Quante carte rosse nel mazzetto di sotto
In un mazzo di 52 carte, le carte sono nere e rosse e le carte nere sono tante quante le rosse. Le 52 carte sono state divise in due mazzetti di 26 carte e in quello sopra ci sono 18 carte nere. Quante carte rosse ci sono nel mazzetto di sotto?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 18 Fonte: apri PDF
How many red cards are in the bottom bracket
In a deck of 52 cards, the cards are black and red and the black cards are as many as the red ones. The 52 cards were divided into two sets of 26 cards and the one above is 18 black cards. How many red cards are in the drawer below?
Answer: 18 src_bocconi_finalenaz_2011__Q01
Quattro regine che non si minacciano nella mini-scacchiera
Nel gioco degli scacchi, la regina si può spostare orizzontalmente, verticalmente o in diagonale di un qualunque numero di caselle, a condizione che non trovi nessun altro pezzo sul suo percorso. Così, la regina posta nella mini-scacchiera della figura di destra può spostarsi in tutte le caselle grigie.
Anzichè quattro caselle della mini-scacchiera della figura di destra dove collocate quattro regine in modo che nessuna di loro con una mossa possa spostarsi nella casella indicata con X.
Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: (vedi figura soluzione) Fonte: apri PDF
Four queens who don’t threaten each other in the mini chessboard.
In the game of chess, the queen can move horizontally, vertically or diagonally of any number of boxes, provided she finds no other piece along her path. So, the queen placed in the mini-chessboard of the figure on the right can move into all the grey boxes.
Instead of four boxes of the mini-chessboard in the figure on the right where you place four queens so that none of them can move in the box marked with X with one move.
Answer: (vedi figura soluzione) src_bocconi_finalenaz_2011__Q02
Addizione con otto gettoni cifre 0,1,1,2,6,9,6 uguale a 2011
Utilizzando gli otto gettoni della figura, scrivete un’addizione il cui risultato sia uguale a 2011. Elaborazione: però un gettone con il «6», girandolo, può diventare un gettone con il «9» e viceversa. Dovete usare tutti i gettoni e nessun numero può cominciare con 0.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1012+999 oppure 1092+919 oppure 1099+912 (ciascuna è una sola delle quattro soluzioni) Fonte: apri PDF
Addition with eight digit tokens 0,1,1,2,6,9,6 equal to 2011
Using the eight tokens in the figure, write an addition that is equal to 2011. Elaboration: however, a token with the 6, by rotating it, can become a token with the 9 and vice versa. You have to use all the tokens and no number can start with 0.
Answer: 1012+999 oppure 1092+919 oppure 1099+912 (ciascuna è una sola delle quattro soluzioni) src_bocconi_finalenaz_2011__Q03
Quante volte Jacob schiaccia il tasto della calcolatrice
La calcolatrice di Jacob ha uno strano tasto. Quando lo si schiaccia, la calcolatrice fa apparire il più grande numero intero che non supera la metà del precedente numero. Ad esempio, se questo era 1000, fa comparire 500; se il numero iniziale era 333, schiacciando il tasto compare 156. Adesso sulla calcolatrice figura il numero 2011. Quante volte Jacob deve schiacciare il tasto perché sullo schermo della calcolatrice compaia il numero 9?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: Jacob dovrà schiacciare il tasto 11 volte Fonte: apri PDF
How many times does Jacob press the computer button?
Jacob’s calculator has a strange key. When you squeeze it, the calculator shows the largest integer not exceeding half the previous number. For example, if this was 1000, it makes 500 appear; if the initial number was 333, pressing the button makes 156. Now the number on the calculator is 2011. How many times does Jacob have to push the button to get the number 9 on the computer screen?
Answer: Jacob dovrà schiacciare il tasto 11 volte src_bocconi_finalenaz_2011__Q04
Quanti cubetti inutilizzati per costruire la piramide
Con 111 cubetti uguali tra loro, Desiderio vuole realizzare una piramide a base quadrata dove ogni cubetto, a partire dal secondo livello dal basso, poggia su quattro cubetti del livello inferiore (come in figura). Quanti cubetti rimarranno inutilizzati?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: Non verranno utilizzati 20 cubetti Fonte: apri PDF
How many unused cubes were used to build the pyramid
With 111 cubes equal to each other, Desiderio wants to create a square-based pyramid where each cubet, starting from the second level from the bottom, rests on four cubes of the lower level (as in the figure). How many buckets will be left unused?
Answer: Non verranno utilizzati 20 cubetti src_bocconi_finalenaz_2011__Q05
Dividere figura in tre parti sovrapponibili
Dividete la figura in tre parti perfettamente sovrapponibili (per sovrapporle le parti della figura è possibile che qualcuna di loro vada ruotata).
Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Simmetria, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione, Lettura attenta Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: (vedi figura soluzione) Fonte: apri PDF
To divide the figure into three overlapping parts
Divide the figure into three perfectly overlapping parts (by overlapping the parts of the figure it is possible for any of them to rotate).
Answer: (vedi figura soluzione) src_bocconi_finalenaz_2011__Q06
Numero minimo di mosse nel puzzle con casella vuota
In questo gioco si può spostare nella casella vuota un quadratino situato al suo fianco. Per esempio, nella situazione rappresentata nella figura di sinistra, si può spostare nella casella vuota il quadratino «3» o il quadratino «2». In quante mosse, al minimo, si può passare dalla situazione della figura di sinistra a quella della figura di destra (che sia impossibile effettuare la trasformazione precedente)?
Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Casework, Backward Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: Ci vorranno 10 mosse Fonte: apri PDF
Minimum number of moves in the empty box puzzle
In this game you can move a square located next to it into the empty box. For example, in the situation shown in the figure to the left, you can move the square 3 or square 2 into the empty box. In how many moves, at least, can you move from the position of the figure on the left to that of the figure on the right (which is impossible to make the previous transformation)?
Answer: Ci vorranno 10 mosse src_bocconi_finalenaz_2011__Q07
Quale tra i due numeri scelti è il più grande
Carla, Milena e io (tre zio) siamo seduti attorno al tavolo su cui sono collocate 11 carte numerate da 1 a 11. Io ne scelgo mentalmente due, poi si avvicino a Carla e le dice nell’orecchio: «la somma dei due numeri che ho scelto è uguale a ». Allo stesso modo, suggerisce in via riservata a Milena che «la differenza tra i due numeri scelti (il più grande meno il più piccolo) è uguale a ». A questo punto lo zio chiede a entrambe le ragazze: «sapendo solo i due numeri in questione?». Milena dice: «No: conoscendo solo la loro differenza, non posso saperlo!». Carla, invece: «non lo sapevo neanche io ma, tenuto conto di quello che ha detto Milena, adesso, sì lo so!».
Quali erano i due numeri scelti dallo zio?
Topic: Logica, Combinatoria Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Ragionamento geometrico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: (vedi soluzioni) Fonte: apri PDF
Which of the two numbers chosen is the largest
Carla, Milena, and I (three uncles) are sitting around a table with 11 cards numbered from 1 to 11. I choose two of them mentally, then she comes up to Carla and says in her ear, The sum of the two numbers I’ve chosen is equal to . Similarly, he suggests in a way reserved for Milena that the difference between the two numbers chosen (the largest minus the smallest) is equal to . At this point the uncle asks both girls: Knowing only the two numbers in question?. Milena says, “No, knowing only their differences, I can’t know!” Carla, on the other hand: I didn’t know that either, but considering what Milena said, now, yes, I know!
What were the two numbers Uncle picked?
Answer: (vedi soluzioni) src_bocconi_finalenaz_2011__Q08
Somma dei naturali consecutivi già calcolata da Debora
Debora calcola la somma di tutti i numeri naturali (consecutivi) a partire da : e osserva che la somma ottenuta è già stata addizionata da lei.
Quanti numeri aveva addizionato Debora?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: Debora ha addizionato 36 numeri Fonte: apri PDF
Summary of consecutive natural numbers already calculated by Debora
Deborah calculates the sum of all natural numbers (consecutive numbers) starting from : and notes that the sum obtained has already been added by her.
How many numbers did Deborah add?
Answer: Debora ha addizionato 36 numeri src_bocconi_finalenaz_2011__Q09
Quanti km in senso orario dalla quinta alla prima città
Cinque città sono situate sulla stessa strada circolare e si possono raggiungere andando in un senso o nell’altro. In particolare, per andare da una città all’altra in senso orario o antiorario, ogni volta si trovano numeri interi diversi tra di loro. Andando dalla prima alla seconda, si percorrono 9 km. Andando dalla terza alla quarta, si percorrono 11 km in senso orario e 7 km in senso antiorario. Andando dalla quinta alla quarta in senso orario, si percorrono 20 km. Quanti km si trovano per andare in senso orario dalla quinta città alla prima?
Topic: Teoria dei Numeri, Geometria piana Metodo: Casework, Coordinate Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Risposta: Il numero richiesto è 44 Fonte: apri PDF
How many km/h from fifth to first city
Five cities are located on the same circular road and can be reached in one direction or another. Specifically, to go from one city to another in a clockwise or counterclockwise direction, you find each time different integers between them. Going from first to second, you walk 9 kilometers. From the third to the fourth, they travel 11 km clockwise and 7 km counterclockwise. Going from 5th to 4th clockwise, they travel 20 kilometers. How many miles are there to go clockwise from fifth city to first?
Answer: Il numero richiesto è 44 src_bocconi_finalenaz_2011__Q10
Valore di n per cui la somma dei primi n dispari dà quattro cifre uguali
La somma dei primi numeri dispari consecutivi a partire da è . Un numero di quattro cifre tutte uguali è del tipo . Per quale valore di si ottiene un numero di quattro cifre tutte uguali?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: Il numero richiesto è 41 Fonte: apri PDF
Value of n for which the sum of the first n odd numbers gives four equal digits
The sum of the first consecutive odd numbers starting with is . A number of four digits all equal is of the type . For what value of is a four-digit number all equal?
Answer: Il numero richiesto è 41 src_bocconi_finalenaz_2011__Q11
Distanza tra i punti medi delle basi del trapezio
Le due basi di un trapezio misurano, rispettivamente, 1515 cm e 1213 cm. Gli angoli adiacenti alla base maggiore sono complementari (la loro somma vale ). Qual è la distanza tra i punti medi delle due basi?
Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Risposta: La distanza è 248 cm Fonte: apri PDF
Distance between the median points of the trapezoid bases
The two bases of a trapezoid measure, respectively, 1515 cm and 1213 cm. The angles adjacent to the main base are complementary (their sum is ). What is the distance between the middle points of the two bases?
Answer: La distanza è 248 cm src_bocconi_finalenaz_2011__Q12
Due numeri di tre cifre il cui prodotto è 222.222
Scrivete in ordine crescente due numeri interi positivi, ciascuno di tre cifre, il cui prodotto è uguale a .
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: , , , (i fattori non possono essere invertiti) Fonte: apri PDF
Two three-digit numbers whose product is 222.222
Write in increasing order two positive integers, each of three digits, whose product is .
Answer: , , , (i fattori non possono essere invertiti) src_bocconi_finalenaz_2011__Q13
Anni consecutivi compatibili con somma delle cifre che divide
Due anni sono compatibili quando sono consecutivi e la somma delle cifre del primo divide il secondo. Ad esempio, 2011 e 2012 sono compatibili perché 4 (somma delle cifre di 2011) divide 2012. Anche 2015 e 2016 sono compatibili perché 8 divide 2016. Quali saranno i due anni compatibili successivi?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: I due anni compatibili sono 2045 e 2046 Fonte: apri PDF
Sequential years compatible with sum of the digits dividing
Two years are compatible when they are consecutive and the sum of the digits of the first divides the second. For example, 2011 and 2012 are compatible because 4 (sum of figures for 2011) divides 2012. Also 2015 and 2016 are compatible because 8 divides 2016. What will be the next two compatible years?
Answer: I due anni compatibili sono 2045 e 2046 src_bocconi_finalenaz_2011__Q14
Distanza BC nel triangolo con mediane uguali
Nel triangolo , le mediane tracciate da e da sono rispettivamente uguali. Vale inoltre che . Calcolate in cm la distanza .
Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Risposta: La distanza è 10 cm Fonte: apri PDF
Distance BC in the triangle with equal medians
In the triangle, the medians traced by and are equal, respectively. It also applies . Calculate the distance in cm.
Answer: La distanza è 10 cm src_bocconi_finalenaz_2011__Q15
Età del professor Renato dalla successione di Fibonacci
Il professor Renato ha dei figli e dei nipoti e ai colleghi invitati alla festa per il suo compleanno ha precisato: «L’età dei miei figli e dei miei nipoti, tra i quali non ci sono rapporti genitoriali, appartiene alla successione di Fibonacci: a partire dal terzo termine, ciascun termine è la somma dei due precedenti. Inoltre, la mia età è uguale alla somma dell’età dei miei figli e dei miei nipoti.»
Allo stesso modo, Nardò, che conosceva l’età del professor Renato ma non quella dei membri della sua famiglia, interviene allora per dichiarare: «Allora ho già alimentato i nostri nipoti!»
Qual è l’età del professor Renato?
Topic: Teoria dei Numeri, Logica Metodo: Casework, Ricorsione Abilita: Lettura attenta, Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: Il prof. Renato ha 88 anni Fonte: apri PDF
Professor Renato’s age from the Fibonacci sequence
Professor Renato has children and grandchildren and to colleagues invited to the party for his birthday he specified: The age of my children and grandchildren, among whom there are no parental relations, belongs to the Fibonacci sequence: starting from the third term, each term is the sum of the previous two. Furthermore, my age is equal to the sum of the ages of my children and grandchildren.
Similarly, Nardo, who knew Professor Renato’s age but not that of his family members, then intervenes to declare: Then I already fed our grandchildren!
How old is Professor Renato?
Answer: Il prof. Renato ha 88 anni src_bocconi_finalenaz_2011__Q16
Lunghezza della barriera AB sull’isola rotonda
Desiderio possiede un’isola perfettamente rotonda sulla quale ha collocato quattro barriere perfettamente rettilinee. L’obiettivo di queste barriere è di coprire il bordo dell’isola. Nella figura c’è anche uno stagno, anch’esso perfettamente rotondo, tangente alle quattro barriere. La situazione è illustrata dalla figura che però non rispetta le dimensioni; sono comunque indicate le lunghezze di due barriere (33 m e 77 m) con l’ampiezza dell’angolo da loro formato (). Qual è la lunghezza della barriera ?
Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: La barriera è lunga oppure m Fonte: apri PDF
Length of barrier AB on the round island
Desiderio has a perfectly round island on which he has placed four perfectly straight barriers. The goal of these barriers is to cover the edge of the island. In the figure there is also a pond, also perfectly round, tangent to the four barriers. The situation is illustrated by the figure which does not respect the dimensions; however, the lengths of two barriers (33 m and 77 m) with the width of the angle formed by them () are indicated. What is the length of the barrier?
Answer: La barriera è lunga oppure m src_bocconi_finalenaz_2011__Q17