Gara a Squadre 2014

Moltiplicazione ciclica ILANOM × 4 = MILANO

Considerate la seguente moltiplicazione, sapendo che a lettere uguali corrispondono cifre uguali e a lettere diverse corrispondono cifre diverse:

$\text{ILANOM}\times 4=\text{MILANO}$

Scrivete tutte le possibili soluzioni numeriche per la parola MILANO.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Lettura attenta, Casework accurato, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 410256, 615384, 923076 Fonte: apri PDF

Cyclic multiplication of ILANOM × 4 = MILAN

Consider the following multiplication, knowing that equal letters have equal digits and different letters have different digits:

$\text{ILANOM}\times 4=\text{MILANO}$

Write down all the possible numerical solutions for the word MILANO.

Answer: 410256, 615384, 923076 src_bocconi_squadre_2014__Q01

Prodotto di numero a due cifre per 99 con terza cifra 5

Un numero di due cifre, uguali tra loro, viene moltiplicato per $99$. Quale sarà il risultato della moltiplicazione, sapendo che è un numero di quattro cifre e che la sua terza cifra (a partire da sinistra) è $5$?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 4356 Fonte: apri PDF

Two-digit number product for 99 with third digit 5

A number of two digits equal to each other is multiplied by $99$. What will be the result of multiplication, knowing that it is a four-digit number and that its third digit (from left) is $5$?

Answer: 4356 src_bocconi_squadre_2014__Q02

Fiammiferi per ricoprire pavimento 1 m × 1 m con quadratini 5 cm

Quanti fiammiferi, lunghi $5$ cm, occorrono al minimo per ricoprire un pavimento quadrato ($1\text{ m}\times 1\text{ m}$) con un reticolato di quadratini di $5$ cm di lato?

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 840 Fonte: apri PDF

*Flames for flooring 1 m × 1 m with 5 cm squares *

How many matches, $5$ cm long, is the minimum required to cover a square floor ($1\text{ m}\times 1\text{ m}$) with a square lattice of $5$ cm on the side?

Answer: 840 src_bocconi_squadre_2014__Q03

Radice quadrata del numero 444…44111…11 - 555…55

Calcolate la radice quadrata del numero: $\underset{\text{2006 volte la cifra }4}{\underbrace{444\dots 44}}\underset{\text{2006 volte la cifra }1}{\underbrace{111\dots 11}}-\underset{\text{2006 volte la cifra }5}{\underbrace{555\dots 55}}$ (il primo addendo è costituito dalla cifra $4$ ripetuta $2006$ volte seguita dalla cifra $1$ ripetuta anch’essa $2006$ volte; il secondo addendo è costituito dalla cifra $5$ ripetuta $2006$ volte).

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: $\underset{2006\text{ volte la cifra }6}{\underbrace{666\dots 6}}$ (2006 volte la cifra 6) Fonte: apri PDF

The square root of the number 444…44111…11 - 555…55*

Calculate the square root of the number: $\underset{\text{2006 volte la cifra }4}{\underbrace{444\dots 44}}\underset{\text{2006 volte la cifra }1}{\underbrace{111\dots 11}}-\underset{\text{2006 volte la cifra }5}{\underbrace{555\dots 55}}$ (the first addition is $4$ repeated $2006$ times followed by the number $1$ repeated also $2006$ times; the second addition is $5$ repeated $2006$ times).

Answer: $\underset{2006\text{ volte la cifra }6}{\underbrace{666\dots 6}}$ (2006 volte la cifra 6) src_bocconi_squadre_2014__Q04

Lunghezza del segmento che congiunge medi consecutivi in rettangolo inscritto in cerchio diametro 2 cm

Inscrivete in un cerchio che ha il diametro di $2$ cm un rettangolo qualsiasi e considerate i punti medi dei suoi lati. Qual è la lunghezza del segmento che congiunge due di questi punti medi consecutivi?

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $1$ cm Fonte: apri PDF

Length of the segment connecting consecutive mediums in a rectangle inscribed in a circle with a diameter of 2 cm

Write any rectangle into a circle with a diameter of $2$ cm and consider the midpoints of its sides. What is the length of the segment connecting two of these consecutive mean points?

Answer: $1$ cm src_bocconi_squadre_2014__Q05

Rapporto tra area nuovo triangolo e area triangolo iniziale con quadrati costruiti sui lati

Considerate un triangolo qualsiasi e, esternamente ad esso, i tre quadrati costruiti a partire dai suoi tre lati. Congiungete (in figura sono i segmenti tratteggiati) i vertici «liberi» di questi quadrati, ottenete tre nuovi triangoli. Scrivete il numero che dà il rapporto tra l’area di uno dei nuovi triangoli (quello di destra, ad esempio) e l’area del triangolo iniziale.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 1 Fonte: apri PDF

Ratio between area of new triangle and area of initial triangle with squares built on the sides

Consider any triangle and, externally to it, the three squares constructed from its three sides. Combine the vertices liberi of these squares, and you get three new triangles. Write the number that gives the ratio of the area of one of the new triangles (the one on the right, for example) to the area of the original triangle.

Answer: 1 src_bocconi_squadre_2014__Q06

Coppie intere (x,y) con (x-y)^2 + 2y^2 <= 27

Scrivete tutte le coppie $(x,y)$ di numeri interi che soddisfano l’uguaglianza $(x-y{)}^2+2y^2\le 27$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra, Disuguaglianze Metodo: Casework, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: $(-6,-1)$, $(+6,+1)$, $(-4,+1)$, $(+4,-1)$, $(0,-3)$, $(0,+3)$, $(-6,-3)$, $(+6,+3)$ Fonte: apri PDF

Integressive pairs (x,y) with (x-y) squared + 2y squared <= 27

Write all the $(x,y)$ pairs of integers that satisfy the $(x-y{)}^2+2y^2\le 27$ equality.

Answer: $(-6,-1)$, $(+6,+1)$, $(-4,+1)$, $(+4,-1)$, $(0,-3)$, $(0,+3)$, $(-6,-3)$, $(+6,+3)$ src_bocconi_squadre_2014__Q07

Piastrelle quadrate da 1 dm di lato per coprire stanza 23 dm × 23 dm

Un pavimento di una stanza quadrata di $23$ dm di lato è interamente ricoperto da piastrelle quadrate che possono essere di $1$ dm di lato, oppure di $2$ dm di lato, oppure ancora di $3$ dm di lato. Quante piastrelle di $1$ dm di lato saranno necessarie al minimo per ricoprire l’intero pavimento?

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 1 piastrella Fonte: apri PDF

Square tiles of 1 dm side to cover room 23 dm × 23 dm

A floor of a square room of $23$ dm on the side is entirely covered by square tiles which may be $1$ dm on the side, or $2$ dm on the side, or $3$ dm on the side. How many $1$ dm tiles on the side will be needed to cover the entire floor?

Answer: 1 piastrella src_bocconi_squadre_2014__Q08

Soluzioni reali del sistema (x+y)^3=z, (y+z)^3=x, (z+x)^3=y

Trovate tutte le soluzioni reali del sistema costituito dalle tre seguenti equazioni: $(x+y{)}^3=z,(y+z{)}^3=x,(z+x{)}^3=y$

Topic: Algebra Metodo: Simmetria, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Risposta: $x=y=z=0$ oppure $x=y=z=\pm \frac{\sqrt{2}}{4}$ Fonte: apri PDF

Real system solutions (x+y)^3=z, (y+z)^3=x, (z+x)^3=y

Find all the real solutions to the system consisting of the following three equations: $(x+y{)}^3=z,(y+z{)}^3=x,(z+x{)}^3=y$

Answer: $x=y=z=0$ oppure $x=y=z=\pm \frac{\sqrt{2}}{4}$ src_bocconi_squadre_2014__Q09

Massimo numero di interi tra 1 e 99 senza alcun sottoinsieme di somma 100

Formate un insieme prendendo alcuni di tutti i numeri interi compresi tra $1$ e $99$. Ognuno di questi numeri deve essere considerato una sola volta e l’insieme che avete formato deve essere tale che sia impossibile considerarne un qualsiasi sottoinsieme la somma dei cui elementi è uguale a $100$. Quante carte potrà contenere al massimo il vostro insieme?

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Principio dei cassetti Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 50 Fonte: apri PDF

Maximum number of integers between 1 and 99 with no subset of sum of 100

Form a set by taking some of all the integers between $1$ and $99$. Each of these numbers must be considered only once, and the set you have formed must be such that it is impossible to consider any subset whose sum of elements is $100$. How many cards can your set contain?

Answer: 50 src_bocconi_squadre_2014__Q10

Peso di ciascuna delle cinque uova di cioccolato dato sistema di pesate

A Nando, nel suo negozio, dopo le vacanze di Pasqua, sono avanzate cinque uova di cioccolato. Sono di due tipi diversi: alcune sono vuote e quindi più leggere; altre, ripiene, sono più pesanti. Nando le ha indicate con le lettere $A$, $B$, $C$, $D$, $E$. Le uova $A$ ed $E$ pesano, assieme, $252$ g; le uova $A$, $B$ e $C$ pesano, assieme, $420$ g; le uova $B$, $C$, $D$ ed $E$ pesano, assieme, $567$ g. Qual è il peso di ciascuna delle cinque uova?

Topic: Algebra Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Modellizzazione Area: Algebra e Analisi Risposta: $A=126$ g; $B=147$ g; $C=147$ g; $D=147$ g; $E=126$ g Fonte: apri PDF

Weight of each of the five chocolate eggs given weighting system

In Nando’s shop, after the Easter holidays, five chocolate eggs have come in. They are of two different types: some are empty and therefore lighter; others, when filled, are heavier. Nando referred to them as $A$, $B$, $C$, $D$, $E$. The eggs $A$ and $E$ together weigh $252$ g; the eggs $A$, $B$ and $C$ together weigh $420$ g; the eggs $B$, $C$, $D$ and $E$ together weigh $567$ g. What is the weight of each of the five eggs?

Answer: $A=126$ g; $B=147$ g; $C=147$ g; $D=147$ g; $E=126$ g src_bocconi_squadre_2014__Q11

Massimo valore di z nel sistema x+y+z=10, xy+yz+zx=12

Trovate il più grande valore (reale) che si può attribuire a $z$ in modo che il seguente sistema, formato da due equazioni, ammetta soluzioni reali: $x+y+z=10,xy+yz+zx=12$

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi Risposta: $\frac{26}{3}$ Fonte: apri PDF

Maximum value of z in the system x+y+z=10, xy+yz+zx=12

Find the greatest (real) value that can be assigned to $z$ so that the following system, consisting of two equations, admits real solutions: $x+y+z=10,xy+yz+zx=12$

Answer: $\frac{26}{3}$ src_bocconi_squadre_2014__Q12

Rapporto area parte comune tra triangolo e quadrato interno al triangolo grande

Prendete come unità di misura il lato della quadrettatura interna al quadrato grande e scrivete l’area della parte comune (in grigio nella figura) al triangolo e al quadrato interno al triangolo grande.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\frac{11}{12}$ Fonte: apri PDF

Common area ratio of triangle to square inside the large triangle

Take as a unit of measurement the side of the inner square to the large square and write the area of the common part (in gray in the figure) to the triangle and the inner square to the large triangle.

Answer: $\frac{11}{12}$ src_bocconi_squadre_2014__Q13

Area della parte più scura di due rettangoli sovrapposti 8 cm × 2 cm con un vertice comune

In figura vedete due rettangoli, parzialmente sovrapposti, che hanno le stesse dimensioni e un vertice in comune. Tenendo conto delle informazioni riportate in figura ($8$ cm, $2$ cm, e due segmenti indicati come uguali), calcolate l’area della parte più scura.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $70$ (in unità quadrate secondo la scala della figura) Fonte: apri PDF

Area of the darkest part of two rectangles overlapping 8 cm × 2 cm with a common vertex

In the figure, you see two rectangles, partially overlapping, that have the same size and a common vertex. Taking into account the information in the figure ($8$ cm, $2$ cm, and two segments indicated as equal), calculate the area of the darker part.

Answer: $70$ (in unità quadrate secondo la scala della figura) src_bocconi_squadre_2014__Q14

Numero iniziale di cioccolatini in ciascun vassoio dopo scambi tra Chiara, Carla e Jacopo

Nella sala di Chiara ci sono tre vassoi contenenti ciascuno lo stesso numero di cioccolatini. Carla ne prende uno, da uno dei tre vassoi, e lo rimette in uno degli altri due vassoi. Milena, a sua volta, prende due cioccolatini da uno dei tre vassoi e (resistendo alla tentazione di mangiarli) li rimette in uno degli altri due. È il turno di Jacopo: prende quattro cioccolatini da uno dei tre vassoi e li rimette in uno degli altri due. A questo punto, uno dei tre vassoi contiene il doppio dei cioccolatini di un secondo vassoio e il triplo del numero di cioccolatini del terzo vassoio. Quanti cioccolatini conteneva inizialmente ciascun vassoio?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 11 Fonte: apri PDF

Initial number of chocolates in each tray after exchanges between Chiara, Carla and Jacopo

In Clara’s room, there are three trays containing the same number of chocolates. Carla takes one out of one of the three trays and puts it back in one of the other two. Milena, in turn, takes two chocolates from one of the three trays and (resisting the temptation to eat them) puts them back in one of the other two. It’s Jacopo’s turn. He takes four chocolates from one of the three trays and puts them back in one of the other two. At this point, one of the three trays contains twice the number of chocolates in a second tray and three times the number of chocolates in a third tray. How many chocolates did each tray initially contain?

Answer: 11 src_bocconi_squadre_2014__Q15

Volume minimo scatola parallelepipedo con cubi 1 cm, piena al max 40%

Una scatola a forma di parallelepipedo può essere riempita completamente con dei cubi di $1$ cm di lato. Se invece si mette nella scatola il più grande numero di cubi di $4$ cm${}^3$ di volume (i lati dei cubetti paralleli ai lati della scatola), si riempie al massimo il $40\%$ della scatola. Trovate il volume minimo della scatola che soddisfa tutte le precedenti condizioni.

Topic: Geometria solida, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 30 Fonte: apri PDF

Minimum volume of parallel piped box with 1 cm cubes, full at maximum 40%

A parallel-piped box may be filled completely with cubes of $1$ cm on the side. If the largest number of cubes of $4$ cm ${}^3$ volume (the sides of the cubes parallel to the sides of the box) are placed in the box, the maximum $40\%$ of the box is filled. Find the minimum volume of the box that meets all of the above conditions.

Answer: 30 src_bocconi_squadre_2014__Q16

Cifra in A numerando sette regioni della figura con 1-7 senza cifre consecutive adiacenti

Numerate le sette regioni della figura con i numeri interi da $1$ a $7$ (il $3$, a dire il vero, è già stato inserito) in modo tale che due regioni che «si toccano» non abbiano due cifre consecutive. Quale cifra va in $A$?

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Casework, Colorazione Abilita: Casework accurato, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 1 Fonte: apri PDF

A figure numbering seven regions of the figure with 1-7 without adjacent consecutive digits

Count the seven regions in the figure with the integers from $1$ to $7$ (the $3$, in fact, has already been entered) so that two regions that touch each other do not have two consecutive digits. What number is in $A$?

Answer: 1 src_bocconi_squadre_2014__Q17

Quadrato magico 4×4 con somma simmetrica costante e 15,14 al centro della quarta riga

Il quadrato magico di Dürer, contenuto nella sua famosa «Melancholia», ha una particolarità: la somma di due numeri simmetrici rispetto al centro del quadrato è sempre uguale alla metà della somma magica (ovvero $17$). Trovate un altro quadrato magico $4\times 4$, con i numeri $15$ e $14$ scritti in questo ordine al centro della quarta riga, che goda della stessa proprietà.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Simmetria, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: Quadrato magico: prima riga $[13,3,2,16]$, seconda riga $[8,10,11,5]$, terza riga $[12,6,7,9]$, quarta riga $[1,15,14,4]$ (e varianti per simmetria) Fonte: apri PDF

Magic square 4×4 with constant symmetrical sum and 15.14 at the center of the fourth line

Dürer’s magic square, contained in his famous Melancholia, has a peculiarity: the sum of two symmetrical numbers relative to the center of the square is always equal to half the magic sum (i.e. $17$). Find another magic square, with the numbers$15$and$14$written in this order in the middle of the fourth line, which has the same property.

Answer: Quadrato magico: prima riga $[13,3,2,16]$, seconda riga $[8,10,11,5]$, terza riga $[12,6,7,9]$, quarta riga $[1,15,14,4]$ (e varianti per simmetria) src_bocconi_squadre_2014__Q18

Minimo numero di confronti con bilancia a due piatti per trovare i due più pesanti tra 128 oggetti

Qual è il minor numero di confronti, a due a due, con una bilancia a due piatti, necessari per trovare i due oggetti più pesanti tra $128$ assegnati, tutti di peso diverso?

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Induzione Abilita: Conteggio sistematico, Astrazione, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 133 Fonte: apri PDF

Minimum number of two-plate balanced comparisons to find the two heaviest of 128 objects

What is the smallest number of comparisons, two to two, with a two-plate balance, needed to find the two heaviest objects among the $128$ assigned, all of different weight?

Answer: 133 src_bocconi_squadre_2014__Q19

Massimo numero di regioni in cui 10 rette dividono il piano

Una retta divide il piano in due regioni. In quante regioni, al massimo, $10$ rette dividono un piano?

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Induzione, Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 56 Fonte: apri PDF

Maximum number of regions in which 10 lines divide the plan

A straight divides the plan into two regions. How many regions, at most, do$10$ lines divide a plan?

Answer: 56 src_bocconi_squadre_2014__Q20