Coupe Animath Printemps 2011

Circumscribed circle intersections and hexagon area ratio

Let $ABC$ be a triangle with three acute angles, and let $O$ be the centre of its circumscribed circle $\Gamma$. The lines $(AO)$, $(BO)$, $(CO)$ meet $\Gamma$ again at $A^{\prime }$, $B^{\prime }$, $C^{\prime }$ respectively. Prove that the area of the hexagon $AC{B}^{\prime }{A}^{\prime }{C}^{\prime }B$ is twice the area of triangle $ABC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Intersezioni circolari circostanti e rapporto di superficie esagonale

Che $ABC$ sia un triangolo con tre angoli acuti, e che $O$ sia il centro del suo cerchio circoscritto $\Gamma$. Le linee $(AO)$, $(BO)$ e $(CO)$ rientrano in $\Gamma$ rispettivamente a $A^{\prime }$, $B^{\prime }$ e $C^{\prime }$. Prove che l’area dell’esagono $AC{B}^{\prime }{A}^{\prime }{C}^{\prime }B$ è doppia dell’area del triangolo $ABC$.

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Fencing a square field with two perimeter constraints

A farmer owns a square field with side $33$ m, fenced along its entire perimeter. He wishes to partition it into three rectangular plots of equal area. Is such a partition possible with: a) at most $55$ m of additional fencing? b) at most $54$ m of additional fencing?

Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Modellizzazione Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Fensatura di un campo quadrato con due restrizioni perimetrali

L’agricoltore possiede un terreno quadrato di lato $33$ m, circondato lungo l’intero perimetro. Vuole dividerla in tre partigi rettangolari di superficie uguale. Una tale partizione è possibile con: a) al massimo $55$ m di recinzione aggiuntiva? b) al massimo $54$ m di recinzione aggiuntiva?

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Round-table dinner seatings with two new neighbours each

Seventeen people dine every Saturday evening around a round table. How many Saturdays is it possible to dine together if each person wishes to have two new neighbours every time? What is the result for eighteen people?

Topic: Combinatoria Metodo: Grafi, Conteggio, Doppio conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Sedi per cena a tavola rotonda con due nuovi vicini ciascuno

Diciassette persone cenano ogni sabato sera intorno a una tavola rotonda. Quanti sabati è possibile cenare insieme se ognuno desidera avere due nuovi vicini ogni volta? Qual è il risultato per diciotto persone?

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Quadratic with small-coefficient perturbation and root gap exceeding 10000

Let $p$ and $q$ be two real numbers such that the degree-$2$ equation $x^2+px+q=0$ has two distinct real roots $u$ and $v$ (with $u>v$). The coefficients $p$ and $q$ are modified by less than $0.01$: we suppose that the equation $x^2+p^{\prime }x+q^{\prime }=0$ (where $|p^{\prime }-p|<0.01$ and $|q^{\prime }-q|<0.01$) also has two distinct real roots $u^{\prime }$ and $v^{\prime }$ (with $u^{\prime }>v^{\prime }$). Do there exist values of $p$, $q$, $p^{\prime }$, $q^{\prime }$ for which $|u^{\prime }-u|>10000$?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Stima Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Quadratici con perturbazione a coefficiente piccolo e intervallo radicale superiore a 10000

Lasciate che $p$ e $q$ siano due numeri reali in modo tale che l’equazione di grado-$2$ $x^2+px+q=0$ abbia due radici reali distinte $u$ e $v$ (con $u>v$). I coefficienti $p$ e $q$ sono modificati di meno di $0.01$: supponiamo che l’equazione $x^2+p^{\prime }x+q^{\prime }=0$ (dove $|p^{\prime }-p|<0.01$ e $|q^{\prime }-q|<0.01$) abbia anche due radici reali distinte $u^{\prime }$ e $v^{\prime }$ (con $u^{\prime }>v^{\prime }$). Esistono valori $p$, $q$, $p^{\prime }$, $q^{\prime }$ per i quali $|u^{\prime }-u|>10000$?

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