Coupe Animath Printemps 2015

Three integer operations; find x giving 1945, all x giving 2015

Three operations on integers are defined:

• Operation $A$: multiply by $2$ and add $4$ to the result.
• Operation $B$: multiply by $1$ and add $16$ to the result.
• Operation $C$: multiply by $5$ and add $25$ to the result.

a) Find an integer $x$ such that, after applying operations $A$, $B$, and $C$ successively in that order, one obtains $1945$.

b) Find all integers $x$ such that, starting from $x$ and applying successively two different operations (among $A$, $B$, $C$), one obtains $2015$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Tre operazioni a numeri interi; trovare x dando 1945, tutti x dando 2015

Sono definite tre operazioni sui numeri interi: - Operazione $A$: moltiplicare per $2$ e aggiungere $4$ al risultato. - Operazione $B$: moltiplicare per $1$ e aggiungere $16$ al risultato. - Operazione $C$: moltiplicare per $5$ e aggiungere $25$ al risultato.

a) Trovare un numero intero $x$ tale che, dopo aver applicato successivamente le operazioni $A$, $B$ e $C$ in tale ordine, si ottiene $1945$.

b) Trovare tutti gli enti $x$ in modo tale che, partendo da $x$ e applicando successivamente due operazioni diverse (tra $A$, $B$, $C$), si ottiene $2015$.

src_canimath_2015_printemps__Q01

Right triangle ABC; find point(s) P on perimeter with PA+PB=PC

Let $ABC$ be a right triangle at $A$. Determine the point(s) $P$ on the perimeter of $ABC$ such that $PA+PB=PC$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo rettangolo ABC; trovare il punto ((s) P sul perimetro con PA+PB=PC

$ABC$ sia un triangolo rettangolo a $A$. Determinare il punto ((s) $P$ sul perimetro di $ABC$ in modo tale che $PA+PB=PC$.

src_canimath_2015_printemps__Q02

Digit-reversing f; find all 4-digit n with f(n)=4n+3

For every positive integer $n$, let $f(n)$ denote the integer obtained by writing the digits of $n$ in reverse order. For example, $f(2538)=8352$.

Find all integers $n$ having exactly $4$ digits such that $f(n)=4n+3$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Figura inversa f; trovare tutte le n a 4 cifre con f(n)=4n+3

Per ogni numero intero positivo $n$, $f(n)$ indica il numero intero ottenuto scrivendo le cifre di $n$ in ordine inverso. Ad esempio, $f(2538)=8352$.

Trovare tutti gli integri $n$ che hanno esattamente $4$ cifre come $f(n)=4n+3$.

src_canimath_2015_printemps__Q03

Triangle ABC, midpoint M, perpendiculars meet at I; prove angles IPA and INC equal

Let $ABC$ be a triangle. Choose $M$ on side $[BC]$, $N$ on side $[CA]$, and $P$ on side $[AB]$. Let $D_B$ be the line through $B$ perpendicular to $[MP]$, and $D_C$ the line through $C$ perpendicular to $[MN]$. Suppose that lines $D_B$ and $D_C$ meet at a point $I$. Prove that angles $\widehat{IPA}$ and $\widehat{INC}$ are equal.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo ABC, punto medio M, perpendicolari che si incontrano a I; provare angoli IPA e INC uguali

Lasciate che $ABC$ sia un triangolo. Selezionare $M$ sul lato $[BC]$, $N$ sul lato $[CA]$ e $P$ sul lato $[AB]$. La linea $D_B$ deve essere la linea attraverso $B$ perpendicolare a $[MP]$ e $D_C$ la linea attraverso $C$ perpendicolare a $[MN]$. Supponiamo che le linee $D_B$ e $D_C$ si incontrino in un punto $I$. Prova che gli angoli $\widehat{IPA}$ e $\widehat{INC}$ sono uguali.

src_canimath_2015_printemps__Q04

2015 positive integers on circle; find two neighbors whose removal unbalances equal-sum split

$2015$ strictly positive integers are placed around a circle. Prove that it is possible to find two neighboring integers such that, after removing them, the remaining numbers cannot be partitioned into two groups with equal sum.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Invarianti, Estremalità, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

2015 numeri interi positivi sul cerchio; trovare due vicini la cui rimozione sbilanci la divisione di somma uguale

I numeri interi $2015$ strettamente positivi sono posizionati intorno a un cerchio. Prove che è possibile trovare due integri vicini in modo tale che, dopo averli rimossi, i numeri rimanenti non possano essere divisi in due gruppi con somma uguale.

src_canimath_2015_printemps__Q05

Floor-based f(n); find all integers n with f(n+1)>f(n)

Let $\lfloor x\rfloor$ denote the integer part of $x$. For example, $\lfloor 15/4\rfloor =3$. Define $f(n)=\lfloor \frac{n}{\lfloor \sqrt{n}\rfloor }\rfloor .$ Find all integers $n$ such that $f(n+1)>f(n)$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Floor-based f(n); trovare tutti gli integri n con f(n+1)>f(n) *

$\lfloor x\rfloor$ indichi la parte integrale di $x$. Ad esempio, $\lfloor 15/4\rfloor =3$. Definire $f(n)=\lfloor \frac{n}{\lfloor \sqrt{n}\rfloor }\rfloor .$ Trovare tutti gli enti $n$ in modo che $f(n+1)>f(n)$.

src_canimath_2015_printemps__Q06

n points on circle diameter n/pi; show no arc strictly longer than its enclosed point count

$n$ points are placed on a circle of diameter $n/\pi$ (so circumference $n$). Suppose that the length of every arc between two consecutive points (not counting the endpoints) is strictly greater than the number of points strictly inside that arc. Prove that it is possible to find $n$ arcs each containing exactly one point, partitioning the circle.

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Principio dei cassetti, Estremalità Abilita: Modellizzazione, Stima, Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

n punti sul diametro del cerchio n/pi; non mostrano arco strettamente più lungo del suo numero di punti chiusi

I punti $n$ sono posizionati su un cerchio di diametro $n/\pi$ (così la circonferenza $n$). Supponiamo che la lunghezza di ogni arco tra due punti consecutivi (senza contare i punti finali) sia rigorosamente superiore al numero di punti rigorosamente all’interno di tale arco. Prova che è possibile trovare archi $n$ che contengono ciascuno esattamente un punto, dividendo il cerchio.

src_canimath_2015_printemps__Q07

Primes p,q,r; pq+1, pr+1, qr-p squares; prove p+2qr+2 is also a square

Let $p$, $q$, $r$ be prime numbers such that each of the three numbers $pq+1$, $pr+1$, and $qr-p$ is a perfect square. Prove that $p+2qr+2$ is also a perfect square.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prima p,q,r; pq+1, pr+1, qr-p quadrati; prova che p+2qr+2 è anche un quadrato

Lasciate che $p$, $q$, $r$ siano numeri primi in modo tale che ciascuno dei tre numeri $pq+1$, $pr+1$ e $qr-p$ sia un quadrato perfetto. Prova che $p+2qr+2$ è anche un quadrato perfetto.

src_canimath_2015_printemps__Q08