Coupe Animath Printemps 2014

Side of large square with inscribed square and equilateral triangles

In this question, and only this question, no justification is required.

Knowing that the small square has side $x$ and that the triangles are equilateral, determine the side length of the large square.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $x\sqrt{3}$ Fonte: apri PDF

Side di un grande quadrato con triangoli quadrati ed equilaterali incisi

In questa e solo questa questione non è necessaria alcuna giustificazione.

Sapendo che il piccolo quadrato ha lato $x$ e che i triangoli sono equilaterali, determinare la lunghezza laterale del grande quadrato.

Risposta: $x\sqrt{3}$ src_canimath_2014_printemps__Q01

Digit pairs (a,b) making four-digit number ab32 divisible by 99

Find all pairs of digits $(a,b)$ such that the integer whose four digits are $ab32$ (i.e., the number $1000a+100b+32$) is divisible by $99$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: $(a,b)=(3,6)$ and $(a,b)=(6,9)$ Fonte: apri PDF

coppie di numeri (a,b) che rendono divisabile il numero a quattro cifre ab32 per 99

Trovare tutte le coppie di cifre $(a,b)$ in modo tale che il numero intero di cui quattro cifre sono $ab32$ (cioè il numero $1000a+100b+32$) sia divisibile da $99$.

Risposta: $(a,b)=(3,6)$ and $(a,b)=(6,9)$ src_canimath_2014_printemps__Q02

Two tangent circles, common tangent, four sub-questions on geometry

Two circles, one with centre $O$ and radius $R$, the other with centre $O^{\prime }$ and radius $R^{\prime }$ with $R<R^{\prime }$, are externally tangent at point $B$. Let $T$ be a common tangent line passing through $B$. Draw another common tangent $[M{M}^{\prime }]$ (where $M$ belongs to the first circle and $M^{\prime }$ to the second). This tangent meets $(T)$ at $A$. The lines $(OA)$ and $(O^{\prime }A)$ cut $BM$ and $B{M}^{\prime }$ at $D$ and $D^{\prime }$ respectively. The lines $(O{O}^{\prime })$ and $(D{D}^{\prime })$ meet at $E$.

(1) Show that $(D{D}^{\prime })$ is parallel to $(M{M}^{\prime })$.

(2) Show that $OA{O}^{\prime }$ is a right angle at $A$.

(3) Calculate the length $EO$ in terms of $R$ and $R^{\prime }$.

(4) Calculate the length $D{D}^{\prime }$ in terms of $R$ and $R^{\prime }$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Due cerchi tangenti, tangente comune, quattro sottoquestioni sulla geometria

Due cerchi, uno con centro $O$ e raggio $R$, l’altro con centro $O^{\prime }$ e raggio $R^{\prime }$ con $R<R^{\prime }$, sono tangenti esternamente al punto $B$. La linea tangente comune $T$ passa attraverso $B$. Disegnare un’altra tangente comune $[M{M}^{\prime }]$ (dove $M$ appartiene al primo cerchio e $M^{\prime }$ al secondo). Questa tangente risponde a $(T)$ a $A$. Le linee $(OA)$ e $(O^{\prime }A)$ tagliano $BM$ e $B{M}^{\prime }$ rispettivamente a $D$ e $D^{\prime }$. Le linee $(O{O}^{\prime })$ e $(D{D}^{\prime })$ si incontrano a $E$.

(1) Indicare che $(D{D}^{\prime })$ è parallelo a $(M{M}^{\prime })$.

(2) Indicare che $OA{O}^{\prime }$ è un angolo retto a $A$.

(3) Calcolare la lunghezza $EO$ in termini di $R$ e $R^{\prime }$.

(4) Calcolare la lunghezza $D{D}^{\prime }$ in termini di $R$ e $R^{\prime }$.

src_canimath_2014_printemps__Q03

Partition integers 1–10 into pairs with five distinct prime sums; extend to 1–20

a) Is it possible to partition the integers $1,2,3,\dots ,10$ into five pairs such that the five pairwise sums are five different prime numbers?

b) Is it possible to partition the integers $1,2,3,\dots ,20$ into ten pairs such that the ten pairwise sums are ten different prime numbers?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Partire integri 110 in coppie con cinque somme prime distinte; estendersi fino a 120

a) È possibile dividere i numeri interi $1,2,3,\dots ,10$ in cinque coppie in modo tale che le cinque somme in coppia siano cinque numeri primi diversi?

b) È possibile dividere i numeri interi $1,2,3,\dots ,20$ in dieci coppie in modo tale che le dieci somme in coppia siano dieci diversi numeri primi?

src_canimath_2014_printemps__Q04

Football tournament: find number of teams given win/draw/loss scoring rules

In a football tournament, each team plays against every other team exactly twice. There are no draws; a win earns two points and a loss earns zero points. It turns out that only one team has won the tournament with $26$ points, and the two last-placed teams are tied with $20$ points each. Determine the number of teams, and give an example of a tournament where these results occur.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Doppio conteggio Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Torneo di calcio: trovare il numero di squadre con le regole di punteggio vincita/scorso/perdita

In un torneo di calcio, ogni squadra gioca contro ogni altra squadra esattamente due volte. Non ci sono pareggi; una vittoria guadagna due punti e una perdita guadagna zero punti. Si scopre che solo una squadra ha vinto il torneo con $26$ punti, e le due squadre in ultima posizione sono pari con $20$ punti ciascuno. Determinare il numero di squadre e dare un esempio di torneo in cui si verificano questi risultati.

src_canimath_2014_printemps__Q05

Max circles at equal distance from four non-concyclic points

Given a point $P$ and a circle $\mathcal{C}$ in the plane, define the distance from $P$ to $\mathcal{C}$ as the minimum length $PM$ where $M$ is a point on circle $\mathcal{C}$. For example, if $P$ belongs to the circle then the distance from $P$ to $\mathcal{C}$ is zero, and if $P$ is the centre of the circle then the distance from $P$ to $\mathcal{C}$ equals the radius of $\mathcal{C}$.

Given four non-concyclic points $A,B,C,D$, what is the maximum number of circles that are at equal distance from all four points?

Topic: Geometria piana, Geometria analitica Metodo: Casework, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Circoli massimi a distanza uguale da quattro punti non conciclici

Se si considera un punto $P$ e un cerchio $\mathcal{C}$ nel piano, definire la distanza da $P$ a $\mathcal{C}$ come la lunghezza minima $PM$ in cui $M$ è un punto sul cerchio $\mathcal{C}$. Per esempio, se $P$ appartiene al cerchio, la distanza da $P$ a $\mathcal{C}$ è zero, e se $P$ è il centro del cerchio, la distanza da $P$ a $\mathcal{C}$ è pari al raggio di $\mathcal{C}$.

Dati quattro punti non conciclici $A,B,C,D$, qual è il numero massimo di cerchi che si trovano a distanza uguale da tutti e quattro i punti?

src_canimath_2014_printemps__Q06

Integer sequences satisfying x_10 ≤ 2(x_1+…+x_9) with 10 terms

Determine all integer sequences $x_1,x_2,\dots ,x_{10}$ such that $0<x_1<x_2<\cdots <x_{10}$ and $x_{10}\le 2(x_1+x_2+\cdots +x_9).$

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Estremalità, Induzione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Sequenze interi che soddisfano x_10 ≤ 2(x_1+…+x_9) con 10 termini

Determinare tutte le sequenze interi $x_1,x_2,\dots ,x_{10}$ in modo tale che $0<x_1<x_2<\cdots <x_{10}$ e $x_{10}\le 2(x_1+x_2+\cdots +x_9).$

src_canimath_2014_printemps__Q07