Coupe Animath Printemps 2012

Splitting seven cheeses so two people each get three whole and share the seventh equally

Mr and Mrs Mathon share a board of seven cheeses. They each wish to take three of them whole, and to share the seventh one so that each receives the same total weight of cheese. Is it possible, whatever the weights of the seven cheeses, to choose the three cheeses of one person, the three cheeses of the other, and how to cut the seventh cheese so that their wish is satisfied?

Topic: Algebra, Combinatoria Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Modellizzazione, Casework accurato, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Dividere sette formaggi in modo che due persone ottengano tre interi e condividano il settimo ugualmente

Il signor e la signora Mathon condividono una tavola di sette formaggi. Ognuno di loro desidera prendere tre interi, e dividere il settimo in modo che ognuno riceva lo stesso peso totale del formaggio. È possibile, qualunque sia il peso dei sette formaggi, scegliere i tre formaggi di una persona, i tre formaggi dell’altra, e come tagliare il settimo formaggio in modo da soddisfare il loro desiderio?

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Who is right about the ‘additivity of fractions’ identity a/b+c/d=(a+c)/(b+d)

Let $b$ and $d$ be nonzero real numbers such that $b+d$ is also nonzero. Mathias claims that the identity $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}$ is true for all real numbers $a$ and $c$: he calls it the “additivity of fractions”. Mathilde thinks that this additivity of fractions is correct if and only if there exists a real number $m$ such that $a=m{b}^2$ and $c=-m{d}^2$. Their professor recalls that one can add fractions as Mathias proposes if and only if they have the same denominator, that is, $b=d$. An inspector claims that this “additivity of fractions” is always false. Who is right: Mathias, Mathilde, the professor, the inspector, or none of the four? Justify your answer carefully.

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Chi ha ragione sull’identità di “additività delle frazioni” a/b+c/d=(a+c)/(b+d) *

Lasciate che $b$ e $d$ siano numeri reali non zero in modo tale che $b+d$ sia anche non zero. Mathias sostiene che l’identità $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}$ è vera per tutti i numeri reali $a$ e $c$: lo chiama “l’addizione delle frazioni”. Mathilde ritiene che questa additività di frazioni sia corretta se e solo se esiste un numero reale $m$ tale che $a=m{b}^2$ e $c=-m{d}^2$. Il loro professore ricorda che si possono aggiungere frazioni come propone Mathias se e solo se hanno lo stesso denominatore, cioè $b=d$. Un ispettore sostiene che questa “addizione di frazioni” è sempre falsa. Chi ha ragione: Mathias, Mathilde, il professore, l’ispettore, o nessuno dei quattro? Giustifica la tua risposta attentamente.

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Maximum count of Paris phone numbers so any single-digit error lands on an unassigned number

In the Paris region, fixed-line telephone numbers consist of the digits 01 followed by eight other digits (for example 01.99.98.10.00 or 01.00.00.35.77, etc.). To limit erroneous calls, it has been decided that if one dials a telephone number making a mistake on a single digit, one always lands on a number that is not assigned: for example, if 01.99.98.10.00 is assigned, then 01.89.98.10.00 and 01.99.98.10.30 are not assigned. How many different telephone numbers can be assigned at most in the Paris region? Justify your answer carefully.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Il numero massimo di numeri di telefono di Parigi in modo che qualsiasi errore a un solo cifra si atterri su un numero non assegnato

Nella regione di Parigi, i numeri telefonici di linea fissa sono composti dai numeri 01 seguiti da altre otto cifre (ad esempio 01.99.98.10.00 o 01.00.00.35.77, ecc.). Per limitare le chiamate errate, è stato deciso che se si scarica un numero di telefono facendo un errore su una singola cifra, si atterrà sempre su un numero che non è assegnato: ad esempio, se è assegnato 01.99.98.10.00, allora 01.89.98.10.00 e 01.99.98.10.30 non sono assegnati. Quanti numeri telefonici possono essere assegnati nella regione di Parigi? Giustifica la tua risposta attentamente.

src_canimath_2012_printemps__Q05

Inequality aa’+bb’+cc’ <= 2S+R(a+b+c) for acute triangles, and whether it holds for obtuse ones

Let $ABC$ be a triangle of area $S$. Denote by $a=BC$, $b=CA$, $c=AB$ the lengths of its sides, and $a^{\prime }=A{A}^{\prime }$, $b^{\prime }=B{B}^{\prime }$, $c^{\prime }=C{C}^{\prime }$ the lengths of its medians, where $A^{\prime }$, $B^{\prime }$, $C^{\prime }$ are the respective midpoints of $BC$, $CA$, $AB$. Let $R$ be the radius of the circumscribed circle of $ABC$. Show that $a{a}^{\prime }+b{b}^{\prime }+c{c}^{\prime }\le 2S+R(a+b+c)$ if $ABC$ is acute (that is, if all the angles of $ABC$ are less than $90^{\circ }$). Is this inequality also true for all obtuse triangles (those with one angle greater than $90^{\circ }$)?

Topic: Geometria piana, Disuguaglianze, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Disuguaglianze, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ineguaglianza aa’+bb’+cc’ <= 2S+R(a+b+c) per i triangoli acuti, e se vale per quelli obtusi

Il $ABC$ deve essere un triangolo di superficie $S$. Nota con $a=BC$, $b=CA$, $c=AB$ le lunghezze dei suoi lati e $a^{\prime }=A{A}^{\prime }$, $b^{\prime }=B{B}^{\prime }$, $c^{\prime }=C{C}^{\prime }$ le lunghezze dei suoi mediani, dove $A^{\prime }$, $B^{\prime }$, $C^{\prime }$ sono i rispettivi punti di mezzo di $BC$, $CA$, $AB$. Il $R$ deve essere il raggio del cerchio circoscritto di $ABC$. Indicare che $a{a}^{\prime }+b{b}^{\prime }+c{c}^{\prime }\le 2S+R(a+b+c)$ se $ABC$ è acuta (cioè se tutti gli angoli di $ABC$ sono inferiori a $90^{\circ }$). Questa disuguaglianza vale anche per tutti i triangoli obtusi (quelli con un angolo maggiore di $90^{\circ }$)?

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