Completare un quadrato 4x4 con uno 0, due 1 e un 2 per riga e colonna.
Completate il quadrato in modo che ogni riga e ogni colonna contenga uno “0”, due “1” e un “2”.
Topic: Logica, Combinatoria Metodo: Casework Abilita: Casework accurato, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: Fonte: apri PDF
Complete a 4x4 square with a 0, two 1 and a 2 per row and column.
Complete the square so that each row and column contains a “0”, two “1” and a “2”.
Answer: src_bocconi_semifinale_2011__Q01
Inserire 1-8 nella griglia in modo che interi consecutivi non si tocchino.
Collocate tutti i numeri interi da 1 a 8 nella griglia della figura (in realtà, 3,6,8 sono stati già inseriti) in modo che due interi consecutivi non occupino mai caselle che hanno un lato o un vertice in comune.
Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Casework Abilita: Casework accurato, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: con base (3,5 / 1,8 / 7,4,6,2) Fonte: apri PDF
Insert 1-8 into the grid so that consecutive integers do not touch each other.
Place all integers from 1 to 8 in the grid in the figure (actually, 3.6,8 have already been inserted) so that two consecutive integers never occupy boxes that have one side or one vertex in common.
Answer: con base (3,5 / 1,8 / 7,4,6,2) src_bocconi_semifinale_2011__Q02
Minimo numero di mosse per spostare la torre di due cubi sul piedistallo C.
Con ciascuna mossa Anna sposta un cubo, dal piedistallo dove si trova, a quello vicino (alla sua destra o alla sua sinistra). Mai però, in nessuna fase del gioco, il cubo “2” può trovarsi sopra al cubo “1”. Quante mosse sono necessarie ad Anna, al minimo, per ricostruire la torre sul piedistallo C?
Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 8 mosse Fonte: apri PDF
Minimum number of moves to move the two-cube tower on pedestal C.
With each move, Anna moves a cube, from the pedestal where it is located, to the one nearby (to her right or to her left). Never, however, at any stage of the game, can the “2” cube be above the “1” cube. How many moves does it take for Anna, at least, to rebuild the tower on pedestal C?
Answer: 8 mosse src_bocconi_semifinale_2011__Q03
Numero di 5 cifre diverse, non 0 ne 5, crescenti, con somma 20.
Riempite le 5 caselle con 5 cifre diverse. Nessuna può essere uguale a 0 oppure a 5. La loro somma deve essere uguale a 20. Devono infine essere ordinate (da sinistra verso destra) dalla più piccola alla più grande.
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: Due soluzioni: 12368 e 12467 Fonte: apri PDF
Number of 5 different digits, not 0 or 5, increasing, with sum of 20.
Fill the five boxes with five different digits. None can be equal to 0 or 5. Their sum must be equal to 20. Finally, they must be ordered (left to right) from the smallest to the largest.
Answer: Due soluzioni: 12368 e 12467 src_bocconi_semifinale_2011__Q04
Disporre le cifre 1,2,3,4 nell’espressione per ottenere il minimo risultato.
Collocate tutte le cifre 1,2,3,4 nelle caselle della figura in modo da ottenere il più piccolo risultato possibile. La figura è .
Topic: Teoria dei Numeri, Logica Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Casework accurato, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: Fonte: apri PDF
To have the digits 1,2,3,4 in the expression for the minimum result.
Place all the digits 1,2,3,4 in the boxes in the figure to get the smallest possible result. The figure is .
Answer: src_bocconi_semifinale_2011__Q05
Quanti numeri della sequenza di Debora servono per arrivare a 2011.
Debora scrive il numero 1, gli aggiunge 70 e ottiene 71. Poi (invertendo le sue cifre) scrive 17, gli aggiunge 70 e trova 87. Riparte, invertendo le cifre dell’ultimo risultato ottenuto: scrive 78, gli aggiunge 70 e trova 148. Così facendo e continuando, scrive (compreso quello iniziale) i numeri 1,71,87,148,911,…. Quanti sono i numeri di questa sequenza necessari per arrivare a scrivere 2011 (compreso 2011)?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Ricorsione, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 22 numeri Fonte: apri PDF
How many numbers of the Debora sequence do we need to get to 2011.
Deborah writes the number 1, adds 70 and gets 71. Then (reversing his numbers) he writes 17, he adds 70 and he finds 87. It divides, reversing the figures of the last result obtained: it writes 78, adds 70 and finds 148. Doing so and continuing, he writes (including the initial one) the numbers 1.71,87,148,911,… How many numbers of this sequence are needed to get to 2011?
Answer: 22 numeri src_bocconi_semifinale_2011__Q06
Ore in cui tutte e tre le luci delle camere risultano spente in 24 ore.
Nel nostro condominio vivono tre individui. Il primo è un tipo avaro e ogni sera accende la luce della sua camera solo per un’ora, dalle 20 alle 21. Il secondo soffre invece d’insonnia e tiene accesa la luce della camera dalle 23 alle 5 del mattino successivo, per ben sei ore. Il terzo è un tipo curioso: tiene accesa la luce della sua camera quando è accesa la luce di almeno uno dei due condomini oppure quando una di queste luci è stata spenta al massimo da un’ora. In una giornata (di 24 ore), per quante ore le luci delle tre camere risultano tutte spente?
Topic: Logica, Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 15 ore Fonte: apri PDF
Hours in which all three chamber lights are turned off within 24 hours.
There are three individuals living in our condo. The first one is a greedy guy and every night he lights up his room for only an hour, from 8:00 to 9:00. The second suffers instead of insomnia and keeps the room light on from 11 p.m. to 5 a.m. for six hours. The third is a curious type: he keeps his room lit when the lights of at least one of the two condominiums are on or when one of these lights has been off for no more than an hour. How many hours a day (of 24 hours) do the lights in the three rooms all go out?
Answer: 15 ore src_bocconi_semifinale_2011__Q07
Trovare le cifre dei due gettoni scelti da Carla.
Carla e Milena prendono, ciascuna, due gettoni tra i nove che sono sul tavolo e che sono individuati dalle cifre 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Tra i quattro gettoni scelti, quello con la cifra più grande l’ha preso Carla. Succede poi un fatto molto strano: il prodotto delle cifre dei due gettoni di Milena è uguale alla somma di quelle dei gettoni di Carla e il prodotto di queste ultime è uguale alla somma delle cifre dei gettoni di Milena. Quali sono le cifre dei gettoni scelti da Carla?
Topic: Teoria dei Numeri, Logica Metodo: Casework Abilita: Casework accurato, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 1 e 5 (o viceversa) Fonte: apri PDF
Find the digits of the two tokens chosen by Carla.
Carla and Milena take, each, two tokens from the nine that are on the table and that are identified by the digits 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Of the four tokens chosen, the one with the biggest number is Carla’s. Then a very strange fact happens: the product of the digits of the two tokens of Milena is equal to the sum of those of the tokens of Carla and the product of the latter is equal to the sum of the digits of the tokens of Milena. What are the numbers on the tokens Carla chose?
Answer: 1 e 5 (o viceversa) src_bocconi_semifinale_2011__Q08
Lati di un poligono convesso con diagonali pari a 13 volte i lati.
Nel nostro poligono (convesso), il numero delle diagonali è 13 volte quello dei lati. Quanti lati ha il nostro poligono?
Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 29 lati Fonte: apri PDF
Sides of a convex polygon with diagonal equal to 13 times the sides.
In our (convex) polygon, the number of diagonals is 13 times that of the sides. How many sides does our polygon have?
Answer: 29 lati src_bocconi_semifinale_2011__Q09
Eta attuale di Nadia da una serie di relazioni familiari.
Desiderio, il papà di Nadia, ha 58 anni. Jacob (il fratello di Nadia) ha 27 anni mentre la mamma, Fausta, ne ha 22 più della figlia. Quando Desiderio avrà il doppio dell’età di Jacob, Fausta e Nadia avranno complessivamente 100 anni. Quanti anni ha oggi Nadia?
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: 35 anni Fonte: apri PDF
*Nadia’s current age from a series of family relationships.
Desiderio, Nadia’s father, is 58. Jacob (Nadia’s brother) is 27 years old, while her mother, Fausta, is 22 years older than her daughter. When Desiderio is twice Jacob’s age, Fausta and Nadia will be 100 years old. How old is Nadia today?
Answer: 35 anni src_bocconi_semifinale_2011__Q10
Annerire 5 caselle della griglia perche le somme di righe e colonne siano uguali.
Annerite cinque caselle della griglia in figura in modo che, con quelle rimaste, la somma dei numeri di ogni riga e di ogni colonna sia sempre la stessa. La griglia contiene: riga 1: ; riga 2: ; riga 3: ; riga 4: ; riga 5: .
Topic: Combinatoria, Logica, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: Annerire le caselle: (riga1,col1)=25, (riga2,col5)=2, (riga3,col2)=11, (riga4,col3)=13, (riga5,col2)=3 Fonte: apri PDF
Make 5 grid boxes so that the sums of rows and columns are equal.
Strike five grid boxes in the figure so that, with the remaining boxes, the sum of the numbers of each row and each column is always the same. The grid contains: line 1: ; line 2: ; line 3: ; line 4: ; line 5: .
Answer: Annerire le caselle: (riga1,col1)=25, (riga2,col5)=2, (riga3,col2)=11, (riga4,col3)=13, (riga5,col2)=3 src_bocconi_semifinale_2011__Q11
Numeri palindromi di tre cifre che sono anche quadrati perfetti.
Si chiama palindromo un numero che si legge allo stesso modo da sinistra verso destra e da destra verso sinistra. Ad esempio, 252 è un numero palindromo. Marco è tutto contento perché ha trovato alcuni numeri palindromi di tre cifre che sono anche il quadrato di un numero intero. Quali sono i numeri trovati da Marco?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: Tre soluzioni: 121 – 484 – 676 Fonte: apri PDF
Three-digit palindrome numbers which are also perfect squares.
It’s called a palindrome, a number that reads the same way from left to right and right to left. For example, 252 is a palindrome number. Marco is all happy because he found some three-digit palindromes that are also the square of an integer. What are the numbers Marco found?
Answer: Tre soluzioni: 121 – 484 – 676 src_bocconi_semifinale_2011__Q12
Massimo lato del cubo il cui sviluppo laterale sta in un quadrato di 120 cm.
Amerigo ha sviluppato la superficie laterale di un cubo appoggiandola sul piano, all’interno di un quadrato di 120 cm di lato (lo sviluppo della superficie laterale del cubo è “un pezzo unico” composto da 6 quadratini). Quanto misura, al massimo, il lato del cubo di Amerigo? (sostituite a e arrotondate il risultato al cm più vicino).
Topic: Geometria solida, Geometria piana Metodo: Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Stima Area: Geometria Risposta: 34 cm Fonte: apri PDF
Top side of the cube whose lateral development is 120 cm square.
Amerigo developed the lateral surface of a cube by leaning it on the plane, within a square of 120 cm by side (the development of the lateral surface of the cube is “a single piece” consisting of 6 squares). What is the maximum size of the side of Amerigo’s cube? (Replace with and round the result to the nearest cm).
Answer: 34 cm src_bocconi_semifinale_2011__Q13
Ora minima di arrivo insieme a Geocity condividendo una sola bicicletta.
Per andare dalla città di Mathville a quella di Geocity che dista 40 km, Angelo e Pietro hanno a disposizione una bicicletta. Una sola però, su cui non possono salire in due. Angelo cammina ad una velocità di 4 km/h e in bicicletta tiene la velocità di 30 km/h. Quella di Pietro, invece, a piedi è di 6 km/h e di 20 km/h in bicicletta. Se partono insieme alle 8.00 da Mathville, a che ora al più presto arriveranno insieme a Geocity?
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Estremalità Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: ore 12 e 48 minuti Fonte: apri PDF
Minimum arrival time together with Geocity sharing a single bicycle.
To get from the town of Mathville to that of Geocity, which is 40 miles away, Angelo and Pietro have a bicycle at their disposal. One, though, that they can’t ride in two. Angelo walks at a speed of 4 km/h and cycles at 30 km/h. Peter’s, on the other hand, walks 6 km/h and cycles 20 km/h. If they leave together at 8:00 a.m. from Mathville, what time will they arrive together at Geocity as soon as possible?
Answer: ore 12 e 48 minuti src_bocconi_semifinale_2011__Q14
Trovare i due interi positivi la cui combinazione di operazioni dà 88.
Luca considera due numeri interi e positivi. Poi li somma, li moltiplica tra loro, ne fa la differenza (il maggiore meno il minore) e quindi ne calcola la potenza, elevando il primo all’esponente rappresentato dal secondo. Alla fine, Luca somma i quattro risultati così ottenuti e trova 88. Quali erano i due numeri inizialmente considerati da Luca?
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework Abilita: Casework accurato, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: Tre soluzioni: Fonte: apri PDF
Find the two positive integers whose combination of operations gives 88.
Luke considers two positive integers. Then he adds them up, multiplies them, makes the difference (the greater minus the lesser) and then he calculates their power, raising the first to the exponent represented by the second. Finally, Luke adds up the four results and finds 88. What were the two numbers originally considered by Luke?
Answer: Tre soluzioni: src_bocconi_semifinale_2011__Q15
Diametro della quinta sfera piu piccola appoggiata sulle altre quattro.
La maga Liliana ha ricevuto in regalo delle nuove sfere di cristallo con cui esercitarsi a leggere il futuro. Le sfere ricevute in regalo sono quattro e uguali tra loro. Sono appoggiate sul fondo di una scatola a forma di cilindro, che ha un diametro di base di 20 cm, e i loro centri formano un quadrato. Sono tangenti tra loro (a due a due), tangenti alla superficie laterale della scatola e tangenti al coperchio della stessa quando la scatola viene chiusa. La scatola contiene anche una quinta sfera più piccola, appoggiata (sopra) alle quattro precedenti e tangente al coperchio della scatola quando questa viene chiusa. Qual è il diametro della più piccola delle cinque sfere della maga Liliana? (date la risposta in cm, sostituendo a e arrotondando la seconda cifra decimale del risultato al centesimo più vicino).
Topic: Geometria solida, Geometria analitica Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: cm 4,14 Fonte: apri PDF
Diameter of the fifth smallest sphere supported on the other four.
The witch Liliana has been given the gift of new crystal balls to practice reading the future with. The balls received as a gift are four and equal to each other. They lie on the bottom of a cylinder-shaped box, which has a base diameter of 20 cm, and their centers form a square. They are tangent to each other (two to two), tangent to the side surface of the box and tangent to the cover of the box when the box is closed. The box also contains a smaller fifth sphere, leaning (above) the previous four and tangent to the cover of the box when it is closed. What is the diameter of the smallest of the five spheres of the Liliana witch? (give the answer in cm, replacing with and rounding the second decimal digit of the result to the nearest cent).
Answer: cm 4,14 src_bocconi_semifinale_2011__Q16
Minimo diametro del tavolo rotondo perche i tre nasi non si tocchino.
È quella che angustia la famiglia Pinocchi. Il naso del papà Pinocchio misura 40 cm; quello della moglie, Pinocchia, 30 cm mentre quello del loro figlio Pinocchino misura 20 cm. Il problema è che il capofamiglia vuole installare in sala da pranzo una tavola circolare sufficientemente grande perché tutti e tre i componenti della famiglia possano sedersi attorno e girare liberamente la testa senza paura di toccarsi con i nasi. Perché questo succeda, il diametro della tavola deve essere più grande di un certo valore. Qual è il minimo di questo valore? Si suppone che l‘“attaccatura” di ogni naso stia sulla verticale passante per il bordo della tavola e che sia alla stessa altezza delle altre (date la risposta in cm, sostituendo a e a e arrotondando poi il risultato al cm più vicino).
Topic: Geometria piana, Geometria analitica Metodo: Coordinate, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Stima Area: Geometria Risposta: cm 71 Fonte: apri PDF
Minimize the diameter of the round table so that the three noses do not touch each other.
She’s the one who’s been upsetting the Pinocchi family. The nose of Pinocchio’s father measures 40 cm; that of his wife, Pinocchio, 30 cm while that of their son Pinocchio measures 20 cm. The problem is that the head of the family wants to install a circular table large enough in the dining room so that all three members of the family can sit around and turn their heads freely without fear of touching their noses. For this to happen, the diameter of the table must be greater than a certain value. What is the minimum of this value? The ‘attachment’ of each nose is assumed to be on the vertical passing through the edge of the table and to be at the same height as the others (given the answer in cm, replacing with and with and then rounding the result to the nearest cm).
Answer: cm 71 src_bocconi_semifinale_2011__Q17
Minimo numero di mosse per portare un solo gettone alla casella 2011.
Consiste in una striscia illimitata di caselle numerate : 0,1,2,3 … . C’è anche un numero illimitato di gettoni e, a sua volta, ogni casella può contenere un numero illimitato di gettoni. All’inizio del gioco, però, è presente un solo gettone collocato nella casella con il numero 1. Sono possibili due tipi di mosse : si “raddoppia” un gettone (non situato nella casella con il numero 0) sostituendolo con due gettoni collocati nelle caselle adiacenti (uno alla sua sinistra, uno alla sua destra); si elimina un gettone, “raggruppandone” due e sostituendoli con un gettone posto nell’unica casella compresa tra le due. Si vince quando si riesce ad avere un solo gettone e questo è posto nella casella con il numero 2011. Con quante mosse, al minimo, si può vincere? (rispondete 0 se pensate che la domanda sia impossibile).
Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Invarianti, Estremalità Abilita: Modellizzazione, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 5362 mosse Fonte: apri PDF
Minimum number of moves to bring a single token to box 2011.
It consists of an unlimited strip of numbered boxes: 0,1,2,3 … . There is also an unlimited number of tokens and, in turn, each box can contain an unlimited number of tokens. At the beginning of the game, however, there is only one token placed in the box with the number 1. Two types of moves are possible: you ‘double’ a token (not in the box with the number 0) by replacing it with two tokens placed in the adjacent boxes (one to its left, one to its right); you remove a token, ‘group’ two and replace them with a token placed in the only box between the two. You win when you can get a single token, and that’s in the box with the number 2011. How many moves, at least, can you win? (you answer 0 if you think the question is impossible).
Answer: 5362 mosse src_bocconi_semifinale_2011__Q18