Coupe Animath Printemps 2019

Floor times fractional part equals 2019x; find all x

For any real number $x$, we denote by $\lfloor x\rfloor$ its integer part, i.e., the greatest integer less than or equal to $x$, and by $\{x\}$ its fractional part, i.e., $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$. For example, $\lfloor 3.1\rfloor =3$, $\lfloor -2.7\rfloor =-3$, and $\{3.1\}=0.1$, $\{-2.7\}=0.3$.

Find all real numbers $x$ such that $\lfloor x\rfloor \times \{x\}=2019\times x$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Floor times fractional part = 2019x; trova tutte le x

Per qualsiasi numero reale $x$, indichiamo con $\lfloor x\rfloor$ la sua parte integrale, ovvero il più grande intero inferiore o uguale a $x$, e con $\{x\}$ la sua parte frazionaria, ovvero $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$. Per esempio, $\lfloor 3.1\rfloor =3$, $\lfloor -2.7\rfloor =-3$ e $\{3.1\}=0.1$, $\{-2.7\}=0.3$.

Trova tutti i numeri reali $x$ in modo tale che $\lfloor x\rfloor \times \{x\}=2019\times x$.

src_canimath_2019_printemps__Q01

Count 8-digit numbers ab2019cd divisible by 360

How many 8-digit numbers are there whose decimal expansion has the form $\overline{ab2019cd}$ (where $a$, $b$, $c$, $d$ are digits) and which are divisible by $360$?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Congruenze, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare i numeri a 8 cifre ab2019cd divisibili per 360

Quanti sono i numeri a 8 cifre la cui espansione decimale ha la forma $\overline{ab2019cd}$ (dove $a$, $b$, $c$, $d$ sono cifre) e che sono divisibili da $360$?

src_canimath_2019_printemps__Q02

Rectangle with cevians; show a+b=c for areas of four regions

Let $ABCD$ be a rectangle. Let $P$ be a point on segment $[AB]$, and $Q$ a point on segment $[BC]$. The segments $[AQ]$ and $[DP]$ intersect at $X$; the segments $[AQ]$ and $[CP]$ intersect at $Y$; the segments $[DP]$ and $[CP]$ intersect at $Z$. Let $a$, $b$, $c$ be the areas of triangle $APX$, of quadrilateral $BPYQ$, and of triangle $CQZ$ of the quadrilateral $DXYZ$, respectively.

Show that the area of the quadrilateral $DXYZ$ satisfies $a+b=c$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Rettangolo con ceviani; indicare a+b=c per le aree di quattro regioni

Lasciate che $ABCD$ sia un rettangolo. Il punto $P$ deve essere un punto sul segmento $[AB]$ e il punto $Q$ un punto sul segmento $[BC]$. I segmenti $[AQ]$ e $[DP]$ si intersecano a $X$; i segmenti $[AQ]$ e $[CP]$ si intersecano a $Y$; i segmenti $[DP]$ e $[CP]$ si intersecano a $Z$. Le aree $a$, $b$, $c$ sono rispettivamente le aree del triangolo $APX$, del quadrilaterale $BPYQ$ e del triangolo $CQZ$ del quadrilaterale $DXYZ$.

Indicare che l’area del quadrilaterale $DXYZ$ soddisfa $a+b=c$.

src_canimath_2019_printemps__Q03

Frogs on 10x10 grid; visible sums hit 10^1,…,10^10; find largest k

Consider a large square grid of side $10$, divided into unit squares of side $1$. Two unit squares are called neighbors if they share a side. In each unit square a real number is inscribed. Moreover, $5$ frogs are placed on the grid; from one instant to the next each frog can move to a neighboring square. At each instant every frog reads the number in its current square.

We assume that the sum of the numbers visible to all five frogs is $10^1$ at instant $1$, $10^2$ at instant $2$, $10^3$ at instant $3$, and in general $10^k$ at instant $k$. What is the largest possible value of $k$ for which the sum can equal $10^k$?

Topic: Combinatoria Metodo: Invarianti, Estremalità, Casework Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Stima, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

*Righe su griglia 10x10; somma visibile raggiunge 10^1,…,10^10; trovare k più grande *

Considera una grande griglia quadrata di lato $10$, divisa in unità quadrate di lato $1$. Due unità quadrate sono chiamate vicine se condividono un lato. In ogni unità quadrata è scritto un numero reale. Inoltre, le rane $5$ sono posizionate sulla griglia; da un istante all’altro ciascuna rane può spostarsi in un quadrato vicino. A ogni istante ogni rana legge il numero nel suo quadrato corrente.

Supponiamo che la somma dei numeri visibili a tutte e cinque le rane sia $10^1$ all’istante $1$, $10^2$ all’istante $2$, $10^3$ all’istante $3$, e in generale $10^k$ all’istante $k$. Qual è il valore più grande possibile di $k$ per il quale la somma può essere uguale a $10^k$?

src_canimath_2019_printemps__Q04

If floor(x^2)=floor(x)^2, show floor(x^2),floor(x^3),floor(x^4) are perfect squares

Recall (see Exercise 1) that $\lfloor x\rfloor$ denotes the integer part of a real number $x$.

Suppose that $x$ is a positive real number such that $\lfloor x^2\rfloor =\lfloor x{\rfloor }^2$. Show that $\lfloor x^2\rfloor$, $\lfloor x^3\rfloor$, and $\lfloor x^4\rfloor$ are all perfect squares of integers.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Se il pavimento x^2) = pavimento x^2, mostrare il pavimento x^2), il pavimento x^3), il pavimento x^4) sono quadrati perfetti

Ricordiamo (vedi esercizio 1) che $\lfloor x\rfloor$ indica la parte integrale di un numero reale $x$.

Supponiamo che $x$ sia un numero reale positivo tale che $\lfloor x^2\rfloor =\lfloor x{\rfloor }^2$. Mostrare che $\lfloor x^2\rfloor$, $\lfloor x^3\rfloor$ e $\lfloor x^4\rfloor$ sono tutti quadrati perfetti di numeri interi.

src_canimath_2019_printemps__Q05

Parallelogram; CP=CB; midpoints M of AP, N of CD; show BP perpendicular to MN

Let $ABCD$ be a parallelogram, and let $P$ be a point in the interior of $ABCD$ such that $CP=CB$. Let $M$ and $N$ be the midpoints of $[AP]$ and $[CD]$, respectively.

Show that lines $(BP)$ and $(MN)$ are perpendicular.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Parallelogramma; CP=CB; punti medi M di AP, N di CD; mostrare la BP perpendicolare a MN

$ABCD$ sia un parallelo, e $P$ sia un punto all’interno di $ABCD$ tale da $CP=CB$. $M$ e $N$ siano rispettivamente i punti intermedi di $[AP]$ e $[CD]$.

Indicare che le linee $(BP)$ e $(MN)$ sono perpendicolari.

src_canimath_2019_printemps__Q06

Sequence u_{n+1}=u_n plus its largest proper divisor; show 3^2019 divides u_n eventually

Let $(u_n{)}_{n\ge 0}$ be a sequence of positive integers such that for all $n\ge 0$, $u_{n+1}$ is the sum of $u_n$ and its largest proper divisor (i.e., its largest divisor strictly less than $u_n$ itself). For example, if $u_0=12$, then $u_1=12+6=18$.

Show that there exists $N$ such that for all $n>N$, the integer $u_n$ is divisible by $3^{2019}$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Invarianti, Fattorizzazione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Sequenza u_{n+1}=u_n più il suo più grande divisore proprio; mostrare 3^2019 divide u_n alla fine

Che $(u_n{)}_{n\ge 0}$ sia una sequenza di integri positivi tale che per tutti $n\ge 0$, $u_{n+1}$ sia la somma di $u_n$ e il suo più grande divisore proprio (cioè il suo più grande divisore strettamente inferiore a $u_n$ stesso). Per esempio, se $u_0=12$, allora $u_1=12+6=18$.

Indicare che esiste $N$ in modo tale che per tutti $n>N$, il numero intero $u_n$ sia divisibile da $3^{2019}$.

src_canimath_2019_printemps__Q07

m x n blue/red grid; maximize rows with blue majority plus columns with red majority

Let $m$ and $n$ be integers with $m\ge 3$. In an $m\times n$ grid, each unit square is colored blue or red. Let $A$ be the number of rows in which the blue squares are in the majority, and $B$ the number of columns in which the red squares are in the majority.

What is the largest possible value of $A+B$?

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Doppio conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Stima, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

m x n griglia blu/rosso; massimizzare le righe con maggioranza blu più le colonne con maggioranza rossa

$m$ e $n$ siano integri con $m\ge 3$. In una griglia $m\times n$, ogni quadrato unitario è di colore blu o rosso. $A$ è il numero di righe in cui i quadrati blu sono in maggioranza, e $B$ il numero di colonne in cui i quadrati rossi sono in maggioranza.

Qual è il valore più grande possibile di $A+B$?

src_canimath_2019_printemps__Q08