Classifiche possibili al termine di una gara ciclistica
Quest’anno la “classicissima” di primavera si svolge con la formula della cronometro a squadre. Risultano però iscritte solo tre squadre: gli Assi del pedale, i Ciclisti di corsa e i Velocipedisti.
Quante saranno tutte le possibili classifiche alla fine della gara (tenendo presente che le 3 squadre arrivano al traguardo e che non sono ammessi gli ex-aequo)?
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 6 Fonte: apri PDF
Possible rankings at the end of a cycling race
This year the “classic” spring takes place with the formula of the team timekeeper. However, only three teams are registered: Pedal Axis, Racing Cyclists and Cyclists.
How many rankings will there be at the end of the race (bearing in mind that the 3 teams reach the finish line and no ex-equals are allowed)?
Answer: 6 src_bocconi_semifinale_2013__Q01
Modi di scegliere 5 dadi con somma pari
Jacob sceglie due gettoni, tra i cinque che vede in figura, con l’obiettivo che la somma dei loro numeri sia un numero pari.
In quanti modi può sceglierli indipendentemente dall’ordine in cui via via prende i due gettoni?
I gettoni mostrano i numeri 1, 2, 3, 4, 5.
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 4 Fonte: apri PDF
How to choose 5 dice with equal sums
Jacob chooses two tokens, among the five he sees in the figure, with the goal that the sum of their numbers is an equal number.
In how many ways can you choose them regardless of the order in which you take the two tokens?
The tokens show the numbers 1, 2, 3, 4, 5.
Answer: 4 src_bocconi_semifinale_2013__Q02
Massimo numero di parti uguali da una pizza con 3 tagli
Con 3 tagli (rettilinei) Michele divide in parti la pizza della figura, senza sprecare nessuna “fetta” dopo ciascun taglio.
Quante parti (non necessariamente della stessa forma o dello stesso peso) otterrà al massimo?
Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 7 Fonte: apri PDF
Maximum number of equal parts from a pizza with 3 cuts
With 3 cuts, Michele divides the figure’s pizza into parts, without wasting any “slices” after each cut.
How many parts (not necessarily of the same shape or weight) will you get at most?
Answer: 7 src_bocconi_semifinale_2013__Q03
Giorni belli nel 2013
Il 12 marzo 2013 è un giorno “bello” perché si scrive solo la cifra “4” — a completare la scrittura che segue, sostituendo delle opportune cifre al posto del simbolo : si scrive come utilizzando la cifra “0”, due volte la cifra “1”, due volte la cifra “2” e due volte la cifra “3”.
Quanti giorni “belli” sono nel 2013, dal 1 gennaio al 31 dicembre, compreso il 12 marzo?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 7 Fonte: apri PDF
Nice days in 2013
March 12, 2013 is a “beautiful” day because only the digit “4” is written to complete the following writing, replacing appropriate digits instead of the symbol: it is written as using the digit “0”, twice the digit “1”, twice the digit “2” and twice the digit “3”.
How many “beautiful” days are there in 2013, from January 1 to December 31, including March 12?
Answer: 7 src_bocconi_semifinale_2013__Q04
Trovare il tetramino usato per riempire il quadrato
Usando quattro dei 5 “tetramini” della figura, assemblandoli senza buchi né alcuna sovrapposizione, Milena è riuscita a formare un quadrato di 16 caselle.
Indicate la lettera del “tetramino” che Milena ha lasciato da parte.
I tetramini in figura sono etichettati A, B, C, D, E.
Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Casework, Colorazione Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF
Find the tetramine used to fill the square
Using four of the five “tetramin” in the figure, assembling them without holes or overlapping, Milena managed to form a square of 16 boxes.
Indicate the letter of the tetrammaton that Milena left behind.
The tetramins in the figure are labelled A, B, C, D, E.
Answer: A src_bocconi_semifinale_2013__Q05
Mosse minime per passare da AILATI a ITALIA
In quante mosse, al minimo, si passa dalla configurazione di sinistra a quella di destra?
Ogni mossa consiste nello spostamento di un gettone bianco in una casella grigia vuota (immediatamente) adiacente.
La configurazione di sinistra mostra le lettere A-I-L-A-T-I e quella di destra mostra I-T-A-L-I-A, ciascuna in una casella di una griglia orizzontale.
Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Invarianti, Backward Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 22 Fonte: apri PDF
Minimum moves to move from AILATI to ITALY
How many moves, at least, do you go from left to right?
Each move consists of moving a white dot to an empty (immediately) adjacent grey box.
The configuration on the left shows the letters A-I-L-A-T-I and the one on the right shows I-T-A-L-I-A, each in a box of a horizontal grid.
Answer: 22 src_bocconi_semifinale_2013__Q06
Modi di formare la squadra per i Giochi Matematici
Per festeggiare i “Campionati Internazionali di Giochi Matematici”, i giornali quest’anno alla loro 20-esima edizione italiana, il comitato organizzatore ha deciso di tenere a battesimo una nuova gara a squadre, chiamata “La gara dei vent’anni”. Alla competizione possono partecipare squadre composte da due ragazzi e la due ragazze. Nando può contare su Anna, Carla, Chiara, Matteo, Pietro e Renato.
In quanti modi Nando può formare la sua squadra?
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 9 Fonte: apri PDF
Mode of training the team for Mathematical Games
To celebrate the “International Mathematical Games Championships”, the newspapers this year in their 20th Italian edition, the organizing committee decided to hold a new team competition, called “The Twenty Years’ Race”. The competition is open to teams of two boys and two girls. Nando can count on Anna, Carla, Clara, Matthew, Peter and Renato.
How many ways can Nando train his team?
Answer: 9 src_bocconi_semifinale_2013__Q07
Numero di due cifre con doppio del contrario uguale al numero aumentato di 1
Trovate un numero di due cifre tale che il doppio del suo contrario (il contrario di un numero è il numero stesso, scritto al contrario nel senso del disegno) sia uguale al numero iniziale aumentato di 1.
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: 73 Fonte: apri PDF
Number of two digits with double the inverse equal to the increased number of 1
Find a two-digit number such that twice its opposite (the opposite of a number is the same number, written in the opposite direction of the drawing) is equal to the initial number increased by 1.
Answer: 73 src_bocconi_semifinale_2013__Q08
Somma dei numeri interi da 1 a 7 disposti in una stella
I numeri interi da 1 a 7 vengono sistemati nelle caselle in modo che la somma dei tre numeri allineati siano uguali tra loro.
Quanto vale questa somma?
(In figura si vede una stella a 6 punte con un nodo centrale e nodi alle punte, dove ogni linea passante per il centro contiene 3 numeri.)
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: tre soluzioni: 13, 14, 15 Fonte: apri PDF
sum of integers from 1 to 7 arranged in a star
The integers 1 to 7 are arranged in boxes so that the sum of the three aligned numbers is equal to each other.
How much is this?
(In the figure you can see a 6-pointed star with a central node and nodes at the points, where each line passing through the center contains 3 numbers.)
Answer: tre soluzioni: 13, 14, 15 src_bocconi_semifinale_2013__Q09
Raggio del cerchio particolare con area uguale al perimetro
È particolare quel cerchio perché il numero che esprime la sua area (in cm) è uguale a quello che esprime la lunghezza (in cm) della circonferenza che ne costituisce il bordo.
Qual è il raggio di questo cerchio particolare?
Topic: Geometria piana, Algebra Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria, Algebra e Analisi Risposta: 2 Fonte: apri PDF
Ray of the particular circle with an area equal to the perimeter
This circle is special because the number expressing its area (in cm) is equal to the length (in cm) of the circumference of the circle.
What is the radius of this particular circle?
Answer: 2 src_bocconi_semifinale_2013__Q10
Misure degli angoli del triangolo tra pentagono e quadrato
In figura vedete un quadrato inserito in un pentagono regolare (simmetrico rispetto alla diagonale del quadrato).
Trovate le misure degli angoli del piccolo triangolo grigio.
Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: , , Fonte: apri PDF
Measures of angles of triangle between pentagon and square
In the figure you see a square inserted into a regular pentagon (symmetrical to the square’s diagonal).
Find the measurements of the angles of the small gray triangle.
Answer: , , src_bocconi_semifinale_2013__Q11
Completare la calcolatrice difettosa sostituendo le cifre
Aiutate Liliana — la sua calcolatrice è difettosa e scrive solo la cifra “4” — a completare la scrittura che segue, sostituendo delle opportune cifre al posto del simbolo :
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: due soluzioni: e Fonte: apri PDF
Complete the defective calculator by replacing the digits
Help Liliana her calculator is defective and she writes only the figure “4” to complete the following writing, replacing appropriate digits instead of the symbol:
Answer: due soluzioni: e src_bocconi_semifinale_2013__Q12
Sistemare i numeri da 2 a 12 nei dischi con somme uguali a 24
Collocate nei dischetti tutti i numeri naturali da 2 a 12 in modo che la somma dei numeri dei dischetti sull’allineamento più sicuro sia uguale a 24. Anche le altre 6 somme di tre numeri allineati devono essere tutte uguali a 24.
(In figura si vede un grafo con nodi collegati da segmenti, dove ogni tripletta allineata deve sommare a 24.)
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Simmetria Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: (vedi figura nella soluzione) Fonte: apri PDF
Setting the numbers from 2 to 12 in disks with sums equal to 24
Place all the natural numbers from 2 to 12 in the disks so that the sum of the disks’ numbers on the safest alignment is 24. The other six sums of three aligned numbers must all equal 24.
(The figure shows a graph with nodes connected by segments, where each aligned triangle must add up to 24.)
Answer: (vedi figura nella soluzione) src_bocconi_semifinale_2013__Q13
Dimensioni del rettangolo particolare con perimetro doppio della lunghezza
È particolare questo rettangolo perché non è un quadrato e ha dimensioni (espresse da numeri interi) tali che uno dei due numeri che esprimono la sua area e il perimetro (il primo in cm, il secondo in cm) è il doppio dell’altro.
Quali sono le dimensioni del rettangolo particolare?
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: due soluzioni: e Fonte: apri PDF
Dimensions of the particular rectangle with a perimeter twice the length
This rectangle is particular because it is not a square and has dimensions (expressed by integers) such that one of the two numbers expressing its area and the perimeter (the first in cm, the second in cm) is twice the other.
What are the dimensions of the particular rectangle?
Answer: due soluzioni: e src_bocconi_semifinale_2013__Q14
Numero di concorrenti che non hanno barato in una classe
I partecipanti a una competizione erano 31 alunni di una stessa classe. Dopo l’arrivo, l’ultimo classificato ha dichiarato: “tutti quelli che mi precedono in classifica hanno barato perché ad un certo punto hanno preso una scorciatoia”. Ciascuno degli altri concorrenti rilascia invece la seguente dichiarazione: «il compagno che si è classificato immediatamente dopo di me ha barato perché ad un certo punto ha preso una scorciatoia».
Tenete presente che tutti quelli che hanno barato hanno poi mentito nelle loro dichiarazioni, mentre i concorrenti onesti hanno poi detto la verità.
Quanti sono stati i concorrenti che non hanno barato?
Topic: Logica, Combinatoria Metodo: Casework, Invarianti Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 15 Fonte: apri PDF
Number of competitors who have not cheated in a class
The participants in a competition were 31 pupils from the same class. Upon arrival, the finalist declared: “Everyone ahead of me in the rankings cheated because at some point they took a shortcut”. Each of the other competitors makes the following statement instead: the partner who came immediately after me cheated because at some point he took a shortcut.
Keep in mind that all those who cheated then lied in their statements, while honest competitors then told the truth.
How many competitors didn’t cheat?
Answer: 15 src_bocconi_semifinale_2013__Q15
Rapporto tra area della stella bianca e area della stella grigia
Nella stella regolare a 8 punte in grigio nel disegno, i lati hanno tutti la stessa lunghezza e gli angoli nelle 8 punte sono tutti retti. Al suo interno si è tracciata un’altra stella regolare a 8 punte (in bianco nel disegno) i cui lati hanno la stessa lunghezza di quelli della stella grigia e i cui angoli interni misurano oppure .
Trovate il rapporto tra l’area della stella bianca e l’area della stella grigia.
Topic: Geometria piana, Algebra Metodo: Simmetria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria, Algebra e Analisi Risposta: Fonte: apri PDF
Ratio between area of white star and area of grey star
In the regular 8-pointed star in the design, the sides are all the same length and the angles in the 8-pointed star are all straight. Inside it is another regular 8-pointed star (in white in the drawing) whose sides are the same length as those of the gray star and whose interior angles measure or .
Find the relationship between the area of the white star and the area of the grey star.
Answer: src_bocconi_semifinale_2013__Q16