Gara a Squadre 2008

Età di 5 figli con somma uguale al prodotto

Nella nostra famiglia ci sono 5 figli (che non sono tutti gemelli). Par esendo stati solo un parto gemellare o plurigemellare, sono tutti nati il primo gennaio e, al 1 gennaio 2008, la somma delle loro età è uguale al loro prodotto. Quali sono le età dei 5 figli della nostra famiglia?

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: Le età dei figli sono: 1; 1; 1; 2; 5 Fonte: apri PDF

Age of 5 children with sum equal to product

There are 5 children in our family (not all twins). All of them were born on 1 January 2008 and, as of 1 January 2008, the sum of their ages is equal to their product. How old are the five children in our family?

Answer: Le età dei figli sono: 1; 1; 1; 2; 5 src_bocconi_squadre_2008__Q01

Contare triangoli in figura

Quanti triangoli vedi in figura?

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 21 triangoli Fonte: apri PDF

*Count triangles in Figure *

How many triangles do you see in the figure?

Answer: 21 triangoli src_bocconi_squadre_2008__Q02

Massimo numero dopo cancellazioni dalla lista 1-1920

Scrivete, uno dopo l’altro, i numeri interi da 1 a 20 : 123…101112…1920. A questo punto, dal precedente elenco, cancellate venti cifre. Qual è il numero maggiore che vi può rimanere?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Lettura attenta, Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 95617181920 Fonte: apri PDF

Maximum number after deletions from list 1-1920

Write the whole numbers from 1 to 20 one after another: 123…101112…1920. At this point, from the previous list, 20 digits are deleted. What’s the largest number you can have left?

Answer: 95617181920 src_bocconi_squadre_2008__Q03

Minimo numero naturale il cui quadrato termina con 2001

Qual è il più piccolo numero naturale il cui quadrato termina con le cifre 2001?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 249 Fonte: apri PDF

Minimum natural number whose square ends in 2001

What’s the smallest natural number whose square ends in 2001?

Answer: 249 src_bocconi_squadre_2008__Q04

Inserire numeri 1–9 in griglia con operazioni date

Sostituite le cifre da 1 a 9 (utilizzate una e una sola volta) al posto dei puntini. $∙ ∙ ∙ + ∙ ∙ ∙ = ∙ ∙ ∙$ $∙ ∙ ∙ + ∙ ∙ ∙ = ∙ ∙ ∙$ $∙ ∙ ∙ + ∙ ∙ ∙ = ∙ ∙ ∙$

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Lettura attenta, Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 1 + 7 = 8; 5 + 4 = 9; 6 : 3 = 2 (vedi griglia soluzione) Fonte: apri PDF

*Insert numbers 19 in the grid with operations given *

Replace the digits 1 to 9 (use once and only) instead of the dots. $∙ ∙ ∙ + ∙ ∙ ∙ = ∙ ∙ ∙$ $∙ ∙ ∙ + ∙ ∙ ∙ = ∙ ∙ ∙$ $∙ ∙ ∙ + ∙ ∙ ∙ = ∙ ∙ ∙$

Answer: 1 + 7 = 8; 5 + 4 = 9; 6 : 3 = 2 (vedi griglia soluzione) src_bocconi_squadre_2008__Q05

Minuti camminati dal mega-dirigente

È successo un lunedì dello scorso inverno. Ogni mattina, l’autista dell’azienda partiva dagli uffici per andare a prendere alle 8 in punto il mega-dirigente nella sua villa fuori città e portarlo nel suo mega-ufficio (dove arrivava, con cronometrica puntualità, sempre alla stessa ora). Quel lunedì, il mega-dirigente non ha visto arrivare il suo autista. Dimenticando che durante il week-end l’ora legale era stata abolita e desiderando superarsi, alle 8 precise si mette in moto a piedi dirigendosi verso l’ufficio. L’autista (che era partito alla solita ora e procedeva con la stessa velocità) lo incontra lungo il tragitto, lo fa salire, torna immediatamente indietro e “deposita” il suo prezioso mega-dirigente 8 minuti prima del solito. Quanti minuti ha camminato il mega-dirigente prima di essere “raccolto” dal suo autista?

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Backward, Simmetria Abilita: Modellizzazione, Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: 56 minuti Fonte: apri PDF

Minutes walking from the mega-director

It happened on a Monday last winter. Every morning, the company’s driver left the offices to pick up the mega-director at 8 a.m. in his villa outside the city and take him to his mega-office (where he arrived, with timing, always at the same time). That Monday, the mega-manager didn’t see his driver coming. Forgetting that during the weekend the legal time had been abolished and wishing to exceed it, at exactly 8 o’clock he sets out on foot on his motorcycle heading to the office. The driver (who had left at the usual time and was moving at the same speed) meets him along the route, takes him up, immediately returns and “deposits” his precious mega-director 8 minutes earlier than usual. How many minutes did the mega-director walk before he was picked up by his driver?

Answer: 56 minuti src_bocconi_squadre_2008__Q06

Valore del quadrato della differenza delle aree

A partire dal rettangolo della figura di dimensioni $A$ e $B$ , sono state disegnate tre circonferenze – tutte centrate in uno dei suoi vertici – che passano rispettivamente per un altro dei vertici del rettangolo. Quanto vale il quadrato della differenza tra le aree delle due regioni più scure?

Topic: Geometria piana, Algebra Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria, Algebra e Analisi Risposta: 0 Fonte: apri PDF

Value of the square of the difference of areas

Starting from the rectangle of the figure of dimensions $A$ and $B$ , three circumferences all centered at one of its vertices passing through another of the vertices of the rectangle respectively have been drawn. What is the square of the difference between the areas of the two darkest regions?

Answer: 0 src_bocconi_squadre_2008__Q07

Proposizione vera tra A, B, C, D data logica alternata

Renato fa tre affermazioni perentorie:

delle tre proposizioni A, B, C, una sola è vera;

di B, C, D una sola proposizione è vera;

di A, D una sola è vera. Il suo amico Amerigo gli ribatte in modo alternato dicendo:

di A, B, C una sola proposizione è vera;

di B, C, D una sola proposizione è vera;

di A, C, D una sola proposizione è vera. Tenete presente che uno dei due amici mente una volta, mentre l’altro dice sempre la verità. Qual è (o quali sono) –tra A, B, C, D– le proposizioni verace?

Topic: Logica Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Casework accurato, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF

True ratio between A, B, C, D alternate logical data

Renato makes three peremptory statements: 1) of the three propositions A, B, C, only one is true; 2) of B, C, D only one is true; 3) of A, D only one is true. His friend Amerigo rebukes him alternately saying: 1) of A, B, C only one proposition is true; 2) of B, C, D only one proposition is true; 3) of A, C, D only one proposition is true. Keep in mind that one of the two friends lies once, while the other always tells the truth. What is (or are) between A, B, C, D the true propositions?

Answer: C src_bocconi_squadre_2008__Q08

Cifre decimali del quoziente 2007.esima/2008.esima/2009.esima

Dividete 1 per 2008. Quale (nell’ordine) la $2007$ -esima, la $2008$ -esima e la $2009$ -esima cifra dopo la virgola del quoziente così ottenuto?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0, 0, 7 Fonte: apri PDF

*Decimal figures of the 2007th/2008.th 2009.th *

Divide 1 by 2008. What (in order) is the $2007$ -exis, $2008$ -exis and $2009$ -exis after the comma of the quotient thus obtained?

Answer: 0, 0, 7 src_bocconi_squadre_2008__Q09

Giorno possibile di compleanno di Desiderio

Desiderio è italiano e, per indicare un giorno dell’anno, scrive prima la data del giorno e poi il mese (ad esempio, scrive 03.01 per indicare il 3 gennaio). Il suo amico inglese, Jacob, è invece abituato a scrivere prima il mese e poi il giorno (per lui, 03.01 significa il $1^{\circ}$ marzo). Per questo ragioni, è successo un bel pasticcio. Il 7 gennaio del 2007, Desiderio aveva dato appuntamento a Jacob per un certo giorno del primo semestre dell’anno (scritto “all’italiana”). Jacob l’ha letto “all’inglese” e i due non si sono incontrati. Quale (è possibile il) giorno (i) ha scritto Desiderio, perché la differenza con quanto “capito” da Jacob sia la massima possibile (ma inferiore alla metà di un anno)?

Topic: Logica, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Lettura attenta, Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 9/3 e 11/5 Fonte: apri PDF

Possible day of Desiderio’s birthday

Desiderio is Italian and, to indicate a day of the year, writes first the date of the day and then the month (for example, writes 03.01 to indicate January 3). His English friend, Jacob, is instead accustomed to writing first the month and then the day (for him, 03.01 means $1^{\circ}$ March). For this reason, a real mess has happened. On 7 January 2007, Desiderio had given Jacob an appointment for a certain day of the first half of the year (written “in Italian”). Jacob read it “in English” and the two didn’t meet. What (possible) day (s) did Desiderio write, because the difference with how much “capita” from Jacob is the maximum possible (but less than half a year)?

Answer: 9/3 e 11/5 src_bocconi_squadre_2008__Q10

Distanza percorsa da Nando per raggiungere Luca

Ecco il caso di Nando. Quando Luca taglia il traguardo dei 100 metri, Nando ne ha percorsi solo 95. Se ora Luca dà a Nando un certo vantaggio e lo fa partire 4 m. davanti a lui, dopo quanti metri lo raggiungerà (supponendo naturalmente che i due atleti corrano a velocità costante, la stessa di prima)?

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Simmetria Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: 80 metri Fonte: apri PDF

Distance traveled by Nando to reach Luca

That’s the case with Nando. When Luke cuts the 100-meter mark, Nando has only walked 95. If now Luca gives Nando a certain edge and makes him go four meters. before him, after how many meters will he reach him (assuming of course that the two athletes are running at a constant speed, the same as before)?

Answer: 80 metri src_bocconi_squadre_2008__Q11

Secondi dopo cui pallone lanciato verso l’alto si trova a 20 m

Da terra, un pallone viene lanciato verticalmente verso l’alto con la velocità di 25 m/s. Supponendo nulla la resistenza dell’aria e $g = 10$ m/s $^{2}$ , dopo quanti secondi il pallone si troverà ad un’altezza di 20 m da terra?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1 e 4 secondi Fonte: apri PDF

Seconds after which the ball thrown upwards is at 20 m

From the ground, a ball is thrown vertically upwards at a speed of 25 m/s. Assuming nothing of the air resistance and $g = 10$ m/s $^{2}$ , after how many seconds will the ball be at a height of 20 m from the ground?

Answer: 1 e 4 secondi src_bocconi_squadre_2008__Q12

Valore numerico della parola EXTRA da schema

In questa somma ogni lettera rappresenta una cifra e lettere diverse rappresentano cifre diverse. Sappiamo inoltre che $R$ $M$ $Z$ $A$ indica un multiplo di 23. Quale numero indica la parola $E$ $X$ $T$ $R$ $A$ ? $+ E R X M T Z R A A$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: EXTRA = 13658 Fonte: apri PDF

Number value of the word EXTRA from schema

In this sum, each letter represents a number and different letters represent different numbers. We also know that $R$ $M$ $Z$ $A$ indicates a multiple of 23. What number indicates the word $E$ $X$ $T$ $R$ $A$ ? $+ E R X M T Z R A A$

Answer: EXTRA = 13658 src_bocconi_squadre_2008__Q13

Numero di cioccolatini regalati da Carla a Milena

Carla regala a Milena un certo numero di cioccolatini. Sommando questo numero alla somma delle sue cifre, si ottiene 2008. Quanti cioccolatini Carla ha regalato a Milena?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: Carla ha regalato a Milena 2003 oppure 1985 cioccolatini Fonte: apri PDF

Number of chocolates given by Carla to Milena

Carla gives Milena a number of chocolates. Adding this number to the sum of its digits, you get 2008. How many chocolates did Carla give Milena?

Answer: Carla ha regalato a Milena 2003 oppure 1985 cioccolatini src_bocconi_squadre_2008__Q14

Completare la stringa con segni aritmetici per ottenere 2008

Nella “stringa” riportata sopra, non però quella con il segno ”=” – in modo da ottenere un’uguaglianza corretta, come nell’esempio sotto riportato: $1536 X 12 □ 9 - 17729 = 2008$ La stringa originale è: $153612 + 9 - 17729 = 2008$

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Backward Abilita: Lettura attenta, Casework accurato, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 153 X 12 [·] 9 - 17729 = 2008, con X = moltiplicazione e [·] appropriato (vedi griglia) Fonte: apri PDF

Complete the string with arithmetic marks to get 2008

In the above string, however, not the one marked ”=” so as to obtain a correct equality, as in the example below: $1536 X 12 □ 9 - 17729 = 2008$ The original string is: $153612 + 9 - 17729 = 2008$

Answer: 153 X 12 [·] 9 - 17729 = 2008, con X = moltiplicazione e [·] appropriato (vedi griglia) src_bocconi_squadre_2008__Q15

Numero nel cerchio più in alto in disposizione circolare

Inserite tutti i numeri naturali da 3 a 11 nei tre cerchi concentrici liberi, in modo che la somma dei numeri segnati in ogni quadrante sia uguale al numero della regione. Quale (i) numero (i) è (sono) scritto (i) nel cerchio più in alto?

Number in the upper circle in a circular pattern

Insert all natural numbers from 3 to 11 into the three free concentric circles, so that the sum of the numbers marked in each quadrant is equal to the number in the region. Which number (s) is (are) written (s) in the upper circle?

Answer: 6; 7; 8; 11 src_bocconi_squadre_2008__Q16

Perimetro di un cerchio diviso in tre parti uguali

Un cerchio è diviso in tre parti uguali dai raggi (di misura unitaria). Quanto misura il perimetro delle tre parti? (Si ponga $π = 3, 141$ e si esprima il risultato con un numero decimale, con tre cifre dopo la virgola.)

Topic: Geometria piana Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Risposta: 4,094 Fonte: apri PDF

Perimeter of a circle divided into three equal parts

A circle is divided into three equal parts by the beams (in unit measure). What is the perimeter of the three sides? (Put $π = 3, 141$ and express the result by a decimal number, with three digits after the comma.)

Answer: 4,094 src_bocconi_squadre_2008__Q17

Coppie (a,b) di interi positivi con (b^3+1)/(ab-1) intero

Determinate le coppie $(a, b)$ di interi positivi, con $a$ maggiore o uguale di $b$ , per cui $(b^{3} + 1) / (ab - 1)$ è un numero intero.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: 2-1; 3-1; 2-2; 5-2; 5-3 Fonte: apri PDF

*Pairs (a,b) of positive integers with (b^3+1)/(ab-1) integer *

Determine the pairs $(a, b)$ of positive integers, with $a$ greater than or equal to $b$ , where $(b^{3} + 1) / (ab - 1)$ is an integer.

Answer: 2-1; 3-1; 2-2; 5-2; 5-3 src_bocconi_squadre_2008__Q18

Numero di cifre del prodotto 7^7 · 4^{11} · 5^{11}

Qual è il numero delle cifre del prodotto $7^{7} \cdot 4^{11} \cdot 5^{11}$ ?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 34 Fonte: apri PDF

Number of figures for the product 7^7 · 4^{11} · 5^{11}

What is the product number $7^{7} \cdot 4^{11} \cdot 5^{11}$ ?

Answer: 34 src_bocconi_squadre_2008__Q19

Cifre della combinazione della cassaforte della Banda Bassotti

Dopo un minuzioso studio, un incredibile lavoro di scavo e l’ingresso all’interno della banca, la Banda Bassotti si trova in difficoltà ad aprire la preziosa cassaforte. Nelle carte dell’istituto, c’è solamente l’indicazione che la combinazione giusta è data da tre cifre non nulle (disposte in ordine crescente) tali che la loro somma è uguale a 17 mentre il prodotto di due qualunque di loro, sommato alla terza, è sempre un quadrato perfetto. Per favore, potete aiutare la Banda Bassotti a svaligiare la banca?

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: Le cifre della combinazione (scritte in ordine crescente) sono: 179 Fonte: apri PDF

Combination number of the Bassotti Band safe

After a thorough study, an incredible dig and entrance into the bank, the Bassotti Band finds it difficult to open the precious safe. In the institute’s papers, there is only the indication that the correct combination is given by three non-zero digits (ordered in increasing order) such that their sum is equal to 17 while the product of two of them, added to the third, is always a perfect square. Please, can you help the Bassotti Gang rob the bank?

Answer: Le cifre della combinazione (scritte in ordine crescente) sono: 179 src_bocconi_squadre_2008__Q20

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