Coupe Animath Printemps 2018

12 numbered chairs, grasshopper jumps exactly 4 numbers

12 chairs are numbered 1 to 12. A grasshopper can jump from chair $k$ to chair $n$ if $k-n$ is one of the four numbers $-8,-5,5,8$. On each jump it visits each chair exactly once.

a) Find all possible initial positions.

Topic: Combinatoria Metodo: Grafi, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

12 sedie numerate, salti di scarafaggio esattamente 4 numeri

Le 12 sedie sono numerate da 1 a 12. Un agaro può saltare dalla sedia $k$ alla sedia $n$ se $k-n$ è uno dei quattro numeri $-8,-5,5,8$. Ad ogni salto visita ogni sedia esattamente una volta.

a) Trovare tutte le posizioni iniziali possibili.

src_canimath_2018_printemps__Q01

Compare two sums A and B involving reciprocals

a) Let $A=(1+1/2)/2$ and $B=(1+1/2+1/3)/3$. Show that $A>B$.

b) Let $A=(1+1/2+1/3+\cdots +1/2017)/2017$ and $B=(1+1/2+1/3+\cdots +1/2018)/2018$. Show that $A>B$.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Compare due somme A e B che comportano reciprocità

a) Let $A=(1+1/2)/2$ e $B=(1+1/2+1/3)/3$. Mostra che $A>B$.

b) Let $A=(1+1/2+1/3+\cdots +1/2017)/2017$ e $B=(1+1/2+1/3+\cdots +1/2018)/2018$. Mostra che $A>B$.

src_canimath_2018_printemps__Q02

Find all n equal to sum of squares of its two smallest divisors

Let $n$ be a positive integer. Write $1=d_1<d_2<\cdots <d_k=n$ for its divisors. We are given that $n=d_1^2+d_2^2$. Determine all possible values of $n$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Lettura attenta, Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le n uguali alla somma dei quadrati dei suoi due più piccoli divisori

$n$ sia un numero intero positivo. Scrivere $1=d_1<d_2<\cdots <d_k=n$ per i suoi divisori. Ci viene data quella $n=d_1^2+d_2^2$. Determinare tutti i possibili valori di $n$.

src_canimath_2018_printemps__Q03

Find all real a such that floor expressions are integers

Find all real numbers $a$ such that $a+\frac{1}{2}$ and $\frac{1}{a}-\frac{1}{2}$ are both integers.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Trova tutte le vere a tali che le espressioni del pavimento siano numeri interi

Trova tutti i numeri reali $a$ in modo tale che $a+\frac{1}{2}$ e $\frac{1}{a}-\frac{1}{2}$ siano entrambe enti.

src_canimath_2018_printemps__Q04

Two points on semicircle of diameter AD with AB=BC=1, find CD

On a semicircle of diameter $[AD]$, place two points $B$ and $C$ such that $AB=BC=1$. Suppose $AD=3$. Calculate the length $CD$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Due punti su un semicircolo di diametro AD con AB=BC=1, trovi CD

Su un semicircolo di diametro $[AD]$, collocare due punti $B$ e $C$ in modo tale che $AB=BC=1$. Supponiamo $AD=3$. Calcolare la lunghezza $CD$.

src_canimath_2018_printemps__Q05

Find smallest N with 125 distinct elements satisfying two conditions

Find the smallest positive integer $N$ such that one can find 125 distinct integers $a_1,a_2,\dots ,a_{125}$ on a single line sorted in some order such that: (1) each of these integers is strictly positive, strictly less than, or equal to $N$; (2) each of the 123 integers $a_2,\dots ,a_{124}$ is strictly greater than the arithmetic mean of the integer immediately before it and the integer immediately after it, as written on the line.

N.B. The arithmetic mean of $a$ and $b$ is the number $\frac{a+b}{2}$.

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca la N più piccola con 125 elementi distinti che soddisfano due condizioni

Trova il più piccolo intero positivo $N$ in modo che si possano trovare 125 interi distinti $a_1,a_2,\dots ,a_{125}$ su una singola riga ordinata in un certo ordine in modo che: (1) ciascuno di questi interi sia strettamente positivo, strettamente inferiore o uguale a $N$; (2) ciascuno dei 123 interi $a_2,\dots ,a_{124}$ sia strettamente superiore alla media aritmetica del numero intero immediatamente prima di esso e del numero intero immediatamente dopo di esso, come scritto sulla riga.

N.B. La media aritmetica di $a$ e $b$ è il numero $\frac{a+b}{2}$.

src_canimath_2018_printemps__Q06

Trapezoid ABCD, diagonals meet at E, line through E parallel to AB meets AD at F, show angle BFC=90

Let $ABCD$ be a trapezoid with $AB+CD=AD$. The diagonals $(AC)$ and $(BD)$ meet at a point $E$. The line through $E$ parallel to $(AB)$ meets $(AD)$ at point $F$. Show that $\widehat{BFC}=90^{\circ }$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

ABCD trapezoide, diagonali che si incontrano a E, linea attraverso E parallela ad AB che si incontrano ad AD a F, angolo di mostra BFC=90

$ABCD$ sia un trapezoide con $AB+CD=AD$. Le diagonali $(AC)$ e $(BD)$ si incontrano in un punto $E$. La linea attraverso $E$ parallela a $(AB)$ incontra $(AD)$ al punto $F$. Mostra che $\widehat{BFC}=90^{\circ }$.

src_canimath_2018_printemps__Q07

Three bars cut into pieces; can Daphne guarantee a triangle of each color?

Daphné and Loïs have three bars of length 1 metre each: one white, one blue, and one red. Daphné cuts each of the first two bars into three pieces, and Loïs cuts the third bar into three pieces. Is it possible for Daphné to arrange things so that, regardless of what Loïs does, she is certain to be able to form three triangles (non-degenerate) with the nine pieces obtained, such that each triangle has one side of each colour?

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Casework, Estremalità, Invarianti Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Modellizzazione, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Tre barre tagliate in pezzi; Daphne può garantire un triangolo di ogni colore?

Daphné e Loïs hanno tre barre di 1 metro di lunghezza ciascuna: una bianca, una blu e una rossa. Daphné taglia ciascuno dei primi due bastoni in tre pezzi, e Loïs taglia il terzo bastone in tre pezzi. È possibile che Daphné organizzi le cose in modo che, indipendentemente da ciò che Loïs fa, sia sicura di poter formare tre triangoli (non degenerati) con i nove pezzi ottenuti, in modo che ogni triangolo abbia un lato di ogni colore?

src_canimath_2018_printemps__Q08