Coupe Animath Automne 2014

Smallest number of main dishes so every dinner in 2014 is distinct

A restaurant offers three desserts, and exactly twice as many starters as main dishes. A dinner consists of one starter, one main dish, and one dessert. What is the smallest number of main dishes the restaurant must offer so that a customer could eat a different dinner every evening of the year 2014?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio Abilita: Modellizzazione, Lettura attenta, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 10 Fonte: apri PDF

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Il minor numero di piatti principali quindi ogni cena nel 2014 è distinta

Un ristorante offre tre dessert, e esattamente il doppio dei piatti iniziali rispetto ai piatti principali. Una cena consiste in un piatto iniziale, un piatto principale e un dessert. Qual è il numero minimo di piatti principali che il ristorante deve offrire affinché un cliente possa mangiare una cena diversa ogni sera del 2014?

Risposta: 10 src_canimath_2014_automne__Q01

Square ABCD, E on AD and F on BC with BE=EF=FD=1; find the area

Let $ABCD$ be a square. Suppose there exists a point $E$ on segment $[AD]$ and a point $F$ on segment $[BC]$ such that $BE=EF=FD=1$. How much is the area of the square?

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

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Quadrato ABCD, E su AD e F su BC con BE=EF=FD=1; trovare l’area

Lasciate che $ABCD$ sia quadrato. Supponiamo che esista un punto $E$ sul segmento $[AD]$ e un punto $F$ sul segmento $[BC]$ tale che $BE=EF=FD=1$. Quanto è l’area della piazza?

src_canimath_2014_automne__Q02

Divisibility by 81 of 2016, of 20162016, and of ‘2016’ repeated 2016 times

a) Is the integer $2016$ divisible by $81$? Is the integer $20162016$ divisible by $81$?

b) Show that the integer $N=2016\cdots 2016$ ("$2016$" written $2016$ times) is divisible by $81$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

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Divisibilità entro il 81 del 2016, del 20162016 e del 2016 ripetute nel 2016

a) Il numero intero $2016$ è divisibile da $81$? Il numero intero $20162016$ è divisibile da $81$?

b) Indicare che il numero intero $N=2016\cdots 2016$ ("$2016$" scritto $2016$ volte) è divisibile da $81$.

src_canimath_2014_automne__Q03

Sequence a_n=a_{n-1}/a_{n-2}, a_1=2, a_2=3; find a_{2014}

Let $a_1,a_2,a_3,\dots$ be a sequence of real numbers such that $a_1=2$, $a_2=3$, and $a_n=\frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}$ for every integer $n\ge 3$. For example, $a_3=a_2/a_1=3/2$. Determine the value of $a_{2014}$.

Topic: Algebra Metodo: Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 3/2 Fonte: apri PDF

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Sequenza a_n=a_{n-1}/a_{n-2}, a_1=2, a_2=3; trovare a_{2014}

Che $a_1,a_2,a_3,\dots$ sia una sequenza di numeri reali come $a_1=2$, $a_2=3$ e $a_n=\frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}$ per ogni intero $n\ge 3$. Per esempio, $a_3=a_2/a_1=3/2$. Determinare il valore di $a_{2014}$.

Risposta: 3/2 src_canimath_2014_automne__Q04

10 villages, one-way non-crossing roads with no return possible; graph results

In a country there are $10$ villages. Two of these villages are connected directly by exactly one road. The roads do not cross one another; certain roads pass over others as overpasses by means of bridges. Unfortunately, the officials of the Ministry of Circulation, evidently distracted, have oriented the roads in such a way that each road can be travelled in one direction only (whichever it may be), and so it is impossible to return, even by going through villages and roads.

a) Prove that there exists a village from which one cannot leave by any road.

b) Prove that there exists a village at which no road arrives.

c) Conclude: would it be enough, at minimum, to change the orientation of the roads so that one can go from anywhere to any other place (possibly in several stages)? Do not give your conclusions without proof: they would not pass the test.

Topic: Combinatoria Metodo: Grafi, Estremalità Abilita: Astrazione, Modellizzazione, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

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10 villaggi, strade a senso unico senza incrocio senza possibilità di ritorno; risultati del grafico

In un paese ci sono $10$ villaggi. Due di questi villaggi sono collegati direttamente da una sola strada. Le strade non si attraversano tra loro; alcune strade passano sopra le altre come passerelle tramite ponti. Purtroppo, i funzionari del Ministero della Circolazione, evidentemente distratti, hanno orientato le strade in modo tale che ogni strada può essere percorsa solo in una direzione (a prescindere da quale), e quindi è impossibile tornare, anche attraversando villaggi e strade.

a) dimostrare che esiste un villaggio da cui non si può uscire per nessuna strada.

b) dimostrare che esiste un villaggio al quale non si arriva strada.

c) Concludere: sarebbe sufficiente, come minimo, cambiare l’orientamento delle strade in modo da poter andare da qualsiasi luogo a qualsiasi altro luogo (possibilmente in diverse fasi)? Non dare le tue conclusioni senza prove: non passerebbero la prova.

src_canimath_2014_automne__Q05

Equilateral triangle of same perimeter as a square; compare the areas

Let $C$ be a square. We construct an equilateral triangle of the same perimeter as the square. By how much do the area of the equilateral triangle and the area of the square differ?

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

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Triangolo equilaterale dello stesso perimetro di un quadrato; confronta le aree

Lasciate che $C$ sia quadrato. Costruciamo un triangolo equilaterale dello stesso perimetro del quadrato. Quanto differiscono l’area del triangolo equilaterale e l’area del quadrato?

src_canimath_2014_automne__Q06

Digit-rule sequence; can a_0 be chosen so the sequence is infinite?

Let $a_0$ be a strictly positive integer. From it we construct a sequence of integers $a_1,a_2,\cdots$ according to the following procedure:

• if the units digit of $a_i$ is strictly greater than $5$, then $a_{i+1}=9a_i$;
• if the units digit of $a_i$ is less than or equal to $5$ and nonzero, then the number thus formed (by erasing that units digit) is $a_{i+1}$.

Clearly, if one has erased all the digits of $a_i$, the procedure stops and there is no $a_{i+1}$.

Can one choose $a_0$ so that the sequence thus constructed is infinite?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Invarianti, Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Lettura attenta, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

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Sequenza di regola digitali; può essere scelto a_0 in modo che la sequenza sia infinita?

$a_0$ sia un numero intero rigorosamente positivo. Da esso costruiamo una sequenza di integri $a_1,a_2,\cdots$ secondo la seguente procedura:

• se la cifra di unità di $a_i$ è strettamente superiore a $5$, allora $a_{i+1}=9a_i$; - se la cifra di unità di $a_i$ è inferiore o uguale a $5$ e non zero, allora il numero così formato (eliminando quella cifra di unità) è $a_{i+1}$.

Chiaramente, se si sono cancellate tutte le cifre di $a_i$, la procedura si ferma e non esiste $a_{i+1}$.

Si può scegliere $a_0$ in modo che la sequenza così costruita sia infinita?

src_canimath_2014_automne__Q07

Triangle, M,N on BC with angle BAM = angle NAC; O1, O2, A are collinear

Let $ABC$ be a triangle. Let $M$ and $N$ be two points on $[BC]$ such that the angles $\widehat{BAM}$ and $\widehat{NAC}$ are equal. Let $O_1$ be the center of the circle circumscribed about triangle $ABC$ and $O_2$ the center of the circle circumscribed about triangle $AMN$. Show that the points $O_1$, $O_2$, and $A$ are collinear.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

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Triangolo, M, N su BC con angolo BAM = angolo NAC; O1, O2, A sono collineari

Lasciate che $ABC$ sia un triangolo. Le dimensioni $M$ e $N$ siano due punti su $[BC]$ in modo tale che gli angoli $\widehat{BAM}$ e $\widehat{NAC}$ siano uguali. $O_1$ sia il centro del cerchio circondato dal triangolo $ABC$ e $O_2$ il centro del cerchio circondato dal triangolo $AMN$. Indicare che i punti $O_1$, $O_2$ e $A$ sono collineari.

src_canimath_2014_automne__Q08

25 distinct positive numbers; pick two whose sum/difference equals no other

Given $25$ distinct strictly positive numbers, show that one can choose two of them such that none of the $23$ other numbers is equal to the sum or to the difference of the two chosen numbers.

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Astrazione, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

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25 numeri positivi distinti; scegliete due la cui somma/differenza non è uguale a nessun altro

Dati $25$ numeri distinti strettamente positivi, mostrare che si può scegliere due di loro in modo che nessuno degli altri numeri $23$ è uguale alla somma o alla differenza dei due numeri scelti.

src_canimath_2014_automne__Q09

22 numbered cards; players alternate, units digit of card-sum wins

$22$ cards bearing the numbers $1,2,\dots ,22$ are on the table. Alcindor and Benoît remove cards in turn, each taking one card of their choice from the table, until none remain. It is Alcindor who begins. Then each one computes the units digit of the sum of his cards. The winner is the one whose result is the highest. Does one of the two players have a way to win for sure? If so, determine which one.

Topic: Combinatoria, Logica, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Simmetria Abilita: Casework accurato, Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

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22 carte numerate; i giocatori si alternano, unità di cifra della somma delle carte vinte

Le schede $22$ con i numeri $1,2,\dots ,22$ sono presenti sul tavolo. Alcindor e Benoît togliono le carte a turno, ognuno prendendo una carta di loro scelta dal tavolo, finché non rimane nessuna. E’ Alcindor che inizia. Poi ciascuno calcola la cifra di unità della somma delle sue carte. Il vincitore è colui il cui risultato è più alto. Uno dei due giocatori ha un modo per vincere con certezza? In tal caso, decidete quale.

src_canimath_2014_automne__Q10