Coupe Animath Printemps 2017

Find three positive integers satisfying two linear conditions

N.B. In this exercise, and only here, only an answer is required without justification.

Let $m>n>p$ be three positive integers such that $m+n+p=74$ and $m-n-p=44$. Determine $m$, $n$, and $p$.

(A prime number is a strictly positive integer greater than $1$ whose only divisors are $1$ and itself.)

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: m=59, n=10, p=5 Fonte: apri PDF

Ricerca tre integri positivi che soddisfano due condizioni lineari

N.B. In questo esercizio, e solo qui, è richiesta solo una risposta senza giustificazione.

$m>n>p$ siano tre integri positivi come $m+n+p=74$ e $m-n-p=44$. Determinare $m$, $n$ e $p$.

(Un numero primo è un numero intero rigorosamente positivo superiore a $1$ i cui unici divisori sono $1$ e se stesso.)

Risposta: m=59, n=10, p=5 src_canimath_2017_printemps__Q01

Sum of 5-digit number and its digit-reversal has an even digit

Show that if $n$ is a five-digit integer and $m$ is the integer obtained by reversing the order of the digits of $n$ (for example, if $n=34170$ then $m=07143$), then the decimal representation of $n+m$ contains at least one even digit.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

La somma di un numero a 5 cifre e la sua inversione a cifre ha una cifra pari

Indicare che se $n$ è un numero intero a cinque cifre e $m$ è il numero intero ottenuto invertendo l’ordine dei numeri di $n$ (ad esempio, se $n=34170$, allora $m=07143$), la rappresentazione decimale di $n+m$ contiene almeno una cifra pari.

src_canimath_2017_printemps__Q02

Perpendicular bisectors in 60-degree triangle give equal segment

Let $ABC$ be a triangle such that $\widehat{BAC}=60^{\circ }$. The perpendicular bisector of $[AC]$ meets line $(AB)$ at $P$, and the perpendicular bisector of $[AB]$ meets line $(AC)$ at $Q$. Show that $PQ=BC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

I bisettori perpendicolari in un triangolo di 60 gradi danno segmento uguale

Che $ABC$ sia un triangolo tale che $\widehat{BAC}=60^{\circ }$. Il bisettore perpendicolare di $[AC]$ incontra la linea $(AB)$ a $P$, e il bisettore perpendicolare di $[AB]$ incontra la linea $(AC)$ a $Q$. Mostra che $PQ=BC$.

src_canimath_2017_printemps__Q03

Identify the diagonal among five given lengths of a quadrilateral

Five numbers are given in increasing order; they are the lengths of the four sides of a (non-self-intersecting, but not necessarily convex, meaning a diagonal is not necessarily inside the polygon) quadrilateral and of one of its diagonals $D$. These five numbers are $3$, $5$, $7$, $13$, and $19$. Which of these numbers can be the length of the diagonal $D$?

Topic: Geometria piana Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Casework accurato Area: Geometria Risposta: 13 Fonte: apri PDF

Identificare la diagonale tra le cinque lunghezze di un quadrilaterale

Cinque numeri sono dati in ordine crescente; sono le lunghezze dei quattro lati di un quadrilaterale (non auto-intersezionato, ma non necessariamente convex, il che significa che una diagonale non è necessariamente all’interno del poligono) e di uno dei suoi diagonali $D$. Questi cinque numeri sono $3$, $5$, $7$, $13$ e $19$. Quale di questi numeri può essere la lunghezza della diagonale $D$?

Risposta: 13 src_canimath_2017_printemps__Q04

Maximum consecutive odd numbers when repeatedly adding largest digit

A number is written on a board. At each step, the largest digit of the current number is added to it (for example, if $142$ is written, the next number will be $146$). What is the largest number of odd numbers that can appear consecutively when proceeding in this manner?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Invarianti, Casework, Estremalità Abilita: Riconoscimento di pattern, Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Massimi numeri dispari consecutivi quando si aggiungono ripetutamente le cifre più grandi

Un numero è scritto su una lavagna. Ad ogni passaggio viene aggiunta la cifra più grande del numero corrente (ad esempio, se è scritto $142$, il numero successivo sarà $146$). Qual è il maggior numero di numeri dispari che possono apparire consecutivamente quando si procede in questo modo?

src_canimath_2017_printemps__Q05

Find all integers n≥2 where d|n implies (d-1)|(n-1) for all d≥2

Determine all integers $n\ge 2$ such that for every integer $d\ge 2$, if $d$ is a divisor of $n$ then $d-1$ is a divisor of $n-1$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutti gli integri n≥2 dove d’innuncia (d-1) di n- 1) per tutti d≥2

Determinare tutti gli enti $n\ge 2$ in modo tale che per ogni intero $d\ge 2$, se $d$ è un divisore di $n$, allora $d-1$ è un divisore di $n-1$.

src_canimath_2017_printemps__Q06

Friendship alignment: at most 2 friends yields spacing ≤2017; 3 friends may fail

A mathematics camp has exactly one million students; some pairs of students are friends (if $A$ is a friend of $B$, then $B$ is a friend of $A$).

a) Suppose that each student has at most two friends. Show that it is possible to line up all the students in a row such that between any two friends there are at most $2017$ other students between them.

b) Suppose now that each student has at most three friends. Show that this is not necessarily possible.

Topic: Combinatoria Metodo: Grafi, Induzione, Simmetria Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Astrazione, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

allineamento di amicizia: al massimo 2 amici producono spazi ≤2017; 3 amici possono fallire

Un campo di matematica ha esattamente un milione di studenti; alcune coppie di studenti sono amici (se $A$ è un amico di $B$, allora $B$ è un amico di $A$).

a) Supponiamo che ogni studente abbia al massimo due amici. Mostrare che è possibile allineare tutti gli studenti in una fila in modo che tra due amici ci siano al massimo $2017$ altri studenti tra di loro.

b) Supponiamo ora che ogni studente abbia al massimo tre amici. Mostrate che questo non è necessariamente possibile.

src_canimath_2017_printemps__Q07