Coupe Animath Automne 2015

Fifteen students eat ice cream in groups of three each evening; every pair eats together exactly once; find how many days the camp lasted.

Fifteen students take part in a mathematics camp. Each evening, three of them go to eat an ice cream. At the end of the camp, it turns out that any two students have always gone to eat an ice cream at the same time exactly once. How many days did the camp last? Justify your answer.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Doppio conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 35 Fonte: apri PDF

15 studenti mangiano gelato in gruppi di tre persone ogni sera; ogni coppia mangia insieme esattamente una volta; scopri quanti giorni ha durato il campo.

Quindici studenti partecipano a un campo di matematica. Ogni sera, tre di loro vanno a mangiare un gelato. Alla fine del campo, si scopre che due studenti sono sempre andati a mangiare un gelato nello stesso momento esattamente una volta. Quanti giorni ha durato il campo? Giustifica la tua risposta.

Risposta: 35 src_canimath_2015_automne__Q01

Three digits x>y>z>0; sum of the six three-digit permutations equals 4884; find the possible numbers xyz.

We take three digits $x,y,z$ such that $x>y>z>0$. By taking the sum of the six three-digit numbers obtained by permuting these $3$ digits, one finds $4884$ (for example, if $x=3$, $y=2$ and $z=1$ one finds $321+312+213+231+123+132=1332$). What are the possible values of the number formed by the three digits $x,y,z$ (taken in this order)? Justify your answer.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Tre cifre x>y>z>0; somma delle sei permutazioni a tre cifre equivale a 4884; trovare i numeri possibili xyz.

Prendiamo tre cifre $x,y,z$ in modo che $x>y>z>0$. Prendendo la somma dei sei numeri a tre cifre ottenuti permutando questi cifre $3$, si trova $4884$ (ad esempio, se $x=3$, $y=2$ e $z=1$ si trova $321+312+213+231+123+132=1332$). Quali sono i valori possibili del numero formato dalle tre cifre $x,y,z$ (preso in questo ordine)? Giustifica la tua risposta.

src_canimath_2015_automne__Q02

Hexagon ABCDEF with rectangle BCEF and given equal sides; its area equals that of a rectangle with consecutive sides a and 36; find a^2.

In the figure below, $AB=AF=CD=DE=18$, $BC=EF=a$ and $BF=24$. Moreover, the quadrilateral $BCEF$ is a rectangle.

We assume that the area of the hexagon $ABCDEF$ is equal to the area of a rectangle two of whose consecutive sides have length $a$ and $36$. Find $a^2$. Justify your answer.

Note. One may use the Pythagorean theorem, which states as follows. If $XYZ$ is a right triangle at $X$, then $X{Y}^2+X{Z}^2=Y{Z}^2$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Essagono ABCDEF con rettangolo BCEF e dati lati uguali; la sua superficie è uguale a quella di un rettangolo con lati consecutivi a e 36; trovare a^2.

Nella figura seguente, $AB=AF=CD=DE=18$, $BC=EF=a$ e $BF=24$. Inoltre, il quadrilaterale $BCEF$ è un rettangolo.

Supponiamo che l’area dell’esagono $ABCDEF$ sia uguale all’area di un rettangolo i cui due lati consecutivi hanno lunghezza $a$ e $36$. Trova $a^2$. Giustifica la tua risposta.

Nota. Si può usare il teorema di Pitagora, che afferma come segue. Se $XYZ$ è un triangolo rettangolo a $X$, allora $X{Y}^2+X{Z}^2=Y{Z}^2$.

src_canimath_2015_automne__Q03

A positive integer k on the board may be replaced by a+b where ab=k; starting from n, determine the smallest number reachable after finitely many replacements.

For every strictly positive integer $k$, if $k$ is written on the board, one may erase it and replace it by the number $a+b$, provided that $a$ and $b$ are strictly positive integers such that $ab=k$ (for example, it is possible to replace $20$ by $12$, since $12=2+10$ and $20=2\times 10$).

Initially, the integer $n>0$ is written on the board. Determine, according to the values of $n$, the smallest number that it is possible to write on the board after a finite number of replacements (possibly none).

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Un intero positivo k sulla scheda può essere sostituito da a+b dove ab=k; a partire da n, determinare il numero più piccolo raggiungibile dopo numerose sostituzioni finite.

Per ogni numero intero rigorosamente positivo $k$, se sulla lavagna è scritto $k$, si può cancellare e sostituirlo con il numero $a+b$, a condizione che $a$ e $b$ siano integri rigorosamente positivi come $ab=k$ (ad esempio, è possibile sostituire $20$ con $12$, poiché $12=2+10$ e $20=2\times 10$).

Inizialmente, il numero intero $n>0$ è scritto sulla lavagna. Determinare, secondo i valori di $n$, il numero più piccolo che sia possibile scrivere sulla lavagna dopo un numero finito di sostituzioni (possibilmente nessuna).

src_canimath_2015_automne__Q04

For n>=2 numbers a_i in [-1/2,1/2], removing any single one leaves an integer sum; prove all equal when n even, and ask whether forced when n odd.

We fix an integer $n\ge 2$ and consider numbers $a_1,\dots ,a_n$ such that $-\frac{1}{2}\le a_i\le \frac{1}{2}$ for all $1\le i\le n$. We assume that one can remove any one of these numbers, the sum of the other $n-1$ always being a relative integer.

(1) If $n$ is even, show that $a_1=a_2=\cdots =a_n$.

(2) If $n$ is odd, does one always have $a_1=a_2=\cdots =a_n$?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Per n>=2 numeri a_i in [-1/2,1/2], rimuovendo qualsiasi singolo lascia una somma interiore; dimostrare tutti uguali quando n è pari, e chiedere se forzato quando n è pari.

Fissamo un intero $n\ge 2$ e consideriamo i numeri $a_1,\dots ,a_n$ tali che $-\frac{1}{2}\le a_i\le \frac{1}{2}$ per tutti $1\le i\le n$. Supponiamo che si possa rimuovere uno di questi numeri, la somma dell’altro $n-1$ è sempre un numero intero relativo.

(1) Se $n$ è pari, indicare che $a_1=a_2=\cdots =a_n$.

(2) Se $n$ è strano, si ha sempre $a_1=a_2=\cdots =a_n$?

src_canimath_2015_automne__Q05

Students sit so that a square arrangement leaves 5 over, while a rectangle of 7 more rows than columns seats everyone exactly; find the largest possible number of students.

A certain number of students take a mathematics test. If one arranges the tables to form a square, there will be $5$ students who have no seat. On the other hand, if one forms a rectangle with $7$ more rows than columns, all the students will have a seat (and there will be no empty seat). What is the largest possible number of students? Justify your answer.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Modellizzazione, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Gli studenti si siedono in modo che una disposizione quadrata lascia 5 sopra, mentre un rettangolo di 7 righe in più delle colonne si siedono tutti esattamente; trovare il maggior numero possibile di studenti.

Un certo numero di studenti fa un test di matematica. Se si organizzano le tavole per formare un quadrato, ci saranno $5$ studenti che non hanno posti a sedere. D’altra parte, se si forma un rettangolo con $7$ più righe di colonne, tutti gli studenti avranno un posto (e non ci sarà nessun posto vuoto). Qual è il maggior numero possibile di studenti? Giustifica la tua risposta.

src_canimath_2015_automne__Q06

Each side of a unit square is divided into 3 equal parts; lines drawn from the division points create a grey polygon; find its area.

Each side of a unit square is divided into $3$ equal segments. One draws the figure below from this partition. What is the area of the grey polygon? Justify your answer.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Ogni lato di un quadrato unitario è diviso in 3 parti uguali; le linee tracciate dai punti di divisione creano un poligono grigio; trova la sua superficie.

Ogni lato di un quadrato unitario è diviso in segmenti uguali $3$. Si tratti la figura di seguito da questa partizione. Qual è l’area del poligono grigio? Giustifica la tua risposta.

src_canimath_2015_automne__Q07

Sequence a_1=1, a_2=7, a_{n+2}=(a_{n+1}^2-1)/a_n; prove 9 a_n a_{n+1}+1 is a perfect square for all n>=1.

We consider a sequence of real numbers $a_1,a_2,a_3,\dots$ such that $a_1=1$, $a_2=7$ and $a_{n+2}=\frac{a_{n+1}^2-1}{a_n}\text{for all }n\ge 1.$ For example, $a_3=\frac{7^2-1}{1}=48$. Show that $9a_n{a}_{n+1}+1$ is the square of an integer for every integer $n\ge 1$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Sequenza a_1=1, a_2=7, a_{n+2}=(a_{n+1}^2-1)/a_n; prova 9 a_n a_{n+1}+1 è un quadrato perfetto per tutti n>=1.

Consideriamo una sequenza di numeri reali $a_1,a_2,a_3,\dots$ come $a_1=1$, $a_2=7$ e $a_{n+2}=\frac{a_{n+1}^2-1}{a_n}\text{for all }n\ge 1.$ Ad esempio, $a_3=\frac{7^2-1}{1}=48$. Mostra che $9a_n{a}_{n+1}+1$ è il quadrato di un intero per ogni intero $n\ge 1$.

src_canimath_2015_automne__Q08