Coupe Animath Printemps 2013

Rhombus with special point K on CD, prove A, K, P collinear

Let $ABCD$ be a rhombus. Let $K$ be a point on line $(CD)$, other than $C$ and $D$, such that $AD=BK$. Let $P$ be the intersection point of line $(BD)$ with the perpendicular bisector of segment $[BC]$. Prove that points $A$, $K$, and $P$ are collinear.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Rhombus con punto speciale K su CD, prova A, K, P collineare

Lascia che il $ABCD$ sia un rombo. Il punto $K$ deve essere un punto della riga $(CD)$, diverso da $C$ e $D$, in modo tale che $AD=BK$. Il punto di intersezione della linea $(BD)$ con il bisettore perpendicolare del segmento $[BC]$ è $P$. Provare che i punti $A$, $K$ e $P$ sono collineari.

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Smallest denominator of sum of two irreducible fractions with denominators 600 and 700

The denominators of two irreducible fractions are $600$ and $700$. What is the smallest possible value of the denominator of their sum (when the sum is written as an irreducible fraction)?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 168 Fonte: apri PDF

Nominatore minore della somma di due frazioni irriducibili con denominatori 600 e 700

I denominatori di due frazioni irriducibili sono $600$ e $700$. Qual è il minimo valore possibile del denominatore della loro somma (quando la somma è scritta come una frazione irriducibile)?

Risposta: 168 src_canimath_2013_printemps__Q04

(m,n)-grasshopper on grid colored in (2,1)-pattern: find m,n so it always changes color

Let $m$ and $n$ be strictly positive integers. A grasshopper called an $(m,n)$-grasshopper is placed on a grid with infinitely many rows (infinite upward and downward) and columns (infinite to the left and right). At each step, the grasshopper moves $m$ cells in one direction (horizontal or vertical) and $n$ cells in the perpendicular direction. The grid is colored blue and red in a $(2,1)$-grasshopper pattern (i.e., the coloring repeats with period $2$ in one direction and period $1$ in the other).

For which values of $m$ and $n$ does the grasshopper change color at every step?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Colorazione, Casework, Invarianti Abilita: Riconoscimento di pattern, Lettura attenta, Modellizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

(m,n) - scarafaggio su griglia colorato in (2,1) - modello: trovare m,n così cambia sempre colore

I numeri $m$ e $n$ devono essere numeri interi rigorosamente positivi. Un scarafaggio chiamato scarafaggio $(m,n)$ è posizionato su una griglia con infinite righe (infinite verso l’alto e verso il basso) e colonne (infinite verso sinistra e destra). A ogni passo, il salmone muove le cellule $m$ in una direzione (orizzontale o verticale) e le cellule $n$ nella direzione perpendicolare. La griglia è di colore blu e rosso in un modello $(2,1)$-grasshopper (cioè il colore si ripete con periodo $2$ in una direzione e periodo $1$ nell’altra).

Per quali valori di $m$ e $n$ cambia colore la scarafaggio ad ogni passo?

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7-digit safe combination: open in at most 6 tries; find minimum tries

The secret code of the Animath strongbox consists of $7$ distinct digits. The strongbox opens when one enters a sequence of $7$ digits satisfying both of the following conditions:

• the $7$ digits are all distinct,
• at least one of the $7$ digits is in the correct position.

a) Is it possible to open the strongbox in at most $6$ tries?

b) What is the minimum number of tries required to guarantee opening the strongbox, regardless of the secret code?

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Casework, Conteggio, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta, Modellizzazione, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

combinata sicura a 7 cifre: aperta in un massimo di 6 tentativi; trovare il minimo di tentativi

Il codice segreto della casella forte di Animath è costituito da $7$ cifre distinte. La casella forte si apre quando si inserisce una sequenza di cifre $7$ che soddisfano entrambe le seguenti condizioni: - le cifre $7$ sono tutte distinte, - almeno una delle cifre $7$ è nella posizione corretta.

a) È possibile aprire la casella forte nel massimo dei tentativi $6$?

b) Qual è il numero minimo di tentativi richiesti per garantire l’apertura della casella forte, indipendentemente dal codice segreto?

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