Gara a Squadre 2012

Ordine di arrivo corsa campestre

Carla, Milena, Anna, Fausta e Debora hanno partecipato alla corsa campestre della loro classe. Carla e Anna non hanno vinto. Milena è arrivata ultima. Anna invece tra le prime due. Carla è arrivata immediatamente prima di Debora.

Scrivete l’ordine di arrivo della corsa campestre.

Topic: Logica Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: FAUSTA, ANNA, CARLA, DEBORA, MILENA Fonte: apri PDF

Order of arrival for the rural race

Carla, Milena, Anna, Fausta, and Debora took part in their class’ country race. Carla and Anna didn’t win. Milena is the last one. Anna, on the other hand, is in the top two. Carla got here right before Deborah.

Write down the arrival order of the country race.

Answer: FAUSTA, ANNA, CARLA, DEBORA, MILENA src_bocconi_squadre_2012__Q01

Posizionare 1-12 in grafo con somme uguali sui segmenti

Nei dodici cerchi “liberi” della figura, scrivete tutti i numeri naturali da $1$ a $12$. Le somme dei numeri appartenenti ai dodici segmenti congiungenti tre cerchi devono essere sempre uguali.

Nei dodici cerchi “liberi” della figura, scrivete tutti i numeri naturali da 1 a 12. Le somme dei numeri appartenenti ai dodici segmenti congiungenti tre cerchi devono essere sempre uguali.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: Una possibile soluzione (a meno di simmetrie) è mostrata nella figura delle soluzioni Fonte: apri PDF

Place 1-12 in a graph with equal sums on the segments

In the twelve “free” circles in the figure, write all natural numbers from $1$ to $12$. The sums of the numbers belonging to the twelve segments connecting three circles must always be equal.

**In the 12 ‘free’ circles in the figure, write all natural numbers from 1 to 12. ** The sums of the numbers belonging to the 12 segments connecting three circles must always be equal.

Answer: Una possibile soluzione (a meno di simmetrie) è mostrata nella figura delle soluzioni src_bocconi_squadre_2012__Q02

Numero di salti del canguro per 100 metri

Si sa che i canguri saltano e si spostano solo saltando. Il nostro canguro effettua due salti in $1.5$ secondi, muovendosi alla velocità di $12$ km/h.

Con quanti salti fa i 100 metri?

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 40 salti Fonte: apri PDF

Number of kangaroo jumps per 100 metres

Kangaroos are known to jump and move only by jumping. Our kangaroo makes two jumps in $1.5$ seconds, moving at $12$ km/h.

How many jumps does she take in the 100 meters?

Answer: 40 salti src_bocconi_squadre_2012__Q03

Misura del segmento FG in figura con quarto di cerchio

La figura mostra un quarto di cerchio di raggio unitario. Si sa che $BC=7/8$, $DG=\frac{1}{2}$, il punto $E$ è il piede della perpendicolare abbassata da $D$ sul raggio orizzontale, $F$ è tale che la retta passante per $D$ e $F$ è parallela a quella passante per $C$ e $E$.

Quanto vale la misura del segmento FG?

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\frac{4-\sqrt{2}}{28}$ Fonte: apri PDF

Measurement of the FG segment in figure with quarter circle

The figure shows a quarter circle of unit radius. It is known that $BC=7/8$, $DG=\frac{1}{2}$, the point $E$ is the foot of the perpendicular lowered by $D$ on the horizontal radius, $F$ is such that the straight line passing through $D$ and $F$ is parallel to that passing through $C$ and $E$.

What is the size of the FG segment?

Answer: $\frac{4-\sqrt{2}}{28}$ src_bocconi_squadre_2012__Q04

Numeri interi maggiori di 1000 con metà uguale a sé meno metà

Trovate tutti i numeri interi (maggiori di $1000$) che soddisfano questa proprietà: sottraendo loro $1000$, si ottiene il numero intero immediatamente precedente la loro metà.

Trovate tutti i numeri interi maggiori di 1.000 che soddisfano questa proprietà.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: 1998, 1999 Fonte: apri PDF

Integer numbers greater than 1000 with half equal to itself less half

**Find all integers ** (greater than $1000$) that satisfy this property: subtracting them $1000$ gives the integer immediately preceding their half.

Find all integers greater than 1,000 that satisfy this property.

Answer: 1998, 1999 src_bocconi_squadre_2012__Q05

Ultima cifra di numero gigantesco moltiplicato per 7

Se si moltiplica per $7$ un gigantesco numero composto da $1993$ cifre, si ottiene un numero che si scrive tramite l’unica cifra $9$ con l’eccezione dell’ultima cifra.

Qual è quest’ultima cifra?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 7 oppure 0 Fonte: apri PDF

Last giant number number multiplied by 7

If you multiply by $7$ a giant number consisting of $1993$ digits, you get a number that is written using the single digit $9$ with the exception of the last digit.

What is this last figure?

Answer: 7 oppure 0 src_bocconi_squadre_2012__Q06

Triangoli con vertici tra 10 punti su una circonferenza

Considerate su una circonferenza $10$ punti e tutti i triangoli i cui vertici sono tre dei $10$ punti considerati.

Quanti sono questi triangoli?

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 120 Fonte: apri PDF

Triangles with vertices between 10 points on a circumference

Consider on a circumference $10$ points and all triangles whose vertices are three of the $10$ points considered.

**How many triangles are these? **

Answer: 120 src_bocconi_squadre_2012__Q07

Distanza percorsa dalla formica cordiale nella fila

Un gruppo di formiche si sposta in linea retta e in fila indiana, formando una colonna di $50$ cm. Ad un certo punto, la formica che era in coda al gruppo - particolarmente cordiale - decide di andare a salutare la collega che sta in testa alla fila; la raggiunge, la saluta e poi torna in coda. Sapendo che in questo “andata e ritorno” la velocità della formica cordiale è rimasta costante e che la colonna ha percorso $50$ cm, qual è la distanza percorsa dalla formica cordiale?

(Si considera trascurabile la lunghezza di una singola formica)

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: $50(1+\sqrt{2})$ Fonte: apri PDF

Distance traveled by the cordial ant in the row

A group of ants moves in a straight line and in a straight line, forming a column of $50$ cm. At some point, the ant that was in the queue - particularly friendly - decides to go and greet the coworker who is at the head of the queue; he reaches out to her, greets her, and then comes back in the queue. Knowing that in this “way-and-back” the corneal ant’s velocity has remained constant and that the column has traveled $50$ cm, ** what is the distance traveled by the corneal ant?**

(The length of a single ant is considered negligible)

Answer: $50(1+\sqrt{2})$ src_bocconi_squadre_2012__Q08

Completare una matrice con cifre 1-9 rispettando regole di riga e colonna

Siete caldamente invitati a completare questa matrice, inserendo solo i numeri naturali compresi tra $1$ e $9$ (inclusi), in modo che le somme dei numeri di ciascuna riga e di ciascuna colonna siano proprio quelle indicate rispettivamente alla loro sinistra e in alto. I numeri della $1^a$ e della $4^a$ riga devono anche essere ordinati in senso crescente (da sinistra verso destra).

La matrice ha le seguenti righe e colonne parzialmente riempite:

• Riga $21$: $\_,\_,3,\_,\_,\_$
• Riga $25$: $2,\_,\_,\_,\_,\_$
• Riga $28$: $\_,\_,\_,\_,\_,\_$
• Riga $39$: $\_,\_,\_,\_,\_,\_$

Colonne (somme): $10,11,12,13,14,15$. Elementi già inseriti: in riga $25$ col $1$: $2$; in riga $21$ col $3$: $3$; in riga $25$ col $6$: $6$; in riga $39$ col $6$: apparentemente $6$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: Le due righe centrali possono essere diverse; una soluzione è: riga 21: 1,2,3,4,5,6; riga 25: 2,3,1,9,6,4; riga 28: 3,1,2,8,9,5; riga 39: 4,5,6,7,8,9 Fonte: apri PDF

Complete a matrix with digits 1-9 following line and column rules

You are strongly encouraged to complete this matrix, entering only the natural numbers between $1$ and $9$ (included), so that the sums of the numbers in each row and each column are exactly those shown to their left and top respectively. The numbers of the $1^a$ and $4^a$ rows must also be in increasing order (left to right).

The following rows and columns are partially filled in: - Riga $21$: $\_,\_,3,\_,\_,\_$ - Riga $25$: $2,\_,\_,\_,\_,\_$ - Riga $28$: $\_,\_,\_,\_,\_,\_$ - Riga $39$: $\_,\_,\_,\_,\_,\_$

Columns (sum): $10,11,12,13,14,15$. Elements already entered: in line $25$ with $1$: $2$; in line $21$ with $3$: $3$; in line $25$ with $6$: $6$; in line $39$ with $6$: apparently $6$.

Answer: Le due righe centrali possono essere diverse; una soluzione è: riga 21: 1,2,3,4,5,6; riga 25: 2,3,1,9,6,4; riga 28: 3,1,2,8,9,5; riga 39: 4,5,6,7,8,9 src_bocconi_squadre_2012__Q09

Prezzo secondo vestito dato rapporti tra prezzi

Nando alla fine si è deciso e si è comprato addirittura tre vestiti. Non ha badato a spese e ha pagato $1991$ Euro. Qual era il prezzo del secondo vestito, sapendo che quello del terzo era il doppio di quello del primo e che per scrivere i tre prezzi in questione (tutti numeri interi di Euro) si usano nove cifre diverse tra loro?

Qual è il prezzo del secondo vestito?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 638 oppure 29 Fonte: apri PDF

Price by garment given price ratios

Nando finally made up his mind and even bought three clothes. He did not pay any expenses and paid $1991$ Euro. What was the price of the second dress, knowing that the price of the third was twice that of the first and that to write the three prices in question (all euro integers) nine different digits are used?

What is the price of the second dress?

Answer: 638 oppure 29 src_bocconi_squadre_2012__Q10

Numero minimo di operazioni per arrivare da 1 a 2000

Qual è il numero minimo di operazioni necessarie per arrivare da $1$ a $2000$, avendo a disposizione un’aritmetica particolarmente povera in cui è possibile solo aggiungere $1$ e moltiplicare per $3$?

Qual è il numero minimo di operazioni necessarie per arrivare da 1 a 2000 e moltiplicare per 3?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Backward, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 13 Fonte: apri PDF

Minimum number of operations to reach 1 to 2000

**What is the minimum number of operations required to get from $1$ to $2000$, given a particularly poor arithmetic where you can only add $1$ and multiply by $3$?

What is the minimum number of operations needed to get from 1 to 2000 and multiply by 3?

Answer: 13 src_bocconi_squadre_2012__Q11

Ora di partenza di Chiara per arrivare puntuale in bici

Chiara e Marco si sono dati appuntamento, per uno spuntino, in un bar distante $48$ km da casa loro (si vede che chi più vicino non c’era…). Marco è partito alle $8.00$ di mattina e, in bicicletta, ha tenuto una velocità media di $18$ km/h. Chiara è andata all’appuntamento in macchina, con una velocità media di $72$ km/h. Il bello è che all’appuntamento Chiara e Marco sono arrivati contemporaneamente.

A che ora era partita Chiara da casa?

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: alle 10,00 Fonte: apri PDF

Time to leave Chiara to arrive on time by bike

Chiara and Marco made an appointment, for a snack, in a bar a mile from their home (you can see that the nearest person wasn’t there…). Marco set off at $8.00$ in the morning and cycled at an average speed of $18$ km/h. Clear went to the appointment in her car, with an average speed of $72$ km/h. The good thing is that Chiara and Marco arrived at the appointment simultaneously.

What time did Chiara leave home?

Answer: alle 10,00 src_bocconi_squadre_2012__Q12

Moltiplicazioni di due naturali con stessa cifra per unità e prodotto uguale a 2001

Scrivete tutte le moltiplicazioni di due numeri naturali che hanno la stessa cifra a rappresentare le unità e il cui prodotto è uguale a $2001$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: $29\times 69$ e $2001\times 1$ Fonte: apri PDF

Multiplies of two natural numbers with the same number per unit and product equal to 2001

Write all multiplication of two natural numbers that have the same number to represent the units and whose product is $2001$.

Answer: $29\times 69$ e $2001\times 1$ src_bocconi_squadre_2012__Q13

Peso delle uova di cioccolato più leggere e più pesanti

Sul tavolo, pronte per essere regalate, ci sono cinque uova di cioccolato contrassegnate con le lettere $A,B,C,D,E$. Sono però di due tipi diversi: uno ha un cioccolato più pesante, l’altro è di un tipo più leggero e quindi pesa meno. Sapete che le uova $A$ e $E$ insieme pesano $252$ g; le uova $A,B,C$ pesano insieme $420$ g; le uova $B,C,D,E$ pesano insieme $567$ g.

Qual è il peso delle uova più leggere e di quelle più pesanti?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: Le uova più leggere pesano 126 g ciascuna e quelle più pesanti pesano 147 g ciascuna Fonte: apri PDF

Weight of lighter and heavier chocolate eggs

On the table, ready to be given, there are five chocolate eggs marked with the letters $A,B,C,D,E$. However, they are of two different types: one has heavier chocolate, the other is lighter and therefore weighs less. You know that the eggs together weigh $A$ and $E$ together weigh $252$ g; the eggs $A,B,C$ together weigh $420$ g; the eggs $B,C,D,E$ together weigh $567$ g.

What is the weight of the lightest and heaviest eggs?

Answer: Le uova più leggere pesano 126 g ciascuna e quelle più pesanti pesano 147 g ciascuna src_bocconi_squadre_2012__Q14

Numero nella riga 1001 e colonna 2002 di una grande matrice

Riempite le caselle della tabella rettangolare con dei numeri interi non negativi, rispettando le seguenti regole.

Per la prima riga:

• in alto, a sinistra, scrivete $0$; dopo non si potrà più mettere $0$ né nella prima riga, né nella prima colonna;
• nella casella successiva della prima riga, scrivete $1$ (il primo numero possibile); dopo, non si potrà più mettere $1$ né nella prima riga né nella seconda colonna;
• e così via (la prima riga conterrà dunque, in ordine, tutti i numeri interi non negativi).

Per la seconda riga:

• nella prima colonna scrivete $1$ (è il primo numero possibile, dato che $0$ figura già in quella colonna);
• nella seconda colonna scrivete $0$ (è il primo numero possibile);
• nella terza colonna scrivete $3$ (è il primo numero possibile, dato che $0$ e $1$ compaiono già nella stessa riga e $2$ compare già nella terza colonna);
• e così via, andando avanti allo stesso modo nella seconda riga e in quelle successive.

Quale numero figurerà nell’intersezione tra la 1001.esima riga e la 2002.esima colonna?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, skill_riconoscimento_pattern Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1081 Fonte: apri PDF

Number in row 1001 and column 2002 of a large matrix

Fill the boxes in the rectangular table with non-negative integers, following the following rules.

For the first line: - at the top, left, write $0$; then you can no longer put $0$ in either the first line or the first column; - in the next box of the first line, write $1$ (the first possible number); then, you can no longer put $1$ in either the first line or the second column; - and so on (the first line will therefore, in order, contain all nonnegative integers).

For the second row: - in the first column write $1$ (it is the first possible number, since $0$ already appears in that column); - in the second column write $0$ (it is the first possible number); - in the third column write $3$ (it is the first possible number, since $0$ and $1$ already appear in the same row and $2$ already appears in the third column); - and so on, going forward the same way in the second row and in the subsequent ones.

What number will appear at the intersection between the 1001st row and the 2002th column?

Answer: 1081 src_bocconi_squadre_2012__Q15

Numero triangolare di tre cifre uguali

Un numero si dice triangolare quando è uguale alla somma di tutti gli interi naturali (fino a un certo posto). Il numero $10$, ad esempio, è triangolare perché è la somma di $1+2+3+4$.

Scrivete un numero triangolare che abbia uguali le sue tre cifre decimali.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 666 Fonte: apri PDF

*Triangular number of three digits equal to *

A number is said to be triangular when it is equal to the sum of all natural integers (up to a certain point). The number $10$, for example, is triangular because it is the sum of $1+2+3+4$.

Write a triangular number equal to its three decimal places.

Answer: 666 src_bocconi_squadre_2012__Q16

Superficie massima di isola quadrilatera convessa con lati noti

L’isola di Poligono ha la forma di un quadrilatero convesso. Liliana - una esploratrice temeraria - si trova all’interno dell’isola in un punto che dista rispettivamente $20$ km, $10$ km, $18$ km, $6$ km dai quattro vertici dell’isola.

Qual è al massimo, in ${\text{km}}^2$, la superficie dell’isola di Poligono?

Topic: Geometria piana Metodo: Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Stima, Modellizzazione Area: Geometria Risposta: $364{\text{ km}}^2$ Fonte: apri PDF

Maximum area of convex quadrilateral island with known sides

The island of Polygon is in the shape of a convex quadrilateral. Liliana - a daring explorer - is located within the island at a point that is respectively $20$ km, $10$ km, $18$ km, $6$ km from the four peaks of the island.

**What is the maximum area of Polygon Island in ${\text{km}}^2$? **

Answer: $364{\text{ km}}^2$ src_bocconi_squadre_2012__Q17

Radice quadrata di numero con blocchi ripetuti di cifre 4 e 5

Sapete calcolare le radici quadrate?

Trovate la radice quadrata del numero $444\dots 44111\dots 11-555\dots 55$ dove nel primo “blocco” la cifra $"4"$ è ripetuta $2006$ volte e lo stesso accade poi per le cifre $"1"$ e $"5"$.

Trovate la radice quadrata del numero $444\dots 44111\dots 11-555\dots 55$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: 6 ripetuto 2006 volte Fonte: apri PDF

Square root of a number with repeated blocks of digits 4 and 5

Can you calculate the square roots?

Find the square root of the number $444\dots 44111\dots 11-555\dots 55$ where in the first “block” the number $"4"$ is repeated $2006$ times and the same is then done for the numbers $"1"$ and $"5"$.

Find the square root of the number $444\dots 44111\dots 11-555\dots 55$.

Answer: 6 ripetuto 2006 volte src_bocconi_squadre_2012__Q18

Quarta frazione con numeratore 1 in somma uguale a 1

È possibile scrivere il numero $1$ come somma di cinque frazioni che hanno tutte al numeratore $1$, sapendo che l’ultima (in ordine decrescente) è $\frac{1}{24}$?

Se non è possibile, scrivete $0$. Se è possibile, indicate la quarta frazione (sempre in ordine decrescente).

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: $\frac{1}{12}$ Fonte: apri PDF

Fourth fraction with number 1 equal to 1

Is it possible to write the $1$ number as the sum of five fractions that all have the $1$ numerator, knowing that the last one (in descending order) is $\frac{1}{24}$?

If this is not possible, type $0$. If possible, indicate the fourth fraction (always in descending order).

Answer: $\frac{1}{12}$ src_bocconi_squadre_2012__Q19

Ultima data palindroma a otto cifre nel formato gg/mm/aaaa

Il $21$ febbraio di quest’anno è stata una data palindroma ($\mathrm{21.02.2012}$). Sempre considerando allineamenti di otto cifre, qual è stata l’ultima data palindroma nei secoli scorsi?

Topic: Logica, Combinatoria Metodo: Backward, Casework Abilita: Lettura attenta, Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 29/11/1192 Fonte: apri PDF

Last eight-digit palindrome date in gg/mm/aaaa

The $21$ February of this year was a palindrome date ($\mathrm{21.02.2012}$). Also considering eight-digit alignments, ** what was the last palindrome date in past centuries? **

Answer: 29/11/1192 src_bocconi_squadre_2012__Q20