Coupe Animath Automne 2016

Logic: who broke the window among four children

Alice, Bernard, Cédric and Diane were playing tennis in the courtyard. Suddenly the ball broke the neighbour’s window. Furious, the neighbour approached the four children.

Alice said: “It wasn’t me!”. Cédric said: “It was Diane.”. Diane said: “Bernard is lying.”

Assuming that exactly one of the four children has told the truth, which of them broke the window?

Topic: Logica Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Casework accurato, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: Cédric Fonte: apri PDF

La logica: chi ha rotto la finestra tra quattro bambini

Alice, Bernard, Cédric e Diane stavano giocando a tennis nel cortile. All’improvviso la palla ha rotto la finestra del vicino. Furibilmente, il vicino si avvicinò ai quattro bambini.

Alice disse: “Non sono stato io!”. Cédric disse: “Era Diane”. Diane disse: “Bernard sta mentendo”.

Supponendo che esattamente uno dei quattro bambini abbia detto la verità, quale di loro ha rotto la finestra?

Risposta: Cédric src_canimath_2016_automne__Q01

Area of triangle AOF given isosceles right triangles with OA=8 cm

In the figure below, the triangles $ABO$, $BCO$, $CDO$, $DEO$ and $FEO$ are isosceles right triangles. We are given that $OA=8$ cm. Determine the area of triangle $AOF$ in cm${}^2$.

Topic: Geometria piana Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 32 Fonte: apri PDF

L’area del triangolo AOF data a triangoli rettangolari con OA=8 cm

Nella figura di seguito, i triangoli $ABO$, $BCO$, $CDO$, $DEO$ e $FEO$ sono triangoli rettangolari a pieghe uguali. Ci viene data quella $OA=8$ cm. Determinare la superficie del triangolo $AOF$ in cm${}^2$.

Risposta: 32 src_canimath_2016_automne__Q02

Colour 2016 collinear points in 3 colours, count ways

2016 points are aligned on a line. In how many ways can one colour them red, green or blue, so that any two adjacent points are of different colours and each colour is used at least once?

Topic: Combinatoria Metodo: Ricorsione, Induzione, Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 6 Fonte: apri PDF

Colour 2016 punti collineari in 3 colori, modi di conteggio

I punti 2016 sono allineati su una linea. In quanti modi si possono colorare rosso, verde o blu, in modo che due punti adiacenti siano di colori diversi e ogni colore venga utilizzato almeno una volta?

Risposta: 6 src_canimath_2016_automne__Q03

Two externally tangent circles; common tangent meets circles; show T,X,Z collinear

Two circles $C_1$ and $C_2$ are externally tangent at a point $X$. A common tangent to both circles meets $C_1$ at $Y$ and $C_2$ at $Z$ (with $Y\ne Z$). Let $T$ be a point such that $[YT]$ is a diameter of $C_2$. Show that $T$, $X$ and $Z$ are collinear.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Due cerchi tangenti esternamente; tangente comune incontra cerchi; mostrare T,X,Z collineare

Due cerchi $C_1$ e $C_2$ sono tangenti esternamente in un punto $X$. Un tangente comune a entrambi i cerchi incontra $C_1$ a $Y$ e $C_2$ a $Z$ (con $Y\ne Z$). Il $T$ deve essere un punto tale che $[YT]$ abbia un diametro di $C_2$. Indicare che $T$, $X$ e $Z$ sono collineari.

src_canimath_2016_automne__Q04

Find all balanced four-digit palindromes that are sums of two four-digit palindromes

A palindrome is a number whose decimal representation does not change when the digits are reversed. For example, 3773 is a palindrome. A number $\overline{abcd}$ is called balanced if $a+b=c+d$ (for example, 2736 is balanced). Determine all balanced four-digit numbers that are the sum of two four-digit palindromes.

Note: a palindrome cannot start with a zero. For example, 0770 is not a palindrome.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Casework accurato, Conteggio sistematico, Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutti i palindromi a quattro cifre equilibrati che sono somme di due palindromi a quattro cifre

Un palindromo è un numero la cui rappresentazione decimale non cambia quando le cifre sono invertite. Ad esempio, 3773 è un palindromo. Un numero $\overline{abcd}$ viene chiamato equilibrato se $a+b=c+d$ (ad esempio, 2736 è equilibrato). Determina tutti i numeri quadriciferi bilanciati che sono la somma di due palindromi quadriciferi.

Nota: un palindromo non può iniziare con uno zero. Ad esempio, il 0770 non è un palindromo.

src_canimath_2016_automne__Q05

Find all n≥3 integers placeable on a circle so each equals product of two neighbours

Determine all integers $n\ge 3$ such that one can place $n$ distinct real numbers on a circle so that each of these numbers is equal to the product of its two neighbours.

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Casework, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutti n≥3 integri posizionabili su un cerchio in modo che ciascuno sia uguale al prodotto di due vicini

Determinare tutti i numeri interi $n\ge 3$ in modo tale che si possano posizionare $n$ numeri reali distinti su un cerchio in modo che ciascuno di questi numeri sia uguale al prodotto dei suoi due vicini.

src_canimath_2016_automne__Q06

Game: replace n on board; who wins?

The number “3” is written on a board. Alice and Bernard play the following game: each in turn, one designates by $n$ the number written on the board; the player replaces it by an integer $m$ such that $n<m<n^2$, and such that $m$ has no common divisor with $n$ other than 1. The first player to reach a number greater than or equal to 2016 loses the round. Alice goes first.

Determine which player has a winning strategy and describe that strategy.

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Invarianti, Backward, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Gioco: sostituire n a bordo; chi vince?

Il numero “3” è scritto su una lavagna. Alice e Bernard giocano il seguente gioco: ognuno a sua volta, designa con $n$ il numero scritto sulla tavola; il giocatore lo sostituisce con un intero $m$ tale che $n<m<n^2$, e tale che $m$ non abbia divisore comune con $n$ diverso da 1. Il primo giocatore a raggiungere un numero maggiore o uguale al 2016 perde il round. Alice va prima.

Determinare quale giocatore abbia una strategia vincente e descrivere quella strategia.

src_canimath_2016_automne__Q07

Minimum integers equal to 1 in a ‘jolie’ list of 100 positive integers

A list of numbers is called jolie if it consists of strictly positive integers such that the sum of these integers equals their product. Determine the smallest number of integers equal to 1 that a jolie list of 100 numbers can contain.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: 95 Fonte: apri PDF

Minimum di numeri interi uguali a 1 in un elenco “jolie” di 100 numeri interi positivi

Un elenco di numeri è chiamato jolie se è costituito da integri rigorosamente positivi in modo tale che la somma di questi integri sia pari al loro prodotto. Determinare il numero più piccolo di numeri interi uguali a 1 che una lista di 100 numeri può contenere.

Risposta: 95 src_canimath_2016_automne__Q08