Coupe Animath Automne 2017

Write 225 as a sum of 5 or 4 consecutive positive integers

One can write $225$ as the sum of $3$ consecutive integers: $225=74+75+76$. a) Can it be written as the sum of $5$ consecutive integers? b) Can it be written as the sum of $4$ consecutive integers?

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Escrivere 225 come somma di 5 o 4 integri positivi consecutivi

Si può scrivere $225$ come la somma di $3$ numeri interi consecutivi: $225=74+75+76$. a) Può essere scritta come somma di $5$ numeri interi consecutivi? b) Può essere scritta come la somma di $4$ numeri interi consecutivi?

src_canimath_2017_automne__Q01

a_n = last digit of digit-sum of 2005 written n times in a row; find n with a_n=0 and compute a sum

For every strictly positive integer $n$, define $a_n$ as the last digit of the sum of the digits of the number $20052005\dots 2005$ (one writes "$2005$" $n$ times in a row). For example, $a_1=7$ and $a_2=4$. a) Which strictly positive integers $n$ satisfy $a_n=0$? b) Calculate $a_1+a_2+\cdots +a_{2005}$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Conteggio, Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

a_n = ultima cifra della somma digitali del 2005 scritta n volte di fila; trovare n con a_n=0 e calcolare una somma

Per ogni intero rigorosamente positivo $n$, definire $a_n$ come l’ultima cifra della somma delle cifre del numero $20052005\dots 2005$ (si scrive "$2005$" $n$ volte di fila). Ad esempio $a_1=7$ e $a_2=4$. a) Quali integri rigorosamente positivi $n$ soddisfano $a_n=0$? b) Calcolare $a_1+a_2+\cdots +a_{2005}$.

src_canimath_2017_automne__Q02

Three-player goalkeeper game: count total phases and find who scored the 6th goal

Football with three people is played in successive phases: one player is the goalkeeper while the other two, called “field players”, try to score a goal. As soon as a player scores, the phase ends and that player becomes the goalkeeper for the next phase. Amandine, Bobby and Charles play this game. When the game is over, they recall that Amandine was a field player $12$ times, Bobby $21$ times, and Charles $8$ times. a) How many phases were there in total? b) Who scored the sixth goal?

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Modellizzazione, Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Gioco da portiere per tre giocatori: contare le fasi totali e trovare chi ha segnato il sesto gol

Il calcio con tre persone viene giocato in fasi successive: un giocatore è il portiere mentre gli altri due, chiamati “giocatori di campo”, cercano di segnare un gol. Appena un giocatore fa un gol, la fase termina e quel giocatore diventa il portiere per la fase successiva. Amandine, Bobby e Charles giocano a questo gioco. Quando la partita è finita, ricordano che Amandine era un giocatore di campo $12$ volte, Bobby $21$ volte, e Charles $8$ volte. a) Quante fasi ci sono state in totale? b) Chi ha segnato il sesto gol?

src_canimath_2017_automne__Q03

n^2 with last two digits removed is again a perfect square

a) Find a strictly positive integer $n$ such that, if one writes $n^2$ and removes its last two digits, the resulting number is still the square of an integer. b) Find all strictly positive integers $n$ that are not multiples of $10$ such that, writing $n^2$ and deleting its last two digits, one again obtains the square of an integer (one considers that a number with zero digits is equal to zero).

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

n^2 con le ultime due cifre rimosse è di nuovo un quadrato perfetto

a) Trovare un intero rigorosamente positivo $n$ tale che, se si scrive $n^2$ e si toglie le sue ultime due cifre, il numero risultante sia ancora il quadrato di un intero. b) Trovare tutti i numeri interi rigorosamente positivi $n$ che non sono multipli di $10$ in modo tale che, scrivendo $n^2$ e eliminando le sue ultime due cifre, si ottiene nuovamente il quadrato di un numero intero (si considera che un numero con cifre zero è uguale a zero).

src_canimath_2017_automne__Q04

Isosceles triangle, line (d) perpendicular to (BC) through C, parallelogram AEDB; prove M is midpoint of [AE]

One constructs the following figure: draw a triangle $ABC$ isosceles at $A$, then the line $(d)$ perpendicular to $(BC)$ passing through $C$. One chooses a point $D$ on $(d)$. One places $E$ so that $AEDB$ is a parallelogram. Finally, $M$ is the point of intersection of $(AE)$ and $(d)$. Prove that $M$ is the midpoint of $[AE]$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo isosceles, linea (d) perpendicolare a (BC) attraverso C, parallelo AEDB; prova M è il punto medio di [AE]

Si costruisce la seguente figura: disegna un triangolo $ABC$ a uguali dimensioni $A$, quindi la linea $(d)$ perpendicolare a $(BC)$ che passa attraverso $C$. Si sceglie un punto $D$ su $(d)$. Un posto $E$ in modo che $AEDB$ sia un parallelo. Infine, $M$ è il punto di intersezione di $(AE)$ e $(d)$. Prova che $M$ è il punto medio di $[AE]$.

src_canimath_2017_automne__Q05

Find all values of xyz given x+2y=z and x^2-4y^2+z^2=310

The strictly positive integers $x$, $y$ and $z$ satisfy the two following equations: $x+2y=z$ and $x^2-4y^2+z^2=310$. Find all the values that the product $xyz$ can take.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutti i valori di xyz dati x+2y=z e x^2-4y^2+z^2=310

I numeri interi rigorosamente positivi $x$, $y$ e $z$ soddisfano le due equazioni seguenti: $x+2y=z$ e $x^2-4y^2+z^2=310$. Trova tutti i valori che il prodotto $xyz$ può assumere.

src_canimath_2017_automne__Q06

2012 numbers (±1) on a circle, no 10 consecutive sum to 0; find possible values of total sum S

On a circle, one writes $2012$ numbers. Each of them is equal to $1$ or $-1$. Let $S$ be their sum. Suppose that there do not exist $10$ consecutive numbers on the circle whose sum is $0$. What values can $S$ take under this condition?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Invarianti, Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Modellizzazione, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Numeri 2012 (±1) su un cerchio, non 10 somma consecutiva fino a 0; trovare possibili valori della somma totale S

Su un cerchio si scrivono i numeri $2012$. Ciascuno di essi è uguale a $1$ o $-1$. La somma è $S$. Supponiamo che non esistano $10$ numeri consecutivi sul cerchio la cui somma è $0$. Quali valori $S$ può assumere in questa condizione?

src_canimath_2017_automne__Q07

Rectangle ABCD, E = foot of perp from B to AC, circle through A and E centred on (AD), F on [CD]; prove BF bisects angle AFC

Let $ABCD$ be a rectangle such that $AB>BC$. Let $E$ be the orthogonal projection of $B$ onto $(AC)$, and $\Gamma$ the circle passing through $A$ and $E$ whose centre lies on $(AD)$. Let $F$ be the point of intersection of $\Gamma$ and $[CD]$. Prove that $(BF)$ is the bisector of $\widehat{AFC}$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Rettangolo ABCD, E = piede di perp da B a AC, cerchio attraverso A e E centrato su (AD), F su [CD]; dimostrare che BF divide angolo AFC

$ABCD$ sia un rettangolo tale che $AB>BC$. Il $E$ è la proiezione ortogonale di $B$ su $(AC)$ e $\Gamma$ il cerchio che attraversa $A$ e $E$ il cui centro si trova su $(AD)$. Il punto di intersezione di $\Gamma$ e $[CD]$ è $F$. Prove che $(BF)$ è il bisettore di $\widehat{AFC}$.

src_canimath_2017_automne__Q08