioteca di Caldè?
Topic: Teoria dei Numeri, Logica Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Stima, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2013 Fonte: apri PDF
One step towards culture: how many books does the library of Calde have?
Calde’s library has many books. Edward read about it in 1988; Darius 2010; Patricius 2022. “You’re wrong” judges Nando and in particular the one who counted the number closest to the right one was wrong by 3, another by 9 and the other by 25.
How many books exactly does Calde’s library own?
Answer: 2013 src_bocconi_finalenaz_2010__Q05
Cifre 2, 0, 1, 0: quanti altri numeri di 2, 3, 4 cifre?
Sergio possiede i quattro gettoni che compaiono in figura, con i quali ha formato il numero 2010. Disponendoli in altro modo, può naturalmente formare altri numeri.
Quanti altri numeri di 2, di 3 e di 4 cifre può complessivamente formare?
Nota: un numero di 2, 3 o 4 cifre non può cominciare con 0.
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 15 Fonte: apri PDF
*Numbers 2, 0, 1, 0: how many other numbers of 2, 3, 4 digits? *
Sergio owns the four tokens that appear in the figure, with which he formed the number 2010. By arranging them differently, it can naturally form other numbers.
**How many other numbers of 2, 3 and 4 digits can it make together? **
Note: A number of 2, 3 or 4 digits cannot start with 0.
Answer: 15 src_bocconi_finalenaz_2010__Q06
Allineati: disporre interi 2-8 su segmenti con somma 12
Collocate i numeri interi da 2 a 8 (considerati una e una sola volta) in modo che sempre la somma di tutti i numeri che stanno su uno stesso segmento sia uguale a 12.
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Simmetria Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
Aligned: place integers 2-8 on segments with sum of 12
**Switch the integers from 2 to 8 (consider once and only once) so that the sum of all the numbers on the same segment is always equal to 12. **
src_bocconi_finalenaz_2010__Q07
Parallelogrammi formati da tre fasci di rette parallele
Tracciate due rette parallele, poi altre tre rette parallele tra loro in seconda direzione e infine quattro rette ancora parallele tra loro ma nella terza direzione diversa dalle due precedenti.
In figura, quanti parallelogrammi al massimo vedete?
Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 27 Fonte: apri PDF
Parallelograms consisting of three beams of parallel lines
Draw two parallel lines, then three parallel lines in the second direction, and finally four parallel lines in the third direction, different from the previous two.
**In the figure, how many parallelograms at most do you see? **
Answer: 27 src_bocconi_finalenaz_2010__Q08
Eleven: intero uguale a 11 volte la somma delle sue cifre
Elena ha trovato un numero intero (che ha chiamato “eleven”) che risulta uguale a 11 volte la somma delle sue cifre.
Chi è?
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: 198 Fonte: apri PDF
Eleven: an integer equal to 11 times the sum of its digits
Elena found an integer (which she called “eleven”) that is equal to 11 times the sum of its digits.
Who is it?
Answer: 198 src_bocconi_finalenaz_2010__Q09
Bilancia in equilibrio con addizione vera
Guardate la bilancia che compare in figura e trascurate i pesi di tutti gli elementi che la compongono (naturalmente anche dei due piatti della bilancia — tra cui quello superiore triangolare — sono distanziati regolarmente tra loro). Ognuno di loro sopporta un peso.
Sostituite agli ”?” un numero intero di kg (eventualmente ripetuto) scelto tra 1, 2, 3, \ldots, , in modo che la bilancia sia in equilibrio e che l’addizione sia esatta.
Nell’addizione, i due ”?” al secondo membro saranno letti come un numero di due cifre; per esempio e risulta verificata perché .
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: 7+7=14 oppure 4+8=12 Fonte: apri PDF
- Balance with true addition*
Look at the balance shown in the figure and ignore the weights of all the elements that make up the balance (of course, even the two plates of the balance including the upper triangular one are regularly spaced apart). Each one of them bears a burden.
Replace the ”?” with an integer of kg (if any repeated) chosen between 1, 2, 3, \ldots, , so that the balance is balanced and the addition is accurate.
In the addition, the two ”?” to the second member will be read as a two-digit number; for example and is verified because .
Answer: 7+7=14 oppure 4+8=12 src_bocconi_finalenaz_2010__Q10
Km massimi in bicicletta in tre ore e mezzo
Giovanni ha terminato una passeggiata in bicicletta della durata di tre ore e mezza. In ogni intervallo di tempo di 1 ora, ha percorso 12 km.
Qual è il numero massimo di km che ha potuto percorrere?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Lettura attenta, Stima, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 48 Fonte: apri PDF
Maximum cycling distance in three and a half hours
John finished a three-and-a-half-hour bike ride. In each one-hour interval, he traveled 12 kilometers.
What is the maximum number of kilometres you could have walked?
Answer: 48 src_bocconi_finalenaz_2010__Q11
Somma+differenza+prodotto+quoziente di due interi = 450
Addizionate la somma, la differenza (positiva), il prodotto e il quoziente di due numeri interi positivi.
Se ottenete 450, quali sono questi due numeri (scritti in ordine crescente)?
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: (2, 100) oppure (4, 72) oppure (14, 28) Fonte: apri PDF
sum+difference+product+coefficient of two integers = 450
Add the sum, difference (positive), product and quotient of two positive integers.
If you get 450, what are these two numbers (in ascending order)?
Answer: (2, 100) oppure (4, 72) oppure (14, 28) src_bocconi_finalenaz_2010__Q12
Prima cifra di Laura per guadagnare almeno 15 Euro
All’inizio del gioco, Laura e Matteo mettono sul tavolo 8 Euro ciascuno. Il gioco ha inizio con Laura che scrive una cifra scelta tra 1 e 6 (inclusi). Poi, Matteo ne aggiunge un’altra e così via (le cifre possono essere anche ripetute). Ogni volta che Matteo ha giocato, i due amici verificano se le cifre scritte finora formano un multiplo di 9; se non lo è, Laura prende 5 Euro dal tavolo e il gioco continua; se invece lo è, Matteo rende quello che c’è sul tavolo e il gioco finisce.
Quale deve essere la prima cifra scritta da Laura se vuole essere sicura di prendere dal tavolo almeno 15 Euro, indipendentemente da come gioca Matteo?
Topic: Teoria dei Numeri, Logica, Combinatoria Metodo: Invarianti, Casework Abilita: Lettura attenta, Ragionamento geometrico, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2 Fonte: apri PDF
Laura’s first figure to earn at least €15
At the beginning of the game, Laura and Matteo put on the table eight euros each. The game begins with Laura writing a number chosen between 1 and 6 (included). Then, Matthew adds another and so on (the numbers can also be repeated). Every time Matteo has played, the two friends check whether the numbers written so far form a multiple of 9; if not, Laura takes 5 Euros from the table and the game continues; if it is, Matteo makes what’s on the table and the game ends.
What should be the first number Laura writes if she wants to be sure to take at least 15 euros from the table, no matter how Matteo plays?
Answer: 2 src_bocconi_finalenaz_2010__Q13
Prodotti di numeri consecutivi: quanti divisibili per 3
Moltiplicate in tutti i modi possibili due numeri diversi scelti tra 1, 2, 3, \ldots, 19, 20 e segnate i risultati pari così ottenuti. Se un risultato è stato ottenuto più di una volta, sarà però segnato solo una volta.
Quanti di questi risultati sono divisibili per 3?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework, Doppio conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 43 Fonte: apri PDF
Products of consecutive numbers: quantities divisible by 3
Multiply in every possible way two different numbers chosen between 1, 2, 3, \ldots, 19, 20 and mark the even results thus obtained. However, if a result has been obtained more than once, it will be scored only once.
**How many of these results are divisible by 3? **
Answer: 43 src_bocconi_finalenaz_2010__Q14
Salvadanai: valori singoli dalle somme a coppie annotate
Paolo possiede un certo numero di salvadanai, ciascuno dei quali contiene un numero intero di Euro. Si diverte allora a calcolare la somma degli Euro contenuti in ogni paio dei suoi salvadanai e su un quaderno annota i risultati ottenuti: 40, 48, 62, 75, 82, 100, 130 (qualcuno di questi numeri è stato annotato due volte perché ottenuto due volte).
Scritti in ordine crescente, le quantità di Euro contenute nei diversi salvadanai.
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: 13, 27, 35, 65, 65 Fonte: apri PDF
Salvadanai: single values from sums in pairs marked
Paul has a number of salvadanai, each containing an entire Euro. He then entertains himself by calculating the sum of the Euros contained in each pair of his salvadanai and on a notebook he notes the results obtained: 40, 48, 62, 75, 82, 100, 130 (some of these numbers have been annotated twice because obtained twice).
In increasing order, the quantities of Euro contained in the various Salvadanian currency units.
Answer: 13, 27, 35, 65, 65 src_bocconi_finalenaz_2010__Q15
Giardino triangolare con angolo doppio ottuso: perimetro minimo
Rosi ha un giardino triangolare in cui un angolo è il doppio di un altro, mentre il terzo è un angolo ottuso. La misura dei tre lati è data da un numero intero di metri.
Qual è, al minimo, il perimetro del giardino di Rosi?
Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri, Trigonometria Metodo: Casework, Estremalità, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Stima, Manipolazione algebrica Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 77 Fonte: apri PDF
Triangular garden with double corner enclosure: minimum perimeter
Rosi has a triangular garden in which one corner is twice the other, while the third is an octagonal corner. The measurement of the three sides is given by an integer number of meters.
What is the minimum perimeter of Rosi’s garden?
Answer: 77 src_bocconi_finalenaz_2010__Q16