Coupe Animath Automne 2018

Distribute 2018 pieces in b boxes into n houses; box contains at least n pieces?

We distribute $2018$ pieces into $b$ boxes, and then distribute these $b$ boxes into $n$ houses, in such a way that each house receives strictly fewer than $b$ boxes. Is it possible that each box contains at least $n$ pieces?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Modellizzazione, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Distribuire i pezzi 2018 nelle scatole b in n case; la scatola contiene almeno n pezzi?

Distribuiamo i pezzi $2018$ in scatole $b$, e poi distribuiamo queste scatole $b$ in case $n$, in modo tale che ogni casa riceva strettamente meno di scatole $b$. È possibile che ciascuna scatola contenga almeno $n$ pezzi?

src_canimath_2018_automne__Q01

Triangle ABC, interior point O, sum of three parallel-line ratios equals 1

Let $ABC$ be a triangle and $O$ a point in the interior of this triangle. The line parallel to $(BC)$ passing through $O$ meets $(CA)$ at $D$ and $(AB)$ at $E$. The line parallel to $(CA)$ passing through $O$ meets $(BC)$ at $F$. What is the value of the following sum? $\frac{BF}{BC}+\frac{AE}{AB}+\frac{CD}{AC}$

Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1 Fonte: apri PDF

Triangolo ABC, punto interno O, somma di tre rapporti di linea parallela uguale a 1

Che $ABC$ sia un triangolo e $O$ un punto all’interno di questo triangolo. La linea parallela a $(BC)$ che attraversa $O$ incontra $(CA)$ a $D$ e $(AB)$ a $E$. La linea parallela a $(CA)$ che attraversa $O$ incontra $(BC)$ a $F$. Qual è il valore della somma seguente? $\frac{BF}{BC}+\frac{AE}{AB}+\frac{CD}{AC}$

Risposta: 1 src_canimath_2018_automne__Q02

9-digit number 30x070y03 divisible by 37, find digit pairs (x,y)

Consider the number $N$ written as $\overline{30x070y03}$, where $x$ and $y$ are digits from $0$ to $9$. For which values of $(x,y)$ is $N$ divisible by $37$?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

*numero a 9 cifre 30x070y03 divisibile per 37, trovare coppie di cifre (x,y) *

Considerare il numero $N$ scritto come $\overline{30x070y03}$, dove $x$ e $y$ sono numeri da $0$ a $9$. Per quali valori di $(x,y)$ è $N$ divisibile da $37$?

src_canimath_2018_automne__Q03

Rabbits in circle; white give moustaches to brown, grey to white; prove a brown rabbit has two white neighbours

Grey, white, and brown rabbits are seated in a circle. Alice asks all white rabbits that have at least one brown neighbour to give $20$ moustaches to each of their brown neighbours; she asks all grey rabbits that have at least one white neighbour to give $25$ moustaches to each of their white neighbours. Show that one of the rabbits that moved its moustaches actually has two brown neighbours.

Topic: Combinatoria Metodo: Doppio conteggio, Estremalità, Grafi Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

I conigli in cerchio; bianchi danno baffi al marrone, grigio al bianco; dimostrano che un coniglio marrone ha due vicini bianchi

I conigli grigi, bianchi e marroni sono seduti in cerchio. Alice chiede a tutti i conigli bianchi che hanno almeno un vicino marrone di dare i baffi $20$ a ciascuno dei loro vicini marroni; chiede a tutti i conigli grigi che hanno almeno un vicino bianco di dare i baffi $25$ a ciascuno dei loro vicini bianchi. Mostrate che uno dei conigli che ha spostato i baffi ha in realtà due vicini marroni.

src_canimath_2018_automne__Q04

Convex quadrilateral ABCD, specific angles, MD=NB; find angle MNB

Let $ABCD$ be a convex quadrilateral with $\widehat{ABC}=90^{\circ }$, $\widehat{BAD}=\widehat{ADC}=80^{\circ }$. Let $M$ and $N$ be points on $[AD]$ and $[BC]$ respectively such that $\widehat{CDN}=\widehat{ABM}=20^{\circ }$. Suppose moreover that $MD=NB$. What is $\widehat{MNB}$?

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

ABCD quadrilaterale convexa, angoli specifici, MD=NB; angolo di ricerca MNB

Il $ABCD$ deve essere un quadrilaterale convesso con $\widehat{ABC}=90^{\circ }$, $\widehat{BAD}=\widehat{ADC}=80^{\circ }$. Il punto $M$ e il punto $N$ devono essere punti su $[AD]$ e $[BC]$ rispettivamente in modo tale che $\widehat{CDN}=\widehat{ABM}=20^{\circ }$. Supponiamo inoltre che $MD=NB$. Che cos’è $\widehat{MNB}$?

src_canimath_2018_automne__Q05

Prime p divides product of (k^3+1); prove p ≤ n+1

Let $n$ be a strictly positive integer. Let $p$ be a prime number such that $p\mid (1^3+1)(2^3+1)(3^3+1)\cdots ((n-1{)}^3+1)(n^3+1).$ Show that $p\le n+1$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Induzione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Il primo p divide il prodotto di (k^3+1); prova p ≤ n+1

$n$ sia un numero intero rigorosamente positivo. $p$ sia un numero primo tale che $p\mid (1^3+1)(2^3+1)(3^3+1)\cdots ((n-1{)}^3+1)(n^3+1).$ Mostri che $p\le n+1$.

src_canimath_2018_automne__Q06

Fly vs k spiders on 2018×2018 grid; safe starting cells for fly

On a $2018\times 2018$ grid, a fly and $k$ spiders move around. At each step, the fly can move to an adjacent cell (sharing a side) or stay in place; then each spider does the same. The spiders want to catch the fly (occupy the same cell); the fly wants to avoid them.

(a) For which values of $k$ are the spiders certain to catch the fly regardless of its starting position and movements, assuming they start from their choice of positions and use optimal strategy?

(b) If we replace the $2018\times 2018$ grid by a $2018\times 2018\times 2018$ grid (cells adjacent when sharing a face), what changes?

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Invarianti, Colorazione, Casework Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Fly vs k spider sulla griglia 2018×2018; cellule di partenza sicure per le mosche

Su una griglia $2018\times 2018$, una mosca e $k$ ragni si muovono. A ogni passo, la mosca può spostarsi in una cella adiacente (condividiendo un lato) o rimanere in posizione; poi ogni ragno fa lo stesso. I ragni vogliono catturare la mosca (occupare la stessa cella); la mosca vuole evitarli.

a) Per quali valori di $k$ i ragni sono sicuri di catturare la mosca indipendentemente dalla sua posizione di partenza e dai suoi movimenti, purché partano dalla loro scelta di posizioni e utilizzino una strategia ottimale?

(b) Se si sostituisce la griglia $2018\times 2018$ con una griglia $2018\times 2018\times 2018$ (cellule adiacenti quando si condivide una faccia), cosa cambia?

src_canimath_2018_automne__Q07

Find all functions f: R→R satisfying af(x/y)+af(x/z)−f(x)f((y+z)/2)≥a²*

Let $a\in \mathbb{R}$. Find all functions $f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$ such that, for all $x,y,z\in {\mathbb{R}}^{\ast }$, $af\left(\frac{x}{y}\right)+af\left(\frac{x}{z}\right)-f(x)f\left(\frac{y+z}{2}\right)\ge a^2.$

Topic: Insiemi e funzioni, Disuguaglianze, Equazioni funzionali Metodo: Casework, Simmetria, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Ricerca tutte le funzioni f: R →R soddisfacente af(x/y) +af(x/z)−f(x) f(y+z)/2)≥a2

Let $a\in \mathbb{R}$. Trova tutte le funzioni $f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$ in modo tale che, per tutte $x,y,z\in {\mathbb{R}}^{\ast }$, $af\left(\frac{x}{y}\right)+af\left(\frac{x}{z}\right)-f(x)f\left(\frac{y+z}{2}\right)\ge a^2.$

src_canimath_2018_automne__Q08