Coupe Animath Printemps 2016

Square ABCD of side 10 cm, X midpoint of AB, isosceles triangle ABY; overlap area with square is 99 cm2, find XY.

N.B. In this exercise, and only in this one, an answer without justification is required. Let $ABCD$ be a square of side $10\mathrm{cm}$. Let $X$ be the midpoint of $[AB]$. We place a point $Y$ such that the triangle $ABY$ is isosceles at $Y$, and the region that is at the same time inside $ABY$ and inside $ABCD$ has an area of $99{\mathrm{cm}}^2$. How much is $XY$?

Topic: Geometria piana Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

ABCD quadrato di lato 10 cm, X punto medio di AB, triangolo isosceles ABY; area di sovrapposizione con quadrato è di 99 cm2, trovare XY.

N.B. In questo esercizio, e solo in questo, è richiesta una risposta senza giustificazione. $ABCD$ sia un quadrato di lato $10\mathrm{cm}$. $X$ sia il punto medio di $[AB]$. Mettiamo un punto $Y$ in modo che il triangolo $ABY$ sia uguale a $Y$, e la regione che è allo stesso tempo all’interno di $ABY$ e all’interno di $ABCD$ ha un’area di $99{\mathrm{cm}}^2$. Quanto è $XY$?

src_canimath_2016_printemps__Q01

Whole hours at 55 km/h; odometer goes from abc to cba with a>=1 and a+b+c<=7; find all abc.

Anne drove her car for a whole (and nonzero) number of hours, and traveled a whole number of kilometres, at the speed of $55km/h$. At the start of the trip, the odometer indicated $abc$ kilometres, where $abc$ is a 3-digit number such that $a⩾1$ and $a+b+c⩽7$. At the end of the trip, the odometer indicated $cba$ kilometres. Determine all the possible values of the number $abc$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Tutte le ore a 55 km/h; odometro passa da abc a cba con a>=1 e a+b+c<=7; trovare tutti gli abc.

Anne ha guidato la sua macchina per un numero intero (e non zero) di ore, e ha viaggiato per un intero numero di chilometri, alla velocità di $55km/h$. All’inizio del viaggio, il chilometro indicava $abc$ chilometri, dove $abc$ è un numero a 3 cifre come $a⩾1$ e $a+b+c⩽7$. Al termine del viaggio, il chilometro indicava $cba$ chilometri. Determinare tutti i valori possibili del numero $abc$.

src_canimath_2016_printemps__Q02

2016 people in a line, each knave/knight; each points at someone ahead and labels them; strictly more knaves than knights; observer identifies all.

$2016$ people are in an Indian file (single line). Each of them is either a knave (who always lies) or a knight (who always tells the truth). Each of the $2016$ people sees all of those who are in front of them and only them. Each person, except the one who is right at the front, designates one of the people in front of them and says one of the two sentences: “this person is a knave” or “this person is a knight”. Knowing that there are strictly more knaves than knights, how can an observer determine which one is a knave and which one is a knight?

Topic: Logica, Combinatoria Metodo: Casework Abilita: Astrazione, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

2016 persone in fila, ciascun cretino/cavaliere; ognuno punta su qualcuno davanti e li etichetta; rigorosamente più cretini che cavalieri; osservatore identifica tutti.

Le persone $2016$ sono in un file indiano (linea singola). Ognuno di loro è o un cretino (che mente sempre) o un cavaliere (che dice sempre la verità). Ognuna delle persone $2016$ vede tutti coloro che sono davanti a loro e solo loro. Ogni persona, tranne quella che è proprio davanti, designa una delle persone davanti a loro e dice una delle due frasi: “questa persona è un cretino” o “questa persona è un cavaliere”. Sapendo che ci sono rigorosamente più scagnozzi che cavalieri, come può un osservatore determinare quale è uno scagnozzo e quale un cavaliere?

src_canimath_2016_printemps__Q03

Trapezoid ABCD with equal-length diagonals; prove sum of distances from any M to three vertices exceeds distance to the fourth.

In the plane, consider a trapezoid $ABCD$ whose diagonals are of the same length. Prove that, for any point $M$ of the plane, the sum of the distances from $M$ to any three vertices of the trapezoid is always strictly greater than the distance from $M$ to the fourth vertex.

Topic: Geometria piana, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Trapezoide ABCD con diagonali di lunghezza uguale; dimostrare che la somma delle distanze da qualsiasi M a tre vertici supera la distanza fino al quarto.

Nel piano, considerate un trapezoide $ABCD$ le cui diagonali sono della stessa lunghezza. Prova che, per qualsiasi punto $M$ del piano, la somma delle distanze da $M$ a qualsiasi tre vertici del trapezoide è sempre strettamente superiore alla distanza da $M$ al quarto vertice.

src_canimath_2016_printemps__Q04

Five reals a<b<c<d<e; three smallest pairwise sums are 32,36,37 and two largest are 48,51; find all possible e.

Let $a<b<c<d<e$ be real numbers. We compute all the possible sums of two distinct numbers among these five numbers. The three smallest are equal to $32$, $36$ and $37$, and the two largest are equal to $48$ and $51$. Find all the possible values of $e$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Cinque reales a<b<c<d<e; tre somme in coppia più piccole sono 32,36,37 e due più grandi sono 48,51; trovare tutte le e possibili.

Lasciate che $a<b<c<d<e$ siano numeri reali. Calcoliamo tutte le somme possibili di due numeri distinti tra questi cinque numeri. I tre più piccoli sono uguali a $32$, $36$ e $37$, mentre i due più grandi sono uguali a $48$ e $51$. Trova tutti i valori possibili di $e$.

src_canimath_2016_printemps__Q05

Convex 2016-gon cut by non-crossing diagonals into 2014 triangles; can exactly half have all three sides being diagonals?

In a convex polygon with $2016$ sides, we trace certain diagonals, which do not cross inside the polygon. This drawing decomposes the polygon into $2014$ triangles. Is it possible that exactly half of these triangles have their three sides all being diagonals?

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Convex 2016-gon tagliato da diagonali non incrocianti in triangoli 2014; può esattamente la metà avere tutti e tre i lati come diagonali?

In un poligono convexo con lati $2016$, tracciamo determinate diagonali, che non si incrociano all’interno del poligono. Questo disegno decompone il poligono in triangoli $2014$. E’ possibile che esattamente la metà di questi triangoli abbia i loro tre lati tutti diagonali?

src_canimath_2016_printemps__Q06

Among 18 consecutive integers <= 2016, show at least one is divisible by the sum of its digits.

Show that among $18$ consecutive integers less than or equal to $2016$, there exists at least one that is divisible by the sum of its digits.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Principio dei cassetti Abilita: Casework accurato, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Tra 18 numeri interi consecutivi <= 2016, mostrare che almeno uno è divisibile dalla somma delle sue cifre.

Mostrare che tra i numeri interi consecutivi $18$ inferiori o uguali a $2016$ esiste almeno uno che è divisibile dalla somma delle sue cifre.

src_canimath_2016_printemps__Q07

Class test: at least 2/3 of questions difficult and at least 2/3 of students did well; is it possible; repeat with 3/4 and 7/10.

a) A test took place in a class. We know that at least two thirds of the questions of this test were difficult: for each of these difficult questions, at least two thirds of the students did not manage to answer it. We also know that at least two thirds of the students did well on the test: each of them managed to answer at least two thirds of the questions. Is this possible? b) Would the answer to the previous question be the same if we replaced everywhere “two thirds” by “three quarters”? c) Would the answer to the first question be the same if we replaced everywhere “two thirds” by “seven tenths”?

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Doppio conteggio, Casework Abilita: Astrazione, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Prova di classe: almeno 2/3 delle domande difficili e almeno 2/3 degli studenti hanno fatto bene; è possibile; ripeti con 3/4 e 7/10.

a) Si è svolta una prova in classe. Sappiamo che almeno due terzi delle domande di questo test erano difficili: per ciascuna di queste domande difficili, almeno due terzi degli studenti non riuscirono a rispondere. Sappiamo anche che almeno i due terzi degli studenti hanno fatto bene il test: ognuno di loro è riuscito a rispondere almeno ai due terzi delle domande. E’ possibile? b) La risposta alla domanda precedente sarebbe la stessa se sostituissimo ovunque “due terzi” con “tre quarti”? c) La risposta alla prima domanda sarebbe la stessa se sostituissimo ovunque “due terzi” con “sette decimi”?

src_canimath_2016_printemps__Q08