Coupe Animath Automne 2011

Isosceles triangle, point on minor arc, circumcircle of BDE gives parallel lines

Let $ABC$ be an isosceles triangle in which $AB=AC$. On the circumscribed circle of this triangle, take a point $D$ belonging to the smaller arc joining $A$ to $B$; finally take a point $E$ belonging to the line $(AD)$, outside the segment $[AD]$, and such that the points $A$ and $E$ lie in the same half-plane bounded by the line $(BC)$. The circumscribed circle of triangle $BDE$ meets the line $(AB)$ again at $F$; show that the lines $(EF)$ and $(BC)$ are parallel.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo isosceles, punto su arco minore, circoncircolo di BDE dà linee parallele

$ABC$ sia un triangolo di uguali dimensioni in cui $AB=AC$. Sul cerchio circonscritto di questo triangolo, prendere un punto $D$ appartenente all’arco più piccolo che unisce $A$ a $B$; infine prendere un punto $E$ appartenente alla linea $(AD)$, al di fuori del segmento $[AD]$, e tale che i punti $A$ e $E$ si trovino nello stesso semiplano delimitato dalla linea $(BC)$. Il cerchio circonscritto del triangolo $BDE$ incontra di nuovo la linea $(AB)$ a $F$; mostra che le linee $(EF)$ e $(BC)$ sono parallele.

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*Quadratic f with f(t)=f(f(f(t)))=0, show f(0)f(1)=0

Let $a$, $b$ be two real numbers and $f$ the function from $\mathbb{R}$ to $\mathbb{R}$ which to $x$ associates $x^2+ax+b$. Suppose that there exists a real number $t$ such that $f(t)=f(f(f(t)))=0$. Show that $f(0)\times f(1)=0$.

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Quadratico f con f(t)=f(f(f(t)))=0, mostrare f(0) f(1)=0

$a$, $b$ siano due numeri reali e $f$ la funzione da $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ che a $x$ associa $x^2+ax+b$. Supponiamo che esista un numero reale $t$ tale che $f(t)=f(f(f(t)))=0$. Mostra che $f(0)\times f(1)=0$.

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Twelve candidates each announcing cumulative number of lies, determine total lies

Twelve candidates for the post of mayor take part in a televised debate. After a while, one of them declares “so far, we have lied once”. A second one then says “Now, that makes twice”. A third one then exclaims “Three times, now”, and so on up to the twelfth, who states that before him there have been twelve lies. The presenter then stops the discussion. Knowing that at least one of the candidates correctly announced how many times one had lied before his turn to speak, determine how many candidates lied in total.

Topic: Logica, Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Dodici candidati che ciascuno annuncia un numero cumulato di menzogne, determinano il totale di menzogne

Dodici candidati al sindaco partecipano a un dibattito televisivo. Dopo un po’ uno di loro dichiara: “Finora abbiamo mentito una volta”. Un secondo dice: “Ora, questo fa due volte”. Un terzo poi esclama “Tre volte, ora”, e così via fino al dodicesimo, che afferma che prima di lui ci sono state dodici menzogne. Il presentatore interrompe poi la discussione. Sapendo che almeno uno dei candidati ha annunciato correttamente quante volte ha mentito prima del suo turno di parlare, determinare quante persone hanno mentito in totale.

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Find all f from R to R* with x f(x/2) - f(2/x) = 1*

Find all functions $f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to {\mathbb{R}}^{\ast }$ that satisfy $xf\left(\frac{x}{2}\right)-f\left(\frac{2}{x}\right)=1$ for every nonzero real number $x$.

Topic: Equazioni funzionali Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le f da R * a R * con x f(x/2) - f(2/x) = 1

Trova tutte le funzioni $f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to {\mathbb{R}}^{\ast }$ che soddisfano $xf\left(\frac{x}{2}\right)-f\left(\frac{2}{x}\right)=1$ per ogni numero reale non zero $x$.

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Right triangle, midpoint, perpendiculars; triangles AEM and MCA similar iff angle ABC=60

Let $ABC$ be a right triangle at $A$ with $AB<AC$, $M$ the midpoint of $[BC]$, $D$ the intersection of $(AC)$ with the perpendicular to $(BC)$ passing through $M$, and $E$ the point of intersection of the line parallel to $(AC)$ passing through $M$ with the perpendicular to $(BD)$ passing through $B$. Show that the triangles $AEM$ and $MCA$ are similar if and only if $\angle ABC=60^{\circ }$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo retto, punto medio, perpendicolari; triangoli AEM e MCA simili se angolo ABC=60

Il $ABC$ deve essere un triangolo rettangolo a $A$ con $AB<AC$, $M$ il punto medio di $[BC]$, $D$ l’intersezione di $(AC)$ con il perpendicolare a $(BC)$ che attraversa $M$, e $E$ il punto di intersezione della linea parallela a $(AC)$ che attraversa $M$ con il perpendicolare a $(BD)$ che attraversa $B$. Indicare che i triangoli $AEM$ e $MCA$ sono simili se e solo se $\angle ABC=60^{\circ }$.

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Ball: no boy danced with all girls; find a crossing pair of boys and girls

At a ball, no boy has danced with all the girls, and each girl has danced with at least one boy. Prove that one can find boys $g$ and $g^{\prime }$, and girls $f$ and $f^{\prime }$, such that $g$ has danced with $f$ but not with $f^{\prime }$, and $g^{\prime }$ has danced with $f^{\prime }$ but not with $f$.

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità Abilita: Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Ballo: nessun ragazzo ha ballato con tutte le ragazze; trova un paio di ragazzi e ragazze che si incrociano

A un ballo, nessun ragazzo ha ballato con tutte le ragazze, e ogni ragazza ha ballato con almeno un ragazzo. Prova che si possono trovare ragazzi $g$ e $g^{\prime }$, e ragazze $f$ e $f^{\prime }$, in modo tale che $g$ abbia ballato con $f$ ma non con $f^{\prime }$, e $g^{\prime }$ abbia ballato con $f^{\prime }$ ma non con $f$.

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Find positive integer triples (p,n,m) with p prime and p^n+144=m^2

Find all triples of positive integers $(p,n,m)$ such that $p$ is prime and $p^n+144=m^2$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca i tripli interi positivi (p,n,m) con p primo e p^n+144=m^2

Trova tutti i triples di numeri interi positivi $(p,n,m)$ in modo tale che $p$ sia primo e $p^n+144=m^2$.

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x,y,z in [0,1] with (1-x)(1-y)(1-z)=xyz; one of three products >=1/4 and one <=1/4

Let $x$, $y$, $z$ be three real numbers belonging to the interval $[0,1]$ satisfying $(1-x)(1-y)(1-z)=xyz.$

1. Show that, among the three real numbers $(1-x)y$, $(1-y)z$, $(1-z)x$, at least one is greater than or equal to $\frac{1}{4}$.
2. Show that, among the three real numbers $(1-x)y$, $(1-y)z$, $(1-z)x$, at least one is less than or equal to $\frac{1}{4}$.

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

x,y,z in [0,1] con (1-x)(1-y)(1-z) = xyz; uno dei tre prodotti >=1/4 e uno <=1/4

$x$, $y$, $z$ siano tre numeri reali appartenenti all’intervallo $[0,1]$ che soddisfano $(1-x)(1-y)(1-z)=xyz.$ 1. Indicare che, tra i tre numeri reali $(1-x)y$, $(1-y)z$, $(1-z)x$, almeno uno è maggiore o uguale a $\frac{1}{4}$. 2. Mostra che, tra i tre numeri reali $(1-x)y$, $(1-y)z$, $(1-z)x$, almeno uno è inferiore o uguale a $\frac{1}{4}$.

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