Numero di targa letto nello specchietto retrovisore.
Allo specchio
Per il suo compleanno, Desiderio ha ricevuto il regalo di una fiammante bicicletta con un bellissimo specchietto retrovisore. Appena ci sale, sente arrivare alle sue spalle una macchina rossa. Senza girarsi, nello specchietto retrovisore legge il numero di targa che vedete riportato. (Nel riquadro compare la scritta visualizzata specchiata.)
Quale era il numero di targa della macchina rossa?
Topic: Logica Metodo: Simmetria Abilita: Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 5105 Fonte: apri PDF
Led plate number in the rear-view mirror.
In the mirror
For his birthday, Desiderio received a burning bicycle with a beautiful rear-view mirror. As soon as he gets up, he hears a red car coming up behind him. Without turning, he reads the plate number in the mirror. (In the box the mirrored text appears.)
What was the license plate number on the red car?
Answer: 5105 src_bocconi_semifinale_2012__Q01
Riempire i sei mattoncini liberi con i numeri da 2 a 7 in modo che ogni terna attorno a un disco nero sommi 11.
I mattoncini
Utilizzando tutti i numeri interi da 2 a 7, riempite i sei mattoncini ancora “liberi” in modo che la somma dei numeri dei tre mattoncini attorno a ciascun disco nero sia sempre uguale a 11.
Nota: ci sono due possibili soluzioni; basta che ne indichiate una.
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Casework accurato, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: Una soluzione (ne esistono due), con i dischi neri uguali a 11. Fonte: apri PDF
Fill the six free bricks with numbers from 2 to 7 so that each hole around a black disk is 11.
The bricks
Using all integers from 2 to 7, fill in the six remaining “free” bricks so that the sum of the numbers of the three bricks around each black disk is always equal to 11.
Note: There are two possible solutions; just point out one.
Answer: Una soluzione (ne esistono due), con i dischi neri uguali a 11. src_bocconi_semifinale_2012__Q02
Determinare i cellulari venduti a dicembre a partire da dati su vendite di giorni specifici.
Telefoni a go-go
Marco e Michele hanno un negozio di cellulari. Giovedì 29 dicembre 2011, a metà mattina, Marco fa i conti e vede che il mercoledì precedente il negozio ha venduto 13 telefoni e solo 1 quel giovedì mattina. Gli stessi conti li fa Michele il giorno dopo, venerdì, alla fine della mattina, poco prima della chiusura per la fine dell’anno: il giovedì precedente avevano venduto 15 telefoni, 4 quello stesso venerdì. Il totale dei telefoni venduti nel mese di dicembre è di 218.
Quanti cellulari avevano venduto nel mese di dicembre, prima che Marco facesse i suoi conti?
Topic: Teoria dei Numeri, Logica Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Modellizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 200 Fonte: apri PDF
Determining cell phones sold in December based on data on sales on specific days.
Go-go phones
Marco and Michele have a cell phone store. On Thursday, December 29, 2011, at mid-morning, Marco checks and sees that the Wednesday before the store sold 13 phones and only 1 that Thursday morning. The same calculations are made by Michele the next day, Friday, at the end of the morning, just before the year-end closure: the previous Thursday they had sold 15 phones, 4 that same Friday. The total number of phones sold in December was 218.
How many cell phones did they sell in December, before Marco paid his bills?
Answer: 200 src_bocconi_semifinale_2012__Q03
Numero di passaggi davanti alla tribuna lungo un circuito a serpentina con 111 curve a destra.
Il circuito automobilistico
Renato è un pilota coscienzioso e prima della gara ha voluto provare più volte il circuito dove si correrà domenica. Dopo la partenza ha seguito il rettilineo verso nord; poi, con una prima curva a destra, si è portato sul rettilineo perpendicolare al primo (quello orizzontale, in alto, nella figura); con una seconda curva a destra, è poi “sceso” lungo il rettilineo parallelo a quello iniziale e così via, lungo il percorso tracciato in figura. Quando (dopo un po’ di giri) ha “lasciato” il circuito per tagliare il traguardo dell’arrivo, aveva curvato 111 volte verso destra.
Quante volte, allora, era passato a fianco della tribuna (indicata con un pallino nero in figura)?
Topic: Combinatoria, Logica, Geometria piana Metodo: Conteggio, Ricorsione Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 16 Fonte: apri PDF
Number of steps in front of the podium along a serpentine circuit with 111 corners to the right.
The automotive circuit
Renato is a conscientious driver and before the race he wanted to try the circuit where he will race on Sunday several times. After departure he followed the straight line northward; then, with a first curve to the right, he went on the straight line perpendicular to the first (the horizontal one, above, in the figure); with a second curve to the right, he then “came down” along the straight line parallel to the initial one and so on, along the path traced in the figure. When (after a few laps) he left the circuit to cut the finish line, he had curved 111 times to the right.
How many times, then, had he passed by the tribune (indicated with a black ball in the figure)?
Answer: 16 src_bocconi_semifinale_2012__Q04
Trovare il numero pensato sapendo che dopo varie operazioni si ottiene 1.000.000.
Trovato 1 milione!
Pietro pensa a un numero, lo moltiplica per 3, aggiunge 792 al risultato e quindi divide il numero ricavato per 144 (ottenendo un risultato esatto, senza resto). Poi toglie 2 a quest’ultimo risultato e moltiplica infine per 100.000 l’ultimo numero a cui è pervenuto. Trova esattamente 1.000.000.
Qual era il numero pensato inizialmente da Pietro?
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Backward Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 312 Fonte: apri PDF
Find the expected number knowing that after several operations you get 1,000,000.
I found a million!
Peter thinks of a number, multiplies it by 3, adds 792 to the result and then divides the number by 144 (obtaining an exact result, with no remainder). Then you subtract 2 from this last result and then you multiply by 100,000 the last number you get. Find exactly 1,000,000.
What was the number originally conceived by Peter?
Answer: 312 src_bocconi_semifinale_2012__Q05
Numero minimo di uova affinché ogni cassetta ne abbia almeno una e ogni lato del pollaio ne contenga esattamente 10.
Delle galline esemplari
Ogni mattina le galline di Liliana depongono le loro uova nelle otto cassette del pollaio in modo che Liliana conti sempre 10 uova su ciascun lato del pollaio. Nell’esempio della figura, le uova depositate sono 29.
Qual è il numero minimo di uova complessivamente depositate perché ciascuna delle otto cassette abbia almeno un uovo e ciascun lato del pollaio contenga esattamente 10 uova?
Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 22 Fonte: apri PDF
*Minimum number of eggs for each box to contain at least one and each side of the chicken to contain exactly 10. *
Of chickens
Every morning Liliana’s chickens lay their eggs in the chicken’s eight boxes so that Liliana always counts 10 eggs on each side of the chicken. In the example in the figure, the eggs laid are 29.
What is the minimum total number of eggs deposited so that each of the eight boxes has at least one egg and each side of the hen house contains exactly 10 eggs?
Answer: 22 src_bocconi_semifinale_2012__Q06
Numero massimo di tessere da 3 caselle collocabili finché non resta spazio, lasciando caselle vuote.
Troppe caselle vuote
Amerigo si diverte con le tessere che vedete in figura, a lato, e che colloca orizzontalmente o verticalmente nella scacchiera. Ogni tessera occupa tre caselle vuote. A un certo punto del gioco si deve però arrestare perché nella scacchiera non c’è più spazio per nessun’altra tessera, anche se restano delle caselle vuote.
Quante, al massimo?
Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Colorazione, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 15 Fonte: apri PDF
Maximum number of 3-box tiles to be placed until space is left, leaving empty boxes.
Too many empty boxes
Amerigo enjoys the tiles that you see in the figure, on the side, and that he places horizontally or vertically in the chessboard. Each card occupies three empty boxes. At some point in the game, however, you have to stop because there is no more room for any other cards on the chessboard, even if there are empty boxes left.
How many, at most?
Answer: 15 src_bocconi_semifinale_2012__Q07
Numero minimo di pressioni dei tasti 3, 5, +, = per visualizzare 2012 su una calcolatrice limitata.
Questa calcolatrice è troppo vecchia
Luca ha ritrovato una vecchia calcolatrice che suo padre usava a scuola. Il tempo l’ha ulteriormente rovinata e adesso le funzionano solo quattro tasti : il “3” . il “5”, il ”+” e il tasto ”=” (che naturalmente si schiaccia una sola volta, prima di ottenere e di vedere scritto il risultato finale di un’operazione).
Dopo averla accesa, quante volte Luca ha schiacciato al minimo i tasti della calcolatrice del papà (quelli che funzionano) per vedere poi scritto 2012?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Stima, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 16 Fonte: apri PDF
Minimum number of key presses 3, 5, +, = to display 2012 on a limited calculator.
This calculator is too old.
Luca found an old calculator that his father used at school. Time has ruined her further and now she only has four keys: the “3”. the “5”, the ”+” and the ”=” button (which is naturally pressed only once, before you get and see the final result of an operation written).
After turning it on, how many times did Luca press at least the keys on Dad’s calculator (the ones that work) to see how 2012 was written?
Answer: 16 src_bocconi_semifinale_2012__Q08
Cifre nascoste dai simboli date le somme di riga e colonna; trovare la somma della terza riga.
Simboli misteriosi
In figura, ciascun simbolo nasconde sempre la stessa cifra. Il numero a destra di ogni riga indica la somma delle cifre di quella riga; il numero in fondo a ogni colonna indica la somma delle cifre di quella colonna. Mancano due somme. (Le somme indicate sono: prima riga , seconda riga ; colonne , , .)
Trovate quella della terza riga.
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri, Logica Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 11 Fonte: apri PDF
Numbers hidden by symbols given the row and column sums; find the sum of the third row.
Mysterious Symbols
In the figure, each symbol always hides the same number. The number on the right of each row indicates the sum of the digits of that row; the number at the bottom of each column indicates the sum of the digits of that column. There are two sums missing. (The sums indicated are: first line , second line ; columns , , .)
Find the one in the third row.
Answer: 11 src_bocconi_semifinale_2012__Q09
Completare in cifre i numeri mancanti nel box autoreferenziale che descrive quanti multipli di 5 vi compaiono.
Un box autoreferenziale
In questo box compaiono scritti …. numeri. Tra di loro ce ne sono …. multipli di 5.
Completate il box (scrivendo, in cifre, i numeri mancanti) in modo che la frase sia vera.
Topic: Logica, Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Casework accurato, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: Due soluzioni: “15 numeri … 4 multipli di 5” e “15 numeri … 5 multipli di 5”. Fonte: apri PDF
Complete in digits the missing numbers in the self-reference box that describes how many multiples of 5 appear in it.
A self-referential box
In this box, there’s the words… numbers. Some of them are… multiplied by 5.
Complete the box (writing, in digits, the missing numbers) so that the sentence is true.
Answer: Due soluzioni: ‘15 numeri … 4 multipli di 5’ e ‘15 numeri … 5 multipli di 5’. src_bocconi_semifinale_2012__Q10
Ultimo numero che Milena riesce a scrivere con tratti, fermandosi al 312esimo tratto.
Non sono più le penne di una volta
Guardate la figura (leggendola in verticale). Per scrivere i numeri interi (in figura sono indicati i primi tredici), Milena utilizza tre simboli che contengono 1 tratto oppure 2 tratti oppure 3 tratti. Dopo aver scritto il 312.esimo tratto, si accorge però che la sua penna è scarica e si deve fermare.
Qual è l’ultimo numero (che indicherete con le ordinarie cifre decimali) che Milena è riuscita a scrivere completamente?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 56 Fonte: apri PDF
The last issue Milena manages to write with strokes, stopping at the 312th stroke.
They ‘re not the pens they used to be .
Look at the figure (read it vertically). To write the whole numbers (the first thirteen are shown in the figure), Milena uses three symbols that contain 1 line or 2 lines or 3 lines. After writing the 312th paragraph, however, he realizes that his pen is drained and he must stop.
What is the last number (which you will indicate with ordinary decimal digits) that Milena managed to write completely?
Answer: 56 src_bocconi_semifinale_2012__Q11
Riempire la “E” magica con i numeri da 1 a 10 (5 già posto) rispettando somme e ordinamenti; trovare la prima riga.
Una “E” magica
Utilizzate tutti i numeri interi da 1 a 10 (il 5 è stato già impiegato) per riempire le caselle della “E” della figura in modo tale che : le somme dei numeri contenuti nelle due righe da tre caselle, di quelli contenuti nella riga da due caselle e di quelli della colonna da cinque caselle siano sempre uguali; in ciascuna delle due righe da tre caselle e nella riga da due caselle i numeri siano ordinati in senso crescente da sinistra verso destra.
Quali sono i numeri della prima riga?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: Due soluzioni: e . Fonte: apri PDF
Fill the magic “E” with the numbers 1 to 10 (5 already placed) respecting sums and orders; find the first line.
A magical “E”
Use all integers from 1 to 10 (the 5 has already been used) to fill the “E” boxes in the figure in such a way that: the sums of the numbers in the two three-box rows, those in the two-box row and those in the five-box column are always the same; in each of the two three-box rows and the two-box row the numbers are ordered increasingly from left to right.
What are the numbers on the first line?
Answer: Due soluzioni: e . src_bocconi_semifinale_2012__Q12
Superficie minima del quadrato dato il triangolo grigio sui punti medi con lati di misura intera.
Triangolo e quadrati
I punti neri in figura sono situati nei punti medi di due lati consecutivi del quadrato. Si sa anche che la misura dei lati del triangolo grigio è espressa da un numero intero di centimetri.
Qual è al minimo la superficie del quadrato (in cm)?
Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Stima Area: Geometria Risposta: 20 Fonte: apri PDF
Minimum area of the square given the grey triangle on the midpoints with full-size sides.
Triangles and squares
The black points in the figure are located in the middle points on two consecutive sides of the square. It is also known that the dimensions of the sides of the grey triangle are expressed by an integer number of centimeters.
What is the minimum area of the square (in cm)?
Answer: 20 src_bocconi_semifinale_2012__Q13
Somma minima delle cifre di N+P date le somme delle cifre di N (1012) e di P (2012).
Somma di cifre
La somma delle cifre di un numero N è uguale a 1012; quella delle cifre di un altro numero P è uguale a 2012.
Quanto vale al minimo la somma delle cifre del numero N+P?
Topic: Teoria dei Numeri, Logica Metodo: Estremalità, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 9 Fonte: apri PDF
Minimum sum of N+P numbers given the sums of N (1012) and P (2012).
Sum of figures
The sum of the digits of a number N is equal to 1012; that of the digits of another number P is equal to 2012.
What is the minimum value of the sum of the digits of the number N+P?
Answer: 9 src_bocconi_semifinale_2012__Q14
Numero massimo del minimo di mosse (rotazioni di 90° di due tessere a contatto) per passare tra due configurazioni di 8 tessere su scacchiera 4x4.
Il “gira-domino”
Carla si diverte con un gioco in cui ha 8 tessere 1x2 (uguali tra loro) con le quali ricopre, senza sovrapposizioni o buchi, una scacchiera 4x4. Carla deve andare da una qualunque situazione (assegnata) a una qualunque situazione finale (assegnata) con un numero minimo di mosse. Ciascuna mossa è costituita da una rotazione di 90° di due tessere che si toccano sul lato lungo. La figura illustra un caso in cui questo numero minimo è di 2 mosse.
Quanto vale al massimo questo numero?
Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Estremalità, Casework, Grafi Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 10 Fonte: apri PDF
Maximum minimum number of moves (rotations of 90° of two contact cards) to move between two configurations of 8 cards on a 4x4 chessboard.
The “wire-domain”
Carla enjoys a game in which she has 8 1x2 cards (equal to each other) with which she covers, without overlapping or holes, a 4x4 chessboard. Carla has to go from any (assigned) situation to any final (assigned) situation with a minimum number of moves. Each move consists of a 90° rotation of two tiles touching each other on the long side. The figure illustrates a case where this minimum number is 2 moves.
How much is this number worth at most?
Answer: 10 src_bocconi_semifinale_2012__Q15
Superficie della visiera triangolare grigia del casco a partire da un pentagono inscritto in una circonferenza.
Il casco del cavaliere
Nella figura (simmetrica rispetto all’asse verticale) vedete un casco da cavaliere. I cinque vertici del pentagono sono situati su una stessa circonferenza. I tre lati più piccoli dello stesso pentagono hanno una lunghezza uguale al raggio di questa circonferenza, ovvero di 25 cm. I punti medi dei lati maggiori del pentagono delimitano la base inferiore del triangolo grigio (che rappresenta la visiera del casco); i vertici alti del triangolo grigio e del pentagono coincidono.
Qual è la superficie della visiera del casco (espressa in cm e arrotondata al cm più vicino)?
Nota: se necessario, per scrivere il risultato finale si prenderà per ; per ; per .
Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 505 Fonte: apri PDF
Surface of the grey triangular visor of the helmet from a pentagon inscribed in a circumference.
The Horseman’s helmet
In the figure (symmetrical to the vertical axis) you see a knight’s helmet. The five vertices of the pentagon are situated on the same circumference. The three smallest sides of the same pentagon have a length equal to the radius of this circumference, or 25 cm. The middle points of the major sides of the pentagon delimit the lower base of the grey triangle (which represents the visor of the helmet); the high vertices of the grey triangle and the pentagon coincide.
What is the area of the helmet visor (expressed in cm and rounded to the nearest cm)?
Note: if necessary, for ; for ; for will be used to write the final result.
Answer: 505 src_bocconi_semifinale_2012__Q16
Gioco di eliminazione su N=2012 carte in cerchio (si elimina ogni terza carta): trovare la carta eliminata subito dopo la carta 2012.
Lui si diverte così!
Nando ha disposto delle carte numerate da 1 a N su una circonferenza percorsa in senso orario (la figura illustra la collocazione delle carte per N = 9). Si diverte poi eliminando la carta con il numero 1 e successivamente eliminando, ad ogni mossa, la terza carta che incontra. Elimina così, nell’ordine, le carte con i numeri 1,4,7,2,6,3,9,5 e alla fine del gioco rimane con la carta numero 8.
Per N=2012, qual è la carta eliminata subito dopo quella che ha il numero 2012? (Rispondete 0 se pensate che la carta 2012 sia quella che rimane alla fine del gioco).
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri, Logica Metodo: Ricorsione, Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 14 Fonte: apri PDF
*Elimination game on N=2012 cards in a circle (every third card is eliminated): Find the card eliminated immediately after the 2012 card. *
He’s having so much fun!
Nando placed cards numbered from 1 to N on a clockwise circumference (the figure illustrates the placement of the cards for N = 9). He then has fun by deleting the card with the number 1 and then deleting, with each move, the third card he meets. Thus, in order, remove the cards with the numbers 1,4,7,2,6,3,9,5 and at the end of the game you have the number 8 card.
For N=2012, what’s the paper that’s deleted right after the one with the number 2012? (Answer 0 if you think the 2012 card is the one left at the end of the game).
Answer: 14 src_bocconi_semifinale_2012__Q17