Coupe Animath Automne 2013

Count integers between 1 and 10000 divisible by 7 but not 5

What is the number of integers between $1$ and $10000$ that are divisible by $7$ but not divisible by $5$?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Inclusione-esclusione, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1143 Fonte: apri PDF

Contare numeri interi tra 1 e 10000 divisibili per 7 ma non per 5

Qual è il numero di integri tra $1$ e $10000$ divisibili da $7$ ma non divisibili da $5$?

Risposta: 1143 src_canimath_2013_automne__Q01

Count afternoon naps given constraints over 15-day observation

During a certain number of days, it was observed that each day on which it rained in the morning it also rained in the afternoon, and that each day on which it rained in the afternoon it had been fine in the morning. During the observation period, it rained on $15$ days, there were $8$ fine mornings, and $13$ fine afternoons.

How many afternoon naps did it rain? (i.e., how many rainy afternoons were there?)

Topic: Logica, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Casi e conteggio Abilita: Lettura attenta, Modellizzazione, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 7 Fonte: apri PDF

Contare i sonnellini pomeridiani con limitazioni durante l’osservazione di 15 giorni

Durante un certo numero di giorni, si osservò che ogni giorno in cui pioveva al mattino pioveva anche al pomeriggio, e che ogni giorno in cui pioveva al pomeriggio era stato buono al mattino. Durante il periodo di osservazione, è piovuto $15$ giorni, ci sono state $8$ buone mattine e $13$ buoni pomeriggi.

Quante sonnelline di pomeriggio ha piovuto? (cioè, quante pomeriggi piovosi c’erano?)

Risposta: 7 src_canimath_2013_automne__Q02

Light bulbs and three switches; count bulbs on after random switch

We have $100$ bulbs, numbered $1$ to $100$, each of which can be either on or off. These bulbs are connected to three switches $A$, $B$, and $C$.

By pressing $A$, the state of all bulbs changes: those that were on turn off, and those that were off turn on. By pressing $B$, the state of all bulbs with odd numbers changes. By pressing $C$, the state of all bulbs with numbers of the form $3n+1$ changes.

At the start of the evening, all bulbs were on. But during the party, Igor pressed the switches a total of $1000$ times, choosing at random, and at the end it turned out that bulbs numbered $95$ and $96$ were off.

How many bulbs are still on?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Invarianti, Casework, Conteggio Abilita: Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Luminose e tre interruttori; contare le lampadine accese dopo interruttore casuale

Abbiamo $100$ lampadine, numerate $1$ a $100$, ognuna delle quali può essere accesa o spenta. Queste lampadine sono collegate a tre interruttori $A$, $B$ e $C$.

Presione $A$ cambia lo stato di tutte le lampadine: quelle che erano accese e quelle che erano spente si accendono. Presione $B$ modifica lo stato di tutte le lampadine con numeri odd. Presione $C$ modifica lo stato di tutte le lampadine con numeri del modulo $3n+1$.

All’inizio della serata, tutte le lampadine erano accese. Ma durante la festa, Igor ha premuto gli interruttori un totale di $1000$ volte, scegliendo casualmente, e alla fine si è scoperto che le lampadine numerate $95$ e $96$ erano spente.

Quante lampadine sono ancora accese?

src_canimath_2013_automne__Q03

Four concentric circles with equal-radius tangent circles; find r/R

Four circles $C_1,C_2,C_3,C_4$ with identical radii $r$ are each inscribed inside a circle of radius $R$. We set $C_5=C_1$. We suppose that for each $i=1,2,3,4$, the circles $C_i$ and $C_{i+1}$ are tangent to each other. Determine the value of the ratio $r/R$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}$ Fonte: apri PDF

Quattro cerchi concentrici con cerchi tangenti di uguale raggio; trovare r/R

Quattro cerchi $C_1,C_2,C_3,C_4$ con raggi identici $r$ sono inseriti ciascuno all’interno di un cerchio di raggio $R$. Abbiamo impostato $C_5=C_1$. Supponiamo che per ogni $i=1,2,3,4$, i cerchi $C_i$ e $C_{i+1}$ siano tangenti tra loro. Determinare il valore del rapporto $r/R$.

Risposta: \frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} src_canimath_2013_automne__Q04

Club of 100: popular member and maximum size of club

In a club of $100$ members, for each group of four people there is at least one who knows all three others (a member who knows all the others will be called \textit{popular}).

1. Prove that there exists at least one member who knows all the others.

2. How many members can a club satisfying this condition contain?

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Estremalità, Casework, Grafi Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Club di 100 persone: membro popolare e dimensione massima del club

In un club di membri $100$, per ogni gruppo di quattro persone c’è almeno uno che conosce tutti e tre gli altri (un membro che conosce tutti gli altri sarà chiamato \textit{popular}).

1. Prove che esiste almeno un membro che conosce tutti gli altri.

2. Quanti membri può contenere un club che soddisfa questa condizione?

src_canimath_2013_automne__Q05

Four collinear points: every circle through A,B meets circle through C,D

Let $A$, $B$, $C$, $D$ be four distinct points in the plane. It is found that every circle passing through $A$ and $B$ intersects every circle passing through $C$ and $D$.

Prove that $A$, $B$, $C$, $D$ are collinear or all lie on a common circle.

Topic: Geometria piana Metodo: Casework, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Quattro punti collineari: ogni cerchio attraverso A,B incontra il cerchio attraverso C,D

Se i punti $A$, $B$, $C$, $D$ sono quattro punti distinti nel piano. Si scopre che ogni cerchio che passa attraverso $A$ e $B$ incrocia ogni cerchio che passa attraverso $C$ e $D$.

Provare che $A$, $B$, $C$, $D$ sono collineari o che si trovano tutti su un cerchio comune.

src_canimath_2013_automne__Q06

Find best constants a,b in inequality a(x+y+z)^2 ≤ x²+y²+z²+yz ≤ b(x+y+z)^2

Determine the largest real number $a$ and the smallest real number $b$ such that for all $x,y,z$ positive or zero: $a(x+y+z{)}^2\le x^2+y^2+z^2+yz\le b(x+y+z{)}^2.$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Estremalità, Disuguaglianze, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Casework accurato Area: Algebra e Analisi Risposta: $a=\frac{1}{3},b=1$ Fonte: apri PDF

Trova le costanti migliori a,b nell’inequità a(x+y+z) ^2 ≤ x2+y2+z2+yz ≤ b(x+y+z) ^2

Determinare il numero reale più grande $a$ e il numero reale più piccolo $b$ in modo tale che per tutti $x,y,z$ positivo o zero: $a(x+y+z{)}^2\le x^2+y^2+z^2+yz\le b(x+y+z{)}^2.$

Risposta: a=\frac{1}{3},; b=1 src_canimath_2013_automne__Q07

Positive integer a with 5 times more positive divisors than a itself

Let $a$ be a strictly positive integer such that $a^3$ has $5$ times as many positive divisors as $a$.

How many positive divisors can $a$ have?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework, Conteggio Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Un intero positivo a con divisioni positive 5 volte più numerose di un solo

Che $a$ sia un intero strettamente positivo tale che $a^3$ abbia $5$ volte quanti divisori positivi $a$.

Quanti divisori positivi può $a$ avere?

src_canimath_2013_automne__Q08