Coupe Animath Automne 2012

Count children in a family from sibling-ratio constraints

Fred and Sarah are the eldest children of the same large family. Fred has half as many brothers as sisters, while Sarah has as many sisters as brothers. How many children are there in this family?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare i figli in una famiglia da vincoli di rapporto fra fratelli

Fred e Sarah sono i figli maggiori della stessa famiglia numerosa. Fred ha la metà dei fratelli rispetto alle sorelle, mentre Sarah ha le sorelle uguali ai fratelli. Quanti bambini ci sono in questa famiglia?

src_canimath_2012_automne__Q01

Cooking steaks optimally with one pan holding two

To prepare a steak, it must be cooked one minute on each side. We have only one pan, in which we can place at most two steaks at a time.

a) How can we prepare four steaks in four minutes?

b) How can we prepare five steaks in five minutes?

(We obviously do not need to count the time lost during the manipulations.)

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Casework Abilita: Casework accurato, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

*Cucinazione ottimale delle bistecche con una padella contenente due *

Per preparare una bistecca, deve essere cucinata un minuto su ogni lato. Abbiamo solo una padella, in cui possiamo mettere al massimo due bistecche alla volta.

a) Come si possono preparare quattro bistecche in quattro minuti?

b) Come si possono preparare cinque bistecche in cinque minuti?

(Ovviamente non abbiamo bisogno di contare il tempo perso durante le manipolazioni.)

src_canimath_2012_automne__Q02

Find width of a diagonal ribbon on a rectangular box

On a rectangular box of dimensions $6\text{cm}\times 4\text{cm}$, a ribbon has been placed diagonally as shown in the figure below (the ribbon is represented in grey in the figure). It has been measured that $AB=1\text{cm}$ and $BC=5\text{cm}$. Compute the width of the ribbon.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Ricerca larghezza di un nastro diagonale su una scatola rettangolare

Su una scatola rettangolare di dimensioni $6\text{cm}\times 4\text{cm}$, un nastro è stato posizionato diagonalmente come mostrato nella figura di seguito (il nastro è rappresentato in grigio nella figura). È stato misurato che $AB=1\text{cm}$ e $BC=5\text{cm}$. Calcola la larghezza del nastro.

src_canimath_2012_automne__Q03

Round table: prove equal numbers of tall and short among 2013

Around the same table sit $2013$ people who all have different heights. We say that a person is grande (tall) if she is taller than her two neighbours, and petite (short) if she is shorter than her two neighbours. Prove that the number of tall people around the table is equal to the number of short people.

Topic: Combinatoria Metodo: Doppio conteggio, Biiezione Abilita: Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Tavola rotonda: dimostrare numeri uguali di lunghi e corti tra il 2013

Circa lo stesso tavolo si siedono persone di altezza diversa. Diciamo che una persona è grande (alta) se è più alta dei suoi due vicini, e petite (quota) se è più bassa dei suoi due vicini. Prova che il numero di persone alte intorno al tavolo è uguale al numero di persone basse.

src_canimath_2012_automne__Q04

Prove 10^2011 + 10^2012 + 10^2013 divisible by 37

Prove that the number $10^{2011}+10^{2012}+10^{2013}$ is divisible by $37$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Prove 10^2011 + 10^2012 + 10^2013 divisibile per 37

Provare che il numero $10^{2011}+10^{2012}+10^{2013}$ è divisibile da $37$.

src_canimath_2012_automne__Q05

Find angle x in a regular five-pointed star

Consider a regular five-pointed star (see figure). Determine the angle $x$ indicated in the figure.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $36^{\circ }$ Fonte: apri PDF

Trova angolo x in una stella a cinque punte regolare

Considerate una stella a cinque punte (vedi figura). Determinare l’angolo $x$ indicato nella figura.

Risposta: 36^\circ src_canimath_2012_automne__Q06

Prove 10^2011 + 10^2012 + 10^2013 divisible by 37

Prove that the number $10^{2011}+10^{2012}+10^{2013}$ is divisible by $37$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Prove 10^2011 + 10^2012 + 10^2013 divisibile per 37

Provare che il numero $10^{2011}+10^{2012}+10^{2013}$ è divisibile da $37$.

src_canimath_2012_automne__Q07

Find angle x in a regular five-pointed star

Consider a regular five-pointed star (see figure). Determine the angle $x$ indicated in the figure.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $36^{\circ }$ Fonte: apri PDF

Trova angolo x in una stella a cinque punte regolare

Considerate una stella a cinque punte (vedi figura). Determinare l’angolo $x$ indicato nella figura.

Risposta: 36^\circ src_canimath_2012_automne__Q08

Find all prime pairs (p,q) making three expressions all prime

Find all pairs $(p,q)$ of prime numbers for which the numbers $2p+q$, $p+2q$ and $p+q-18$ are all three prime numbers.

(We recall that a prime number is an integer greater than or equal to $2$ that is divisible only by $1$ and by itself.)

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Casework accurato, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Trova tutte le coppie prime (p,q) facendo tre espressioni tutte prime

Trova tutte le coppie $(p,q)$ di numeri primi per le quali i numeri $2p+q$, $p+2q$ e $p+q-18$ sono tutti e tre numeri primi.

(Ricordiamo che un numero primo è un numero intero maggiore o uguale a $2$ che è divisibile solo da $1$ e da sé stesso.)

src_canimath_2012_automne__Q09

Find angle ABC given incircle center I, AI=BC and angle ICA=2 angle IAC

Let $ABC$ be a triangle and $I$ the centre of its inscribed circle. Suppose that $AI=BC$ and that $\widehat{ICA}=2\widehat{IAC}$. What is the value of $\widehat{ABC}$?

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Ricerca angolo ABC dato centro incircolo I, AI=BC e angolo ICA=2 angolo IAC

Che $ABC$ sia un triangolo e $I$ il centro del suo cerchio inciso. Supponiamo che $AI=BC$ e che $\widehat{ICA}=2\widehat{IAC}$. Qual è il valore di $\widehat{ABC}$?

src_canimath_2012_automne__Q10

Round table 2013 people: tall vs short, two sub-questions

Around the same table sit $2013$ people who all have different heights. We say that a person is grande (tall) if she is taller than her two neighbours, and petite (short) if she is shorter than her two neighbours.

a) Prove that, whatever the arrangement chosen around the table, there are as many tall people as short people.

b) Which are the integers $n$ for which one can find an arrangement of the people containing exactly $n$ tall people?

Topic: Combinatoria Metodo: Doppio conteggio, Biiezione, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern, Astrazione, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Testa rotonda 2013 persone: alte contro piccole, due sotto-questioni

Circa lo stesso tavolo si siedono persone di altezza diversa. Diciamo che una persona è grande (alta) se è più alta dei suoi due vicini, e petite (quota) se è più bassa dei suoi due vicini.

a) Prove che, qualunque sia l’arrangimento scelto intorno al tavolo, ci sono persone alte come persone basse.

b) Quali sono i numeri interi $n$ per i quali si può trovare una disposizione delle persone contenente esattamente $n$ persone alte?

src_canimath_2012_automne__Q11

Prove inequality 5x^2+y^2+4 >= 4x+4xy for all reals, find equality cases

Prove that, for all reals $x$ and $y$, $5x^2+y^2+4\ge 4x+4xy.$ For which values of $x$ and $y$ does equality hold?

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove la disuguaglianza 5x^2+y^2+4 >= 4x+4xy per tutti i reali, trova casi di uguaglianza

Prova che, per tutti i valori reali $x$ e $y$, $5x^2+y^2+4\ge 4x+4xy.$ Per quali valori di $x$ e $y$ vale l’uguaglianza?

src_canimath_2012_automne__Q12