Coupe Animath Automne 2019

Count odd integers between 1 and 2019 inclusive

Find the number of odd integers between 1 and 2019 inclusive.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1010 Fonte: apri PDF

Contare i numeri interi unici tra il 1 e il 2019 inclusi

Trova il numero di numeri interi dispari tra 1 e 2019 inclusi.

Risposta: 1010 src_canimath_2019_automne__Q01

Chickens and cows; count cows given total animals and number of slippers

Monsieur Deschamps owns chickens and cows; chickens have two legs and cows four. In preparation for winter, he must make slippers (pantoufles) for all of them. He has 160 animals in total and must make 400 slippers. How many cows does he own?

Topic: Algebra Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 40 Fonte: apri PDF

Piccoli e mucche; contare mucche a seconda del numero totale di animali e del numero di pantofole

Monsieur Deschamps possiede polli e mucche; le galline hanno due gambe e le mucche quattro. Per prepararsi all’inverno, deve fare pantofole per tutti. Ha 160 animali in totale e deve fare 400 pantofole. Quante mucche possiede?

Risposta: 40 src_canimath_2019_automne__Q02

Isosceles triangle ABC with angle ABC = 60°; find all values of angle ACB

Let $A B C$ be an isosceles triangle such that $A B C = 6 0^{\circ}$ ; we do not know which vertex is the apex. Find all possible values of $A C B$ .

Topic: Geometria piana Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Casework accurato Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo ABC con angolo ABC = 60°; trovare tutti i valori dell’angolo ACB

Lasciate che $A B C$ sia un triangolo di uguali dimensioni in modo che $A B C = 6 0^{\circ}$ ; non sappiamo quale vertice è l’apice. Trova tutti i valori possibili di $A C B$ .

src_canimath_2019_automne__Q03

Area of quadrilateral IXJY inside rectangle ABCD of area 4

Let $A B C D$ be a rectangle of area 4. Let $I$ be the midpoint of $[A D]$ and $J$ the midpoint of $[B C]$ . Let $X$ be the intersection point of $(A J)$ and $(B I)$ , and let $Y$ be the intersection point of $(D J)$ and $(C I)$ . What is the area of the quadrilateral $I X J Y$ ?

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Area di IXJY quadrilaterale all’interno del rettangolo ABCD dell’area 4

Il $A B C D$ deve essere un rettangolo di area 4. Il $I$ deve essere il punto medio di $[A D]$ e $J$ il punto medio di $[B C]$ . Il punto di intersezione di $(A J)$ e $(B I)$ è $X$ e il punto di intersezione di $(D J)$ e $(C I)$ è $Y$ . Qual è la superficie del quadrilaterale $I X J Y$ ?

src_canimath_2019_automne__Q04

Count 3-digit integers whose digits form an arithmetic progression left to right

How many integers between 100 and 999 (inclusive) are such that their digits form an arithmetic progression when read from left to right?\ We say that a sequence of three numbers $a$ , $b$ , $c$ forms an arithmetic progression if $a + c = 2 b$ .

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare i numeri interi a 3 cifre i cui numeri formano una progressione aritmetica da sinistra a destra

Quanti numeri interi tra 100 e 999 (inclusi) sono tali che le loro cifre formino una progressione aritmetica quando vengono lette da sinistra a destra?

src_canimath_2019_automne__Q05

Max tokens on 8x8 board with at most 4 per row/column; then also at most 4 per large diagonal

Martin is playing a game. He places tokens on an $8 \times 8$ chessboard so that there is at most one token per square, and each column and each row contains at most 4 tokens.

a) How many tokens can Martin place at most?

b) If, in addition to the previous constraints, each of the two large diagonals can also contain at most 4 tokens, how many tokens can Martin place at most?

The large diagonals of a chessboard are the two diagonals going from one corner of the board to the opposite corner.

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Max token su tavola 8x8 con al massimo 4 per riga/colonna; poi anche al massimo 4 per grande diagonale

Martin sta giocando. Si collocano i token su una scacchiera $8 \times 8$ in modo che ci sia al massimo un token per quadrato, e ogni colonna e ogni riga contiene al massimo 4 token.

a) Quanti token Martin può mettere al massimo?

b) Se, oltre ai vincoli precedenti, ciascuno dei due grandi diagonali può contenere al massimo 4 token, quante token Martin può posizionare al massimo?

Le grandi diagonali di una scacchiera sono le due diagonali che vanno da un angolo della scacchiera all’angolo opposto.

src_canimath_2019_automne__Q06

Does strict ordering of fractions imply ordering of their mediants?

Is it true that, if $a_{1}$ , $a_{2}$ , $b_{1}$ , $b_{2}$ , $c_{1}$ , $d_{1}$ , $c_{2}$ , $d_{2}$ are strictly positive integers such that $\frac{a _{1}}{b _{1}} < \frac{c _{1}}{d _{1}} and \frac{a _{2}}{b _{2}} < \frac{c _{2}}{d _{2}},$ one always has $\frac{a _{1} + c _{1}}{b _{1} + d _{1}} < \frac{a _{2} + c _{2}}{b _{2} + d _{2}} ?$

Topic: Teoria dei Numeri, Disuguaglianze Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

L’ordinamento rigoroso delle frazioni implica l’ordinamento dei loro medianti?

E’ vero che se $a_{1}$ , $a_{2}$ , $b_{1}$ , $b_{2}$ , $c_{1}$ , $d_{1}$ , $c_{2}$ , $d_{2}$ sono integri rigorosamente positivi in modo che $\frac{a _{1}}{b _{1}} < \frac{c _{1}}{d _{1}} and \frac{a _{2}}{b _{2}} < \frac{c _{2}}{d _{2}},$ si abbia sempre $\frac{a _{1} + c _{1}}{b _{1} + d _{1}} < \frac{a _{2} + c _{2}}{b _{2} + d _{2}} ?$

src_canimath_2019_automne__Q07

Integer with exactly 300 ones, no zeros in decimal, and a perfect square

Does there exist an integer whose decimal representation contains exactly 300 digits equal to $1$ , no digit equal to $0$ , and which is a perfect square?\ We say that an integer $n$ is a perfect square if there exists an integer $k$ such that $n = k^{2}$ . For example, $9 = 3 \times 3$ is a perfect square but $2$ is not.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Integra con esattamente 300 unità, senza zeri decimali, e un quadrato perfetto

Esiste un numero intero la cui rappresentazione decimale contiene esattamente 300 cifre uguali a $1$ , nessun numero uguale a $0$ , e che è un quadrato perfetto? Ad esempio, $9 = 3 \times 3$ è un quadrato perfetto ma $2$ non lo è.

src_canimath_2019_automne__Q08

Chickens and cows; count cows given total animals and slippers (lycée version)

Monsieur Deschamps owns chickens and cows; chickens have two legs and cows four. In preparation for winter, he must make slippers (pantoufles) for all of them. He has 160 animals in total and must make 400 slippers. How many cows does he own?

Topic: Algebra Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 40 Fonte: apri PDF

*Piccoli e mucche; contare mucche per animali totali e pantofole (versione liceale) *

Monsieur Deschamps possiede polli e mucche; le galline hanno due gambe e le mucche quattro. Per prepararsi all’inverno, deve fare pantofole per tutti. Ha 160 animali in totale e deve fare 400 pantofole. Quante mucche possiede?

Risposta: 40 src_canimath_2019_automne__Q09

Minimum socks drawn to guarantee two of different colours from 6 blue and 6 red

I have socks of two different colours: 6 blue socks and 6 red socks. I draw several socks at random from the drawer. How many socks must I draw, at minimum, to be certain of having two socks of different colours?

Topic: Combinatoria, Probabilità Metodo: Principio dei cassetti Abilita: Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Minimum di calzini disegnati per garantire due colori diversi da 6 blu e 6 rossi

Ho calzini di due colori diversi: 6 calzini blu e 6 calzini rossi. Ho disegnato diversi calzini a caso dal cassetto. Quante calzini devo disegnare, come minimo, per essere sicuro di avere due calzini di colori diversi?

src_canimath_2019_automne__Q10

Area of quadrilateral IXJY inside rectangle ABCD of area 4 (lycée version)

Let $A B C D$ be a rectangle of area 4. Let $I$ be the midpoint of $[A D]$ and $J$ the midpoint of $[B C]$ . Let $X$ be the intersection point of $(A J)$ and $(B I)$ , and let $Y$ be the intersection point of $(D J)$ and $(C I)$ . What is the area of the quadrilateral $I X J Y$ ?

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

*Area quadrilaterale IXJY all’interno del rettangolo ABCD dell’area 4 (versione liceale) *

Il $A B C D$ deve essere un rettangolo di area 4. Il $I$ deve essere il punto medio di $[A D]$ e $J$ il punto medio di $[B C]$ . Il punto di intersezione di $(A J)$ e $(B I)$ è $X$ e il punto di intersezione di $(D J)$ e $(C I)$ è $Y$ . Qual è la superficie del quadrilaterale $I X J Y$ ?

src_canimath_2019_automne__Q11

Max tokens on 8x8 board with row/column constraints; then also large diagonal constraint (lycée)

Martin is playing a game. He places tokens on an $8 \times 8$ chessboard so that there is at most one token per square, and each column and each row contains at most 4 tokens.

a) How many tokens can Martin place at most?

b) If, in addition to the previous constraints, each of the two large diagonals can also contain at most 4 tokens, how many tokens can Martin place at most?

The large diagonals of a chessboard are the two diagonals going from one corner of the board to the opposite corner.

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Max tokens su tabella 8x8 con restrizioni di riga/colonna; poi anche grande restrizione diagonale (lycée)

Martin sta giocando. Si collocano i token su una scacchiera $8 \times 8$ in modo che ci sia al massimo un token per quadrato, e ogni colonna e ogni riga contiene al massimo 4 token.

a) Quanti token Martin può mettere al massimo?

b) Se, oltre ai vincoli precedenti, ciascuno dei due grandi diagonali può contenere al massimo 4 token, quante token Martin può posizionare al massimo?

Le grandi diagonali di una scacchiera sono le due diagonali che vanno da un angolo della scacchiera all’angolo opposto.

src_canimath_2019_automne__Q12

Integer with exactly 300 ones, no zeros, and perfect square (lycée version)

Does there exist an integer whose decimal representation contains exactly 300 digits equal to $1$ , no digit equal to $0$ , and which is a perfect square?\ We say that an integer $n$ is a perfect square if there exists an integer $k$ such that $n = k^{2}$ . For example, $9 = 3 \times 3$ is a perfect square but $2$ is not.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

*Integra con esattamente 300 unità, senza zeri, e quadrato perfetto (versione liceale) *

Esiste un numero intero la cui rappresentazione decimale contiene esattamente 300 cifre uguali a $1$ , nessun numero uguale a $0$ , e che è un quadrato perfetto? Ad esempio, $9 = 3 \times 3$ è un quadrato perfetto ma $2$ non lo è.

src_canimath_2019_automne__Q13

Ball-splitting game: prove Paul wins for N=2019 and loses for N=2020

Paul plays a game with $N$ balls and a bag; the balls form a single pile. At each turn, Paul chooses a pile that has at least 2 balls, removes one ball and places it in his bag, and then splits the remaining balls of that pile into two non-empty piles. The game stops when all piles consist of exactly 3 balls, and Paul loses if at any point he can no longer make a legal move. Paul wins if he reaches a state where all piles consist of exactly 3 balls.

a) Show that if $N = 2019$ , Paul can win.

b) Show that if $N = 2020$ , Paul cannot win.

Topic: Combinatoria Metodo: Invarianti, Induzione Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Gioco di divisione: dimostra che Paul vince per N=2019 e perde per N=2020

Paul gioca con le palle e una borsa; le palle formano una singola pila. A ogni turno, Paul sceglie una pila che ha almeno 2 palline, ne toglie una e la mette nella sua borsa, e poi divide le palline rimanenti in due pile non vuote. La partita si ferma quando tutte le pile sono composte da esattamente 3 palle, e Paul perde se in un momento non riesce più a fare una mossa legale. Paul vince se raggiunge uno stato in cui tutte le pile consistono esattamente di 3 palle.

a) Mostrare che se $N = 2019$ , Paul può vincere.

b) Mostrare che se $N = 2020$ , Paul non può vincere.

src_canimath_2019_automne__Q14

Triangle ABC altitudes: feet E, F; show AFHE is parallelogram given AH perpendicular to EF

Let $A B C$ be a triangle. Let $E$ be the foot of the altitude from $B$ of triangle $A B C$ , and $F$ the foot of the altitude from $C$ of triangle $A B C$ . Let $H$ be the intersection point of the lines $(B E)$ and $(C F)$ , and $O$ the centre of the circumscribed circle of $A B C$ . Note that $H$ is the orthocentre of the triangle. Show that $A F = A E$ and that the quadrilateral $A F H E$ is a parallelogram.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Altezze del triangolo ABC: piedi E, F; mostra AFHE come parallelo dato AH perpendicolare a EF

Lasciate che $A B C$ sia un triangolo. Che $E$ sia il piede dell’altitudine da $B$ del triangolo $A B C$ e $F$ il piede dell’altitudine da $C$ del triangolo $A B C$ . $H$ sia il punto di intersezione delle linee $(B E)$ e $(C F)$ , e $O$ il centro del cerchio circoscritto di $A B C$ . Si noti che $H$ è l’ortocentro del triangolo. Indicare che $A F = A E$ e che il quadrilaterale $A F H E$ è un parallelo.

src_canimath_2019_automne__Q15

2020 points on circle numbered 1–2020; find 1010 chords matching each point once with sum a-b equal to 1010^2

We place 2020 points on a circle, numbered at random from 1 to 2020; the numbers are all distinct. For each chord connecting two points, we associate the value $a - b$ where $a > b$ are the numbers of the two endpoints. Show that it is possible to connect the points by 1010 chords such that:

$▹$ each point is an endpoint of exactly one chord,

$▹$ the sum of the values of all the chords equals $101 0^{2}$ .

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Simmetria, Conteggio Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

2020 punti su un cerchio numerato 12020; trovare 1010 accordi che corrispondono a ciascun punto una volta con la somma a-b pari a 1010^2

Mettiamo i punti 2020 su un cerchio, numerati a caso da 1 a 2020; i numeri sono tutti distinti. Per ogni accordo che collega due punti, associamo il valore $a - b$ dove $a > b$ sono i numeri dei due punti finali. Mostrare che è possibile collegare i punti con 1010 accordi in modo tale che:

$▹$ ogni punto è un punto di fine di esattamente un accordo,

$▹$ la somma dei valori di tutti gli accordi è uguale a $101 0^{2}$ .

src_canimath_2019_automne__Q16

Existence of sequence of strictly positive integers satisfying a_{n+2} = a_{n+1} + sqrt(a_n + a_{n+1})

Does there exist a sequence of strictly positive integers $a_{0}, a_{1}, \dots$ such that $a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n} + a_{n + 1}$ for all integers $n \geq 0$ ?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Invarianti, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Astrazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

*Esistenza di una sequenza di interi rigorosamente positivi che soddisfano a_{n+2} = a_{n+1} + sqrt(a_n + a_{n+1}) *

Esiste una sequenza di integri rigorosamente positivi $a_{0}, a_{1}, \dots$ tale che $a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n} + a_{n + 1}$ per tutti gli integri $n \geq 0$ ?

src_canimath_2019_automne__Q17

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