Somma distanze da punto interno di pentagono regolare
Il pentagono della figura, di area uguale a , ha i suoi cinque lati uguali tra di loro e uguali a 1 cm. Calcolate (in funzione di ) il valore dell’espressione che rappresenta la somma delle distanze del punto dai cinque lati del pentagono (o dai loro prolungamenti).
Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: Fonte: apri PDF
Summary distances from the internal point of the regular pentagon
The pentagon of the figure, of an area equal to , has its five sides equal to each other and equal to 1 cm. Calculate (as a function of ) the value of the expression which is the sum of the distances of the point from the five sides of the pentagon (or their extensions).
Answer: src_bocconi_squadre_2011__Q01
Numeri 1-8 in griglia senza consecutivi adiacenti
Collocate i numeri naturali da 1 a 8 nelle caselle della figura in modo che due numeri consecutivi non siano mai posti in caselle che hanno un lato o un vertice in comune. Quante sono le possibili soluzioni?
Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 4 Fonte: apri PDF
Numbers 1-8 in the grid with no adjacent consecutive numbers
Place the natural numbers from 1 to 8 in the boxes in the figure so that two consecutive numbers are never placed in boxes that have a side or a vertex in common. How many possible solutions are there?
Answer: 4 src_bocconi_squadre_2011__Q02
Gioco con gettoni: numero minimo da togliere per vincere
Carla e Milena si divertono con venticinque gettoni disposti sul tavolo. Il gioco consiste nel togliere, ad ogni mossa, 1 oppure 4 oppure 7 oppure 8 gettoni (mentre è vietato eliminare dal tavolo un qualsiasi altro numero di gettoni). Vince chi toglie l’ultimo o gli ultimi gettoni presenti sul tavolo. Comincia Carla. Quanti gettoni deve togliere con la sua prima mossa per essere sicura di vincere, qualunque sia poi la strategia adottata da Milena? (Rispondete 0 se pensate che, per qualunque mossa iniziale di Carla, Milena abbia la possibilità di vincere la partita).
Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Invarianti, Backward, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0 Fonte: apri PDF
Game with tokens: minimum number to be withdrawn to win
Carla and Milena are having fun with twenty-five tokens on the table. The game consists of removing, with each move, 1 or 4 or 7 or 8 tokens (while it is forbidden to remove any other number of tokens from the table). The winner is the one who removes the last or last token on the table. It’s Carla, now. How many tokens does she have to take away on her first move to be sure of winning, whatever strategy Milena then adopts? (Answer 0 if you think that, for any initial move by Carla, Milena has a chance to win the game.)
Answer: 0 src_bocconi_squadre_2011__Q03
Crittaritmetica: cifre diverse per lettere
Allo specchio: Sostituite le cifre da 0 a 9 al posto delle lettere (a lettere diverse vanno sostituite cifre diverse e a lettere uguali la stessa cifra) in modo che siano verificate entrambe le somme. Quella di destra si ottiene dalla prima leggendone i numeri da destra a sinistra. Qualche numero può cominciare per 0 ma è diverso da 0. Infine, per quanto riguarda i numeri con due cifre, è maggiore di che è maggiore di il quale, a sua volta, è maggiore di .
Topic: Teoria dei Numeri, Logica Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A=4, B=8, C=0, D=9, E=7, F=3, G=5, H=6, I=1, J=2 Fonte: apri PDF
Arithmetic characters: different numbers for each letter
On the mirror: Replace the digits 0 to 9 with letters (different letters must be replaced with different numbers and letters equal the same number) so that both sums are verified. The one on the right gets the numbers from right to left from the first reading. Some numbers can start with 0 but is different from 0. Finally, for two-digit numbers, is greater than which is greater than which is in turn greater than .
Answer: A=4, B=8, C=0, D=9, E=7, F=3, G=5, H=6, I=1, J=2 src_bocconi_squadre_2011__Q04
Massimo codice segreto dal complemento a 30
L’agente segreto Nando, per mettersi in contatto con la sua base operativa, deve prima fornire un codice segreto che ottiene con il quadrato di un numero naturale (scelto tra 1 e 30) moltiplicato per il cubo del complementare di a 30. (Per esempio, per , Nando fornirà il numero ). Qual è il massimo codice segreto che Nando può fornire?
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: 839808 Fonte: apri PDF
Maximum secret code from complement to 30
The secret agent Nando, in order to contact his operational base, must first provide a secret code that he obtains with the square of a natural number (selected between 1 and 30) multiplied by the complement cube of to 30. (For example, for , Nando will provide the number ). What’s the biggest secret code Nando can provide?
Answer: 839808 src_bocconi_squadre_2011__Q05
Litri d’acqua versati dalla fontana a sei livelli
La fontana della figura è costruita su sei livelli. Ad ogni livello, ciascuna vasca versa metà della sua acqua in ciascuna delle due vasche situate sotto di lei. Quanti litri d’acqua sono stati versati inizialmente nell’unica vasca del primo livello (quello superiore) sapendo che la vasca bianca (la seconda da sinistra del livello inferiore) ha raccolto un litro d’acqua?
Topic: Teoria dei Numeri, Probabilità Metodo: Ricorsione, Backward Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 6,4 Fonte: apri PDF
Litres of water poured from the fountain at six levels
The fountain in the figure is built on six levels. At each level, each basin pours half its water into each of the two basins below it. How many liters of water were initially poured into the one tank on the first level (the upper one) knowing that the white tank (the second one on the left of the lower level) collected one litre of water?
Answer: 6,4 src_bocconi_squadre_2011__Q06
Numero di patate portate inizialmente dal viaggiatore
Tre viaggiatori, sfamati, arrivano finalmente in un posto di ristoro e chiedono un piatto di patate. Quando l’oste gliele porta, li trova però addormentati. Lascia allora il piatto sul tavolo. Uno dei tre viaggiatori si sveglia e mangia un terzo delle patate; poi si riaddormenta. A questo punto si sveglia un secondo viaggiatore, mangia un terzo delle patate che rimangono nel piatto e poi anche lui si riaddormenta. Poco dopo si sveglia il terzo viaggiatore che, ignorando che i suoi compagni d’avventura si sono già serviti, mangia un terzo delle patate che sono rimaste nel piatto. Quando l’oste viene a ritirare il piatto, trova che vi sono ancora 8 patate. Quante patate aveva portato inizialmente?
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Backward Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: 27 Fonte: apri PDF
Number of potatoes initially carried by the traveller
Three travelers, fed, finally arrive at a restaurant and ask for a plate of potatoes. But when the host brings them, he finds them asleep. Then leave the plate on the table. One in three travelers wakes up and eats a third of the potatoes; then he falls asleep again. At this point a second traveler wakes up, eats a third of the potatoes left in the plate, and then he falls asleep again. Shortly thereafter, the third traveler wakes up, unaware that his adventure companions have already served themselves, and eats a third of the potatoes left in the dish. When the host comes to pick up the plate, he finds there’s eight more potatoes left. How many potatoes did he bring in first?
Answer: 27 src_bocconi_squadre_2011__Q07
Area minima triangoli rettangoli con cateti che prolungano quadrato
Considerate tutti i triangoli rettangoli i cui cateti prolungano i lati del quadrato e in cui l’ipotenusa passa per . Sapendo che cm, qual è il valore minimo dell’area di questi triangoli?
Topic: Geometria piana, Disuguaglianze Metodo: Estremalità, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria, Algebra e Analisi Risposta: 2 Fonte: apri PDF
Minimum area rectangular triangles with square lengthing catheters
Consider all rectangular triangles whose cathetes extend the sides of the square and in which the hypotenuse passes through . Knowing that cm, what is the minimum value of the area of these triangles?
Answer: 2 src_bocconi_squadre_2011__Q08
Lato del cubo equivolumetrico al parallelepipedo ridotto
Aumentando di 3 cm la più piccola dimensione di un parallelepipedo rettangolo e diminuendone di 5 cm la maggiore, si ottiene un cubo con lo stesso volume del parallelepipedo iniziale. Qual è la misura del lato del cubo?
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 7,5 Fonte: apri PDF
Late of the equivolumetric cube at the reduced parallelpiped
Increasing the smallest size of a rectangular parallelepiped by 3 cm and decreasing the largest by 5 cm gives a cube with the same volume as the initial parallelepiped. What’s the size of the side of the cube?
Answer: 7,5 src_bocconi_squadre_2011__Q09
Lunghezza bisettrice angolo retto in triangolo 3-4-5
Qual è la lunghezza del segmento della bisettrice dell’angolo retto (dal vertice all’ipotenusa) di un triangolo rettangolo i cui lati misurano 3 cm, 4 cm, 5 cm?
Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: Fonte: apri PDF
Length of the right angle beam in triangle 3-4-5
What is the length of the segment of the rectangular vertex (top to hypotenuse) of a right triangle whose sides measure 3 cm, 4 cm, 5 cm?
Answer: src_bocconi_squadre_2011__Q10
Massima somma di numeri a due cifre con cifre da 1 a 9
Ma guarda che combinazione! Tra tre cifre, scelte tra quelle che vanno da 1 a 9 (comprese), si possono scrivere sei numeri di due cifre. Sommando questi sei numeri, si ottiene un numero composto dalle stesse tre cifre iniziali. Qual è il massimo valore di questa somma?
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: 396 Fonte: apri PDF
Maximum sum of two-digit numbers with digits from 1 to 9
But look at that combination! Between three digits, choosing between those ranging from 1 to 9 (included), you can write six two-digit numbers. Adding these six numbers together, you get a number made up of the same three numbers. What is the maximum value of this sum?
Answer: 396 src_bocconi_squadre_2011__Q11
Lunghezza diagonale AC in figura di quattro triangoli equilateri
Guardate la figura, composta da quattro triangoli equilateri che hanno il lato di 1 m. Calcolate la lunghezza della diagonale .
Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: Fonte: apri PDF
AC diagonal length in the shape of four equilateral triangles
Look at the figure, it’s made up of four equilateral triangles that have sides of 1 m. Calculate the length of the diagonal .
Answer: src_bocconi_squadre_2011__Q12
Codice postale della città di Desiderio
Interrogato sul suo codice postale, Desiderio si mostra molto restio a comunicarlo e si limita a fornire alcune informazioni. Dice che è costituito da 5 cifre, che la somma della prima e della seconda è uguale a 17, che la somma della seconda e della terza è uguale a 15, che la somma della terza e della quarta è ancora uguale a 15 e che la somma delle ultime due cifre è uguale a 9. Infine, però sua, precisa che la somma della prima e dell’ultima cifra è uguale a 8 e che l’ultima cifra è 9. Qual è il codice postale della città dove abita Desiderio?
Topic: Teoria dei Numeri, Logica, Algebra Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Risposta: 89690 Fonte: apri PDF
Postal code of the city of Desiderio
Asked about his postal code, Desiderio is very reluctant to communicate it and merely provides some information. It says it’s made up of five digits, that the sum of the first and the second is equal to 17, that the sum of the second and the third is equal to 15, that the sum of the third and the fourth is still equal to 15, and that the sum of the last two digits is equal to 9. Finally, however, it states that the sum of the first and last digits is equal to 8 and that the last digit is 9. What is the postal code of the city where Desiderio lives?
Answer: 89690 src_bocconi_squadre_2011__Q13
Ora di arrivo di Debora a Caldè
Debora parte dalla stazione di Milano Centrale alle 9.00. Il suo treno percorre 27 km, fino a Gallarate, alla velocità media di 96 km/h. Poi si ferma 3 minuti. Poi, ancora, da Gallarate a Caldè (sul Lago Maggiore), il suo treno tiene la media di 96 km/h per i restanti 29 km. A che ora Debora arriverà alla stazione di Caldè?
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 9.38 Fonte: apri PDF
The time of Deborah’s arrival at Calde
Debora leaves from Milan Central Station at 9.00. Its train travels 27 km, to Gallarate, at an average speed of 96 km/h. Then it stops for three minutes. Then, again, from Gallarate to Caldè (on Lake Maggiore), its train keeps the average of 96 km/h for the remaining 29 km. What time will Deborah arrive at Calde’s station?
Answer: 9.38 src_bocconi_squadre_2011__Q14
Numero di divisori del prodotto di tutti i divisori di n
Avete un numero naturale maggiore di 1. Il prodotto di tutti i suoi divisori (compreso 1 e il numero stesso) è uguale alla potenza quinta di questo numero. Quanti divisori possiede questo numero?
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: 10 Fonte: apri PDF
Number of product dividers of all n dividers
You have a natural number greater than 1. The product of all its divisors (including 1 and the number itself) is equal to the fifth power of this number. How many divisors does this number have?
Answer: 10 src_bocconi_squadre_2011__Q15
Persone sedute al tavolo circolare con coppie miste
In un banchetto, tutti i posti della tavola circolare sono occupati: 7 signore hanno un’altra signora alla loro destra; 12 signore hanno invece un uomo alla loro destra; a loro volta, esattamente il 75% degli uomini presenti ha una signora alla sua destra. Quante sono complessivamente le persone sedute attorno al tavolo?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Doppio conteggio, Casework Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 35 Fonte: apri PDF
People sitting at the round table in mixed pairs
In a banquet, all the seats on the round table are occupied: 7 ladies have another lady on their right; 12 ladies instead have a man on their right; in turn, exactly 75% of the men present have a lady on their right. How many people are sitting around the table overall?
Answer: 35 src_bocconi_squadre_2011__Q16
Rapporto aree quadrilatero delle bisettrici e rettangolo 10×15
Considerate un rettangolo i cui lati misurano 10 cm e 15 cm. Le bisettrici dei suoi quattro angoli, intersecandosi, formano un quadrilatero. Calcolate il rapporto tra l’area del quadrilatero e quella del rettangolo iniziale.
Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: Fonte: apri PDF
Report of quadrilateral areas of the beams and rectangle 10×15
Consider a rectangle whose sides measure 10 cm and 15 cm. Its four corners, intersecting, form a quadrilateral. Calculate the ratio of the area of the quadrilateral to that of the initial rectangle.
Answer: src_bocconi_squadre_2011__Q17
Area minima quadrato diviso in otto triangoli rettangoli simili
Dividete un quadrato in otto triangoli rettangoli, diversi ma simili tra di loro e in cui la lunghezza del cateto maggiore è uguale al doppio di quello del cateto minore. In figura (che pure non rispetta le proporzioni) vedete il risultato ottenuto. Ricordate che tutte le superfici dei triangoli (espresse in ) sono dei numeri interi. Quanto vale al minimo l’area del quadrato?
Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 500 Fonte: apri PDF
Minimum square area divided into eight similar rectangular triangles
Divide a square into eight rectangular triangles, different but similar to each other and where the length of the major square is twice that of the minor square. In the figure (which does not respect the proportions) you can see the result. Remember that all the surfaces of triangles (expressed in ) are integers. How much is the minimum area of the square worth?
Answer: 500 src_bocconi_squadre_2011__Q18
Numero di insetti isolati alla sera del 31 dicembre
La popolazione di insetti che studiamo ha avuto nel 2010 un ritmo di crescita impressionante. Al primo gennaio, contava 2010 unità. Al 2 gennaio il numero era salito a 4021 (il doppio +1). Al 3 gennaio era di 12064 (il triplo del numero precedente +1). Nel mese di gennaio la popolazione di insetti è cresciuta seguendo in base alla legge: il numero di individui del giorno precedente, moltiplicato per il numero del giorno e aumentato di 1. Anche febbraio ha visto conservarsi la stessa legge (con un aumento però di 2). La popolazione del 1 febbraio era quella del 31 gennaio aumentata di 2; la popolazione del 2 febbraio era il doppio della precedente (quella del 1 febbraio) aumentata di 2, e così via. La legge che descrive la crescita della popolazione di insetti rimane identica anche nei mesi successivi, con la differenza però che a marzo, ogni giorno, viene aumentata di 3 e non di uno come a gennaio e neppure di 2 come a febbraio; ad aprile viene aumentata di 4; a maggio di 5 e così via fino a dicembre quando viene aumentata di 12. La nostra popolazione di insetti, oltre a crescere così vorticosamente, ha un’altra caratteristica. Gli insetti hanno l’abitudine di volare in formazioni costituite da 13 unità; quando il loro numero non è un multiplo di 13, si dispongono in modo tale che il numero di insetti isolati (che non stanno in una formazione di 13 unità) sia il più piccolo possibile. Quanti insetti saranno allora isolati alla sera del 31 dicembre?
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Ricorsione, Congruenze, Induzione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: 12 Fonte: apri PDF
Number of insects isolated on the evening of 31 December
The insect population we’re studying had an impressive growth rate in 2010. As of January 1, it had 2010 units. By 2 January the number had risen to 4021 (double +1). On 3 January it was 12064 (three times the previous number +1). In January, the insect population grew according to the law: the number of individuals the day before, multiplied by the number of days, and increased by 1. The same law was also maintained in February (with an increase of 2). The population on 1 February was increased by 2 on 31 January; the population on 2 February was double the previous one (the one on 1 February) increased by 2, and so on. The law describing insect population growth remains the same even in the following months, with the difference that in March, every day, it is increased by 3 and not one as in January and not even by 2 as in February; in April it is increased by 4; in May it is increased by 5 and so on until December when it is increased by 12. Our insect population, in addition to growing so swiftly, has another feature. Insects are in the habit of flying in formations of 13 units; when their number is not a multiple of 13, they are arranged in such a way that the number of isolated insects (which are not in a 13-unit formation) is as small as possible. How many insects will be isolated on the evening of December 31?
Answer: 12 src_bocconi_squadre_2011__Q19
Frazione per cui Luca ha moltiplicato invece di dividere
Luca ha un modo davvero strano di fare i calcoli con le frazioni. È abituato a sostituire la linea di frazione con una virgola e, quando si tratta di moltiplicare, invece divide. Così ad esempio, per moltiplicare 12 per 6/25, divide 12 per 6,25. Luca però è anche un calcolatore fortunato: oggi, procedendo normalmente nella moltiplicazione di un numero (diverso da 0) per una frazione irriducibile, ha incredibilmente ottenuto il risultato esatto. Qual è la frazione per cui Luca ha moltiplicato il numero?
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: Fonte: apri PDF
Fraction for which Luke multiplied instead of dividing
Luke has a really weird way of calculating fractions. He is used to replacing the fractional line with a comma and, when it comes to multiplying, instead divides. So for example, to multiply 12 by 6/25, divide 12 by 6.25. But Luke is also a lucky calculator: today, by proceeding normally in multiplying a number (different from 0) by an irreducible fraction, he has incredibly achieved the exact result. What is the fraction by which Luke multiplied the number?
Answer: src_bocconi_squadre_2011__Q20