Coupe Animath Printemps 2010

Find all integers 1<x<y<z whose symmetric sum equals 2009

Find all integers $x$, $y$, $z$ that satisfy: $1<x<y<z\text{and}x+y+z+xy+yz+zx+xyz=2009.$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutti i numeri interi 1<x<y<z la cui somma simmetrica è uguale a 2009

Trova tutti gli integri $x$, $y$, $z$ che soddisfano: $1<x<y<z\text{and}x+y+z+xy+yz+zx+xyz=2009.$

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Eight-team round-robin: prove a chain A>B,C,D; B>C,D; C>D exists; ask about seven teams

Eight teams take part in a tournament. Each team plays one and only one match against each of the other teams, and there are no draws.

Prove that there necessarily exist four teams $A$, $B$, $C$, $D$ such that $A$ has won against $B$, $C$ and $D$; $B$ has won against $C$ and $D$; and $C$ has won against $D$.

Can one assert the same thing if only seven teams take part in the tournament?

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework, Conteggio Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Rond-robin di otto squadre: dimostrare l’esistenza di una catena A>B,C,D; B>C,D; C>D; chiedere circa sette squadre

Otto squadre partecipano a un torneo. Ogni squadra gioca una e solo una partita contro ciascuna delle altre squadre, e non ci sono pareggio.

Provare che esistono necessariamente quattro squadre $A$, $B$, $C$, $D$ in modo tale che $A$ abbia vinto contro $B$, $C$ e $D$; $B$ abbia vinto contro $C$ e $D$; e $C$ abbia vinto contro $D$.

Si può affermare la stessa cosa se solo sette squadre partecipano al torneo?

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sqrt(n) has its first k decimals all equal to v; bound sqrt(n) below by 10^k/2 and 10^k/144

Let $n$ be a strictly positive integer that is not a perfect square (that is, that is not the square of an integer). On looking at the decimal expansion of $\sqrt{n}$, one observes that its first $k$ decimal digits are all equal to the same value $v$ (for example, if $n=48273160$, then $\sqrt{n}=6947,88888800044067\dots$, the first six decimal digits being equal to $8$, so $k=6$ and $v=8$).

a) If $v=0$ or $v=9$, prove that $\sqrt{n}>\frac{10^k}{2}$.

b) For all values of $v$, prove that $\sqrt{n}>\frac{10^k}{144}$.

Topic: Teoria dei Numeri, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

sqrt(n) ha le sue prime k decimali tutte uguali a v; bound sqrt(n) sotto di 10^k/2 e 10^k/144

Lasciate che $n$ sia un intero rigorosamente positivo che non è un quadrato perfetto (cioè che non è il quadrato di un intero). Guardando l’espansione decimale di $\sqrt{n}$, si osserva che le sue prime cifre decimali $k$ sono tutte uguali allo stesso valore $v$ (ad esempio, se $n=48273160$, allora $\sqrt{n}=6947,88888800044067\dots$, le prime sei cifre decimali sono uguali a $8$, quindi $k=6$ e $v=8$).

a) Se $v=0$ o $v=9$, dimostrare che $\sqrt{n}>\frac{10^k}{2}$.

b) Per tutti i valori di $v$, dimostrare che $\sqrt{n}>\frac{10^k}{144}$.

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Equilateral triangular billiard table: ball from A toward P returns to hole A after seven reflections

Let $ABC$ be a triangular billiard table, fitted with elastic cushions* and with holes at the vertices $A$, $B$, $C$ of the triangle, whose dimensions satisfy: $AB=BC=CA=200$ cm. Let $P$ be the point of the side $BC$ such that $BP=160$ cm, $PC=40$ cm. A player rolls a ball from $A$ towards $P$. Prove that after seven reflections off the sides of the triangle, the ball falls into the hole $A$.

• we therefore assume that at each reflection (when the ball touches a side) the two angles shown alongside are equal.

Supplementary question (to be tackled only if you have solved all the other problems of the test): prove that two points of the billiard table $ABC$ are each crossed three times by the ball.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Tavola di biliardo triangolare equalaterale: la palla da A verso P ritorna al buco A dopo sette riflessi*

Il $ABC$ deve essere un tavolo da biliardo triangolare, dotato di cuscini elastici* e di fori nei vertici $A$, $B$, $C$ del triangolo, le cui dimensioni soddisfano: $AB=BC=CA=200$ cm. Il punto del lato $BC$ deve essere $BP=160$ cm, $PC=40$ cm. Un giocatore ruota una palla da $A$ verso $P$. Prova che dopo sette riflessi dai lati del triangolo, la palla cade nel buco $A$.

• supponiamo quindi che ad ogni riflessione (quando la palla tocca un lato) i due angoli mostrati accanto siano uguali.

Domanda complementare (che deve essere affrontata solo se hai risolto tutti gli altri problemi della prova): dimostrare che due punti della tavola di biliardo $ABC$ sono incrociati ogni tre volte dalla palla.

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